3.2.1双曲线的标准方程（七大题型）（原卷版）

3.2.1双曲线的标准方程课程标准学习目标（1）能从几何情境中认识双曲线的几何特征，说出双曲线的定义，发展直观想象素养．（2）能类比椭圆标准方程的建立过程，推导出双曲线的标准方程，并能用于解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养．（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.（2）掌握双曲线的标准方程及其求法.（3）能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题．知识点01双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．知识点诠释：1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（

）A．射线 B．直线C．椭圆 D．双曲线的一支知识点02双曲线的标准方程标准方程的推导：如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．（1）建系设点取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴（2）建立直角坐标系．设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数．（2）点的集合由定义可知，双曲线就是集合：．（3）代数方程∵，∴（4）化简方程将这个方程移项，两边平方得：化简得：两边再平方，整理得：（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．）由双曲线定义，即c＞a，所以．设，代入上式得：即，其中这就是双曲线的标准方程．双曲线的标准方程：1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据根据，，，（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）标准方程统一为：方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件方程可化为，即，所以只有A、B异号，方程表示双曲线．当，时，双曲线的焦点在x轴上；当，时，双曲线的焦点在y轴上．知识点诠释：1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．【即学即练2】（2023·全国·高二专题练习）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或知识点03求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论．【即学即练3】（2023·广东东莞·高三校联考阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为．题型一：双曲线的定义【典例11】（2024·高二·江西·期末）已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（

）A．5 B．13 C．5或9 D．5或6【典例12】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式11】（2024·高三·全国·专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（

）A．射线 B．直线C．椭圆 D．双曲线的一支【变式12】（2024·高二·全国·单元测试）已知，，则动点P的轨迹是（）A．双曲线 B．双曲线左支C．一条射线 D．双曲线右支【变式13】（2024·高二·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（

）A．13 B．10 C．1 D．13或1【变式14】（2024·高二·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（

）A． B．C． D．题型二：双曲线的标准方程【典例21】（2024·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或【典例22】（2024·高二·上海·随堂练习）以椭圆的焦点为顶点，且过点的双曲线标准方程是．【变式21】（2024·高三·广东·阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为．【变式22】（2024·高二·北京延庆·期末）双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为，标准方程为．【变式23】（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）求适合下列条件的双曲线标准方程：（1）与双曲线共焦点，经过点；（2）经过点和；【变式24】（2024·高二·浙江宁波·期中）在下列条件下求双曲线标准方程．(1)与双曲线有相同的渐近线，且经过点．(2)焦点在轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为，且经过点．题型三：双曲线方程的充要条件【典例31】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．或【典例32】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式31】（2024·高二·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式32】（2024·高二·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．【变式33】（2024·高二·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（

）A．若，则曲线C为椭圆B．若曲线C为双曲线，则C．曲线C不可能是圆D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则【变式34】（2024·高二·全国·专题练习）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（）A． B．C． D．题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题【典例41】（2024·高二·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为．【典例42】（2024·高二·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是．【变式41】（2024·高二·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是．【变式42】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期中）已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交的上支于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为．【变式43】（2024·高二·湖南·期中）已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为．【变式44】（2024·高三·全国·专题练习）双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点的位置变化时，周长的最小值为.【变式45】（2024·高二·江苏·假期作业）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于，．题型五：双曲线上两点距离的最值问题【典例51】（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（

）A．16 B．18 C． D．【典例52】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（

）A．19 B．25 C．37 D．85【变式51】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为.【变式52】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）若双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点，若，则的取值为.【变式53】（2024·高二·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为．题型六：双曲线上两线段的和差最值问题【典例61】（2024·高二·全国·课后作业）设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为，最小值为．【典例62】（2024·高二·江西宜春·期末）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为．【变式61】（2024·高二·湖北·期中）已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是．【变式62】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为．【变式63】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为．【变式64】（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是．【变式65】（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.【变式66】（2024·高二·辽宁锦州·期末）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为.题型七：求轨迹方程【典例71】（2024·高二·全国·课后作业）在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为．【典例72】（2024·高二·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是.【变式71】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为.【变式72】（2024·高二·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为.【变式73】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为．【变式74】（2024·高二·全国·课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

【变式75】（2024·高二·辽宁抚顺·阶段练习）已知点A(0，4)，B(0，－4)，从点C同时出发的两个质点M，N均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，M从C运动到A，N从C运动到B，且M到达A的时间比N到达B的时间晚3秒，则C的轨迹方程为.【变式76】（2024·高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是．【变式77】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为.【变式78】（2024·高二·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为．【变式79】（2024·高二·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为.1．（2024·高二·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．2．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（

）A． B． C． D．3．（2024·高二·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．4．（2024·高二·上海·随堂练习）定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离，那么平面内到定圆A的距离与到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支5．（2024·高二·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（

）A．3 B．5 C．7 D．96．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．7．（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）以下几个命题中，其中真命题的序号为（

）.①双曲线与椭圆有相同的焦点；②在平面内，到定点2,1的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；③设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；④过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆.A．① B．①② C．①④ D．③④8．（2024·高二·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（

）A．1 B． C． D．29．（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·期末）已知曲线，则下列结论正确的是（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是圆，其半径为C．若，则是双曲线，其渐近线方程为D．若，则是两条直线10．（多选题）（2024·高二·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点和点连线的斜率之积等于2，则关于曲线C的结论正确的有（

）A．曲线C为双曲线 B．曲线C是中心对称图形C．曲线C上所有的点都在圆外 D．曲线C是轴对称图形11．（多选题）（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的