第5章 微专题进阶课5　平面向量与“四心”-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

平面向量与“四心”在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．应用向量相关知识，可以巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质．重心问题已知O是△ABC所在平面上的一点，若eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))(其中P为平面上任意一点),则点O是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心C解析：由已知得3eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))，所以3eq\o(PO,\s\up6(→))＋3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以点O是△ABC的重心.如图，△ABC的重心为G，O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(OG,\s\up6(→)).解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点．因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\o(OG,\s\up6(→))＝\o(GA,\s\up6(→))，,b－\o(OG,\s\up6(→))＝\o(GB,\s\up6(→))，,c－\o(OG,\s\up6(→))＝\o(GC,\s\up6(→))，))所以a＋b＋c－3eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)).而eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以a＋b＋c－3eq\o(OG,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(a＋b＋c,3).垂心问题已知点O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))，λ∈[0，＋∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．内心B解析：由已知得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|cosπ－B,|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(|\o(AC,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|cosC,|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))＝λ(－|eq\o(BC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心．已知点O为△ABC所在平面内一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))2＝eq\o(OC,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2，则点O一定为△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心D解析：因为eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))2，所以eq\o(OA,\s\up6(→))2－eq\o(OB,\s\up6(→))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2－eq\o(BC,\s\up6(→))2，所以(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝0，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BA,\s\up6(→))⊥eq\o(OC,\s\up6(→)).同理可得eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))⊥eq\o(OA,\s\up6(→)).所以O为△ABC的垂心．故选D．外心问题已知点O是△ABC所在平面上的一点．若(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，则点O是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心A解析：由已知得(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0⇔eq\o(OB,\s\up6(→))2－eq\o(OA,\s\up6(→))2＝eq\o(OC,\s\up6(→))2－eq\o(OB,\s\up6(→))2＝eq\o(OA,\s\up6(→))2－eq\o(OC,\s\up6(→))2＝0⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|.所以点O是△ABC的外心．在△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，E为△ACD的重心，点F为△ABC的外心．求证：EF⊥CD．证明：建立如图所示的坐标系，设A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(b,2)))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a，\f(b,2)))，易知△ABC的外心F在y轴上，设为F(0，y)．由|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CF,\s\up6(→))|可得(y－b)2＝(－a)2＋y2，所以y＝eq\f(b2－a2,2b)，即Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b2－a2,2b))).连接AE，CE，DE，又由重心公式，得eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝0，则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)，\f(b,2)))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,6)，－\f(a2,2b)))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,6)))＋eq\f(b,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,2b)))＝0，所以eq\o(CD,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，即EF⊥CD．内心问题已知点O是△ABC所在平面上的一点，若eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(a\o(PA,\s\up6(→))＋b\o(PB,\s\up6(→))＋c\o(PC,\s\up6(→)),a＋b＋c)(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则点O是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心B解析：因为eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(a\o(PA,\s\up6(→))＋b\o(PB,\s\up6(→))＋c\o(PC,\s\up6(→)),a＋b＋c)，所以(a＋b＋c)eq\o(PO,\s\up6(→))＝aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＋ceq\o(PC,\s\up6(→))，即aeq\o(PO,\s\up6(→))＋bPO＋ceq\o(PO,\s\up6(→))＝aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＋ceq\o(PC,\s\up6(→))，移项并整理可得a(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→)))＋b(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→)))＋c(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→)))＝0，则aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以点O是△ABC的内心．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________.内心解析：如图所示，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))，由已知，