江西省等三省十校2025届高二上数学期末检测模拟试题含解析

江西省等三省十校2025届高二上数学期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（）A.2 B.3C.4 D.52．已知直线l和抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则p的值为（）A. B.1C. D.23．设,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知，是一对相关曲线的焦点，Р是这对相关曲线在第一象限的交点，则点Р与以为直径的圆的位置关系是（）A.在圆外 B.在圆上C.在圆内 D.不确定6．命题“若，则”的逆否命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则7．如图，在三棱锥中，点E在上，满足，点F为的中点，记分别为，则（）A. B.C. D.8．已知点，点关于原点对称点为，则（）A. B.C. D.9．已知实数a，b，c，若a＞b，则下列不等式成立的是（）A B.C. D.10．已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（）A.外离 B.外切C.内含 D.内切11．在中，已知，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形12．为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（）A.60 B.120C.150 D.240二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．阿基米德（公元前287—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆经过点，则当取得最大值时，椭圆的面积为_________14．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”.（1）设，则在上的“新驻点”为___________；（2）如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是___________.15．展开式中的系数是___________.16．等差数列的前项和为，已知，则__.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f(x)=x3+ax2+2，x=2是f(x)的一个极值点.（1）求实数a的值；（2）求f(x)在区间(-1，4]上的最大值和最小值.18．（12分）在复数集C内方程有六个根分别为（1）解出这六个根；（2）在复平面内，这六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F；求多边形ABCDEF的面积19．（12分）“绿水青山就是金山银山”，中国一直践行创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，着力促进经济实现高质量发展，决心走绿色、低碳、可持续发展之路．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年我国新能源汽车销量占总销量将达20%以上.2021年，某集团以20亿元收购某品牌新能源汽车制造企业，并计划投资30亿元来发展该品牌.2021年该品牌汽车的销售量为10万辆，每辆车的平均销售利润为3000元．据专家预测，以后每年销售量比上一年增加10万辆，每辆车的平均销售利润比上一年减少10%（1）若把2021年看作第一年，则第n年的销售利润为多少亿元？（2）到2027年年底，该集团能否通过该品牌汽车实现盈利？（实现盈利即销售利润超过总投资，参考数据：，，）20．（12分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，F为椭圆的右焦点（1）求椭圆C的方程；（2）经过点的直线与椭圆C交于两点，，且以为直径的圆经过原点，求直线的斜率；（3）点是以长轴为直径的圆上一点，圆在点处的切线交直线于点，求证：过点且垂直于的直线过定点21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，且的面积为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线．设直线交轴于，交轴于，且点，求的轨迹方程22．（10分）在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.【详解】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数极值点的个数为4个.故选：C.2、B【解析】由垂直关系得出直线l方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理以及数量积公式得出p的值.【详解】，，即联立直线和抛物线方程得设，则解得故选：B3、B【解析】,，所以是必要不充分条件，故选B.考点：1.指、对数函数的性质；2.充分条件与必要条件.4、A【解析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，因为,所以平面，因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，所以，因为点P到底面的距离为3，所以，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：A5、A【解析】设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，根据题意可得，设，根据椭圆与双曲线的定义将分别用表示，设，再根据两点的距离公式将点的坐标用表示，从而可判断出点与圆的位置关系.【详解】解：设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则，所以，以为直径的圆的方程为，设，则有，所以，设，，所以①，②，则①②得，所以，所以，将代入②得，所以，，则点到圆心的距离为，所以点Р在以为直径的圆外.