新高考2025届高考数学小题必练17新定义类创新题

2024年高考“2024年高考“最终三十天”专题透析好教化云平台——教化因你我而变高考数学试题坚持以实力为立意，全面考查学生的数学学问、方法和数学思想．以“新定义”为背景的创新试题，通过在试题中给出新的定义，考查学生的现场学习实力(即自学实力)、阅读理解实力、探究与猜想等创新实力，并考查类比迁移、数形结合和归纳转化等数学思想方法．1．【2024全国Ⅱ卷】周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满意，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满意的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为的序列中，满意的序列是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由知，序列的周期为，由已知，，，对于选项A，，，不满意；对于选项B，，不满意；对于选项D，，不满意，故选C．【点睛】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，依据定义将各选项一一代入，然后分别推断即可．2．【2024山东卷】信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量全部可能的取值为，且，，定义的信息熵，（）A．若，则B．若，则随着的增大而增大C．若，则随着的增大而增大D．若，随机变量全部可能的取值为，且，则【答案】AC【解析】对于A选项，若，则，，所以，所以A选项正确；对于B选项，若，则，所以，当时，；当时，，两者相等，所以B选项错误；对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确；对于D选项，若，随机变量的全部可能的取值为，且，，，由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误，故选AC．【点睛】本题主要考查新定义“信息熵”的理解和应用，须要结合对数运算、对数函数及不等式性质进行求解．一、单选题．1．设向量，，定义一种运算“”．向量，已知，，点在的图象上运动，点在的图象上运动且满意（其中为坐标原点），则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，点的坐标为，则，又因为点在的图象上运动，所以点的坐标满意的解析式，即，所以函数的最小值为，故应选B．2．数列满意：对随意的且，总存在，使得，则称数列是“数列”，现有以下四个数列：①；②；③；④，其中是“数列”的有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】令，则，所以数列是“数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；令，则，所以数列是“数列”，综上，“数列”的个数为．二、多选题．3．在上定义运算：，若不等式对随意实数恒成立，则下列实数的描述中正确的有（）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】BC【解析】原不等式等价于，即对随意实数恒成立，又，∴，解得．4．能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】椭圆的中心为原点，选项BC中函数是奇函数且图像关于原点对称，过原点，故是亲和函数；选项A非奇非偶函数，选项D为偶函数，故不是亲和函数．三、填空题．5．定义运算，则关于正实数的不等式的解集为．【答案】【解析】∵，，∴，同理可得，∴不等式的解集为．6．设全集，用的子集可表示由，组成的位字符串，如：表示的是第个字符为，第个字符为，其余均为的位字符串，并规定空集表示的字符串为．（1）若，则表示位字符串为_______．（2）若，集合表示的字符串为，则满意条件的集合的个数为_______个．【答案】，【解析】①表示的位字符串是，则表示的位字符串为；②若，集合表示的字符串为，∴集合可能是，，，，故满意条件的集合有个．7．丹麦数学家琴生（）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特殊是在函数的凸凹性与不等式方面留下了许多珍贵的成果，设函数在上的导函数为，在的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是．【答案】【解析】，，∵函数在上是“凸函数”，∴在上，恒成立，∴，即，令，明显在上单调递增，∴，∴，故答案为．8．假如定义在上的函数满意：对于随意，都有，则称为“函数”．给出下列函数：①；②；③；④，其中“函数”的个数是．【答案】②③【解析】∵对于随意给定的不等实数，，不等式恒成立，∴不等式等价为恒成立，即函数是定义在上的不减函数（