2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第01讲集合(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

则的值为（

）A． B． C．1 D．2二、多选题9．（2024上·江西·高一校联考期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（

）

A． B． C． D．10．（2024上·福建厦门·高二统考期末）已知集合，.若，则实数可以为（

）A．0 B． C．1 D．2三、填空题11．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则实数m的取值范围为．12．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有人.四、解答题13．（2024上·江西上饶·高一统考期末）已知集合，，.(1)求，；(2)若，求的取值范围.14．（2024上·浙江宁波·高一余姚中学校联考期末）已知集合，.(1)当时，求；(2)从①；②；③中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.B能力提升1．（2024·四川南充·统考一模）已知全集，集合则能表示关系的图是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·全国·统考模拟预测）定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023·重庆·重庆市石柱中学校校联考一模）设非空集合满足，，则这样的的个数为．4．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）定义两个点集，之间的距离集为，其中表示两点，之间的距离.已知，，，，，则的一个可能值为.5．（2023上·上海·高一校考期中）是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．与集合相等的集合序号是.C综合素养6．（2024上·北京顺义·高三统考期末）给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．(1)分别判断集合与是否具有性质；(2)若集合具有性质，求的值；(3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．7．（2024上·北京丰台·高一统考期末）设，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“无和划分”：①；②，，；③，且C中的最小元素大于B中的最小元素；④，，，必有，，.(1)若，，，判断A，B，C是否是“无和划分”，并说明理由.(2)已知A，B，C是“无和划分”（）.（i）证明：对于任意m，，都有；（ii）若存在i，，使得，记.证明：Ω中的所有奇数都属于A.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）第01讲集合(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由交集定义求交集.【详解】由题意可得，则.故选：D2．（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合，再判断包含关系.【详解】依题意，，，所以，.故选：A3．（2024下·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合的定义可得集合.【详解】因为集合，，则.故选：A.4．（2024上·河南南阳·高一统考期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得.【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故.对于A项，，故A项错误；对于B项，，故B项错误；对于C项，因，故，故C项正确；对于D项，依题有，,则，故D项错误.故选：C.5．（2024上·四川·高三校联考期末）集合的一个真子集可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】，故A错误；，故B错误；因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；是集合的真子集，故C正确.故选：C.6．（2024上·山东威海·高三统考期末）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解出两个集合，然后根据交集的定义得出答案.【详解】由题意得：或，，所以.故选：D7．（2024上·江西·高三校联考期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式得集合A和集合B，然后根据补集运算和交集运算求解即可.【详解】由，得或，所以或，所以.由得，所以，所以.故选：B8．（2024上·湖南岳阳·高一校考期末）已知，，若集合，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，所以，解得或当时，不满足集合元素的互异性，故，，.故选：B.二、多选题9．（2024上·江西·高一校联考期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（

）

A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果.【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合，即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且；因此阴影部分可表示为，即A正确；且，因此阴影部分可表示为，C正确；易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误.故选：AC.10．（2024上·福建厦门·高二统考期末）已知集合，.若，则实数可以为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】ABC【分析】由已知，圆在圆的内部或圆上，即圆心距小于或等于半径差.【详解】由题意，，即圆在圆的内部或圆上，则，即.故选：ABC