故选：A.6、C【解析】根据逆否命题的定义写出逆否命题即得【详解】解：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为原命题的逆否命题，即“若，则”的逆否命题是“若，则”故选：C7、B【解析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱锥用表示出即可.【详解】由题设，，，，.故选：B8、C【解析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.【详解】因为点关于原点的对称点为，所以,因此，故选：C9、C【解析】根据不等式的性质逐一分析即可得出答案.【详解】解：对于A，因为a＞b，若，则，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若a＞b，又，所以，故C正确；对于D，当时，，故D错误.故选：C.10、C【解析】求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.【详解】由两圆的标准方程可得，，，；则，所以两圆不可能内含.故选：C.11、B【解析】利用诱导公式、两角和的正弦公式化简已知条件，由此判断出三角形的形状.【详解】由，得，得，由于，所以，所以.故选：B12、C【解析】结合排列组合的知识，分两种情况求解.【详解】当分组为1人,1人,3人时，有种，当分组为1人，2人，2人时有种，所以共有种排法.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用基本不等式得出取得最大值时的条件结合可知，再利用点在椭圆方程上，故可求得、的值,进而求出椭圆的面积.详解】由基本不等式可得，当且仅当时取得最大值，由可知，∵椭圆经过点，∴，解得，，则椭圆的面积为.故答案为：.14、①.②.【解析】（1）根据“新驻点”的定义求得，结合可得出结果；（2）求出的值，利用零点存在定理判断所在的区间，进而可得出与的大小关系.详解】（1），，根据“新驻点”的定义得，即，可得，，解得，所以，函数在上的“新驻点”为；（2），则，根据“新驻点”的定义得，即.，则，由“新驻点”的定义得，即，构造函数，则函数在定义域上为增函数，，，，由零点存在定理可知，，.故答案为：（1）；（2）.【点睛】本题考查导数的计算，是新定义的题型，关键是理解“新驻点”的定义.15、【解析】根据二项展开式的通项公式，可知展开式中含的项，以及展开式中含的项，再根据组合数的运算即可求出结果.【详解】解：由题意可得，展开式中含的项为，而展开式中含的项为，所以的系数为.故答案为：.16、【解析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出.【详解】因为等差数列的前项和为，，则，故答案为：33.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最大值为18，最小值为.【解析】（1）解方程即得解；（2）利用导数求出函数的单调区间分析即得解.【小问1详解】解：因为，所以，因为在处有极值，所以，即，所以.经检验，当时，符合题意.所以.【小问2详解】解：由（1）可知，所以，令，得，当时，由得，；由得，或.所以函数在上递增，在上递减，在上递增，又.所以的最小值为，又，所以的最大值为，所以在的最大值为18，最小值为.18、（1）（2）【解析】（1）原式可因式分解为，令，设可求解出的两个虚根，同理可求解的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可【小问1详解】由题意，当时，设故，所以解得：，即当时，设故所以解得：，即故：【小问2详解】六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F，其中在复平面中描出这六个点如图所示：六个点构成的图形为正六边形，边长为1故19、（1）亿元（2）该集团能通过该品牌汽车实现盈利【解析】（1）由题意可求得第n年的销售量，第n年每辆车的平均销售利润，从而可求出第n年的销售利润，（2）利用错位相减法求出到2027年年底销售利润总和，再与总投资额比较即可【小问1详解】设第n年的销售量为万辆，则该汽车的年销售量构成首项为10，公差为10的等差数列，所以，设第n年每辆车的平均销售利润为元，则每辆汽车的平均销售利润构成首项为3000，公比为0.9的等比数列，所以，记第n年的销售利润为，则万元；即第n年的销售利润为亿元【小问2详解】到2027年年底，设销售利润总和为S亿元，则①，②，①﹣②得亿元，而总投资为亿元，因为，则到2027年年底，该集团能通过该品牌汽车实现盈利20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意中离心率和长轴长可求出，即可求出椭圆方程.（2）设出与的坐标即直线的方程，把直线与椭圆方程进行联立写出韦达定理，由题意以为直径圆经过原点可得，化简即可求出直线的斜率.（3）由题意可得圆的方程，设，由和直线的方程化简，即可得到答案.【小问1详解】，，椭圆C的方程为.【小问2详解】由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.设.把直线的方程与椭圆的方程进行联立得：..由以为直径圆经过原点知，..经检验，满足，所以.【小问3详解】由题意可得圆的方程为，设，由得.①.当时，，直线的方程为.直线过椭圆的右焦点.当时，直线的斜率为且过，②把①代入②中得.故直线过椭圆的右焦点.综上所述，直线过椭圆的右焦点.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；（2）将与椭圆方程联立可得，得，结合韦达定理可确定点坐标，由此可得方程，进而得到，化简整理即可得到所求轨迹方程.【小问1详解】由焦点坐标可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，椭圆的方程为：；【小问2详解】由得：，，整理可得：；，解得：，，则，令，解得：；令，解得：；，即，又，，则的轨迹方程为：.【点睛】思路点睛：本题考查动点轨迹方程的求解问题，解题基本思路是能够利用变量表示出所求点的坐标，根据坐标之间关系，化简整理消掉变量得到所求轨迹方程；易错点是忽略题目中的限制条