三、填空题11．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则实数m的取值范围为．【答案】【分析】先利用基本不等式求得集合，再由得到，即可求得.【详解】由集合中，当时，，当且仅当，即时等号成立，故．因为，所以，所以，故实数m的取值范围为．故答案为：.12．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有人.【答案】6【分析】根据韦恩图计算得到答案.【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人，可得，解得．易知只参加趣味比赛一项的有6人，故答案为：6四、解答题13．（2024上·江西上饶·高一统考期末）已知集合，，.(1)求，；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)，或(2)【分析】（1）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.（2）根据列不等式，从而求得的取值范围.【详解】（1）依题意，集合，，所以，或，所以或.（2）由于，若，则.14．（2024上·浙江宁波·高一余姚中学校联考期末）已知集合，.(1)当时，求；(2)从①；②；③中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，写出集合，并解出集合，利用并集的定义可得出集合；（2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：由，得，得，所以，当时，，所以.（2）解：若选①，因为，则，当，即，得；当时，则有，解得，综上，实数的取值范围是；若选②，因为，则，当，即，得；当时，则有，解得，综上，实数的取值范围是；若选③，因为，则，当，即，得；当时，则有，解得，综上，实数的取值范围是.B能力提升1．（2024·四川南充·统考一模）已知全集，集合则能表示关系的图是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】解出集合后，求得，逐项分析即可.【详解】因为，，所以，对于A，，错误；对于C，，错误；对于D，错误；B选项符合题意，故选：B.2．（2023·全国·统考模拟预测）定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出函数的图象，结合函数图象即可求出集合，分类讨论求出集合，再根据嵌套集合的定义即可得解.【详解】因为，所有，由，得，如图，作出函数的图象，由图可知，不等式的解集为，所以且，由，得，当，即时，则，不符题意；当，即时，则，由，得，根据嵌套集合得定义可得，解得；当，即时，则，由，得，根据嵌套集合得定义可得，无解，综上所述，实数的取值范围为.故选：A.3．（2023·重庆·重庆市石柱中学校校联考一模）设非空集合满足，，则这样的的个数为．【答案】【分析】利用非空集合子集的个数计算公式可求满足条件的的个数.【详解】由题设可得，这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合中，故这样的非空集合的个数为，故答案为：4．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）定义两个点集，之间的距离集为，其中表示两点，之间的距离.已知，，，，，则的一个可能值为.【答案】（答案不唯一，可填，中任何一个）.【分析】根据集合表示双曲线上支，集合表示直线，将转化为直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为1即可求解.【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为1.双曲线的渐近线为，不妨取，则，平行线的距离，故，，.故答案为：（答案不唯一，可填，中任何一个）.5．（2023上·上海·高一校考期中）是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．与集合相等的集合序号是.【答案】④【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可.【详解】对于①，因为，设，则，不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等；（2）若集合具有性质，记，则，令，则，从而必有，不妨设，则，且，令，，则，且，且，以下分类讨论：1）当时，若，此时，满足性质；若，舍；若，无解；2）当时，则，注意且，可知无解；经检验符合题意，综上；（3）首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，不妨设，其中，，根据题意，且，从而或，1）当时，，并且，，由上可得，并且，综上可知；2）当时，同理可得，据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，分别是，，或.【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.7．（2024上·北京丰台·高一统考期末）设，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“无和划分”：①；②，，；③，且C中的最小元素大于B中的最小元素；④，，，必有，，.(1)若，，，判断A，B，C是否是“无和划分”，并说明理由.(2)已知A，B，C是“无和划分”（）.（i）证明：对于任意m，，都有；（ii）若存在i，，使得，记.证明：Ω中的所有奇数都属于A.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）【答案】(1)不是，理由见解析(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）可取，，从而可求解.（2）（i）利用假设法存在，，使得，根据题意证得假设不成立，从而求解；（ii）利用，，是“无和划分”，分别设出存在且，且最小值设为，然后分类讨论不同的情况，从而可求解.【详解】（1）不是.取，，则，说明A，B，C不是“无和划分”.（2）（i）假设存在，，使得，记的最小值为，则，；设中最小的元素为，则，所以，所以，（否则与，，矛盾），（否则与，矛盾），所以，因为，所以，不同属于C.所以，这与矛盾.所以假设不成立，原命题成立.（ii）因为A，B，C是“无和划分”，且存在，，使得，记的最小值为，所以，；由（1）知，，，，因为，所以，，所以，设中最小的元素为，若，则，所以，所以，（否则与，，矛盾），所以（否