专题261概率初步（举一反三）（沪科版）

专题26.1概率初步【十二大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1事件的分类】 1【题型2判断事件发生的可能性的大小】 3【题型3根据概率公式计算概率】 5【题型4几何概率】 7【题型5游戏的公平性】 11【题型6概率在比赛中的应用】 14【题型7概率在电路问题中的应用】 18【题型8概率在转盘抽奖中的应用】 22【题型9概率在摸球试验中的应用】 26【题型10概率中的其他应用】 30【题型11概率与统计的综合】 33【题型12用频率估计概率】 40【知识点1必然事件、不可能事件、随机事件】在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。【题型1事件的分类】【例1】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，下列事件是随机事件的是（）A．a-b>0 B．a+b>0【答案】B【分析】根据题意可得a<0，b【详解】解：∵数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，∴a<0，∴a-b<0，a+bA、a-b>0B、a+b>0C、ab<0是必然事件，故CD、ab>0是不可能事件，故故选：B．【点睛】本题考查了随机事件，数轴，有理数的加法，减法，乘法，除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式11】（2023春·广东梅州·九年级统考期末）下列成语，是必然事件的是（）A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水中捞月 D．旭日东升【答案】D【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件．【详解】解：A、画饼充饥是不可能事件，不符合题意；B、不期而遇是随机事件，不符合题意；C、水中捞月是不可能事件，不符合题意；D、旭日东升是必然事件，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【变式12】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）下列事件：①掷一次骰子，向上一面的点数是3；②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球；③14个人中至少有两个人的生日是在同一个月份；④射击运动员射击一次命中靶心．其中是确定事件的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据事件分类的相关定义进行解答即可．事件分为随机事件、不可能事件、必然事件，其中不可能事件和必然事件统称为确定事件．在一定条件下；可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；必然发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件．【详解】解：①掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球，是不可能事件，属于确定事件，符合题意；③14个人中至少有两个人的生日是在同一个月份，是必然事件，属于确定事件，符合题意；④射击运动员射击一次命中靶心，是随机事件，不符合题意；综上分析可知，是确定事件的有2个．故选：B．【点睛】本题考查的是事件的分类，掌握相关概念是解题的关键．【变式13】（2023春·江苏镇江·九年级统考期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是（填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．【答案】随机事件【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【详解】“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件．故答案为：随机事件．【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．【知识点2事件发生的可能性的大小】必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。【题型2判断事件发生的可能性的大小】【例2】（2023春·全国·九年级期末）在下列事件中，发生的可能性最小的是（

）A．在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下B．射击运动员射击一次，命中10环C．杭州五一节当天的最高温度为35℃D．用长为10cm，10cm，【答案】D【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件类型，即可得到答案．【详解】解：A、在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下，是必然事件，不符合题意；B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；C、杭州五一节当天的最高温度为35℃，是随机事件，不符合题意；D、用长为10cm，10cm，20故选：D．【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0~1之间．【变式21】（2023春·山东临沂·九年级统考期末）小明连续抛一枚质量均匀的硬币5次，都是正面朝上，若他再抛一次，则朝上的一面（

）A．一定是正面 B．是正面的可能性较大C．一定是反面 D．是正面或反面的可能性一样大【答案】D【分析】根据实际情况可知，硬币有2面，正面和反面；投掷一次，正面与反面的可能性是一样的，据此解答.【详解】解：小明连续抛一枚硬币，前5次都是正面朝上，抛第6次正面朝上和反面朝上的可能性一样大．故选D.【点睛】本题考查的是可能性的运用,较为简单.【变式22】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）在质地均匀的小立方体中，有一个面上标有数字1，有两个面上标有数字2，有三个面上标有数字3，抛掷这个小立方体，则向上一面的数字可能性最大的是．【答案】3【分析】根据概率公式即可得出答案．【详解】解：∵小立方体的一个面上标有数字1，两个面上标有数字2，三个面上标有数字3，∴向上一面的数字可能性最大的是3；故答案为：3．【点睛】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．【变式23】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）一个袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到球的可能性最大．【答案】黄【分析】利用概率公式分别计算出摸到红球、黄球、白球的概率，然后利用概率的大小判断可能性的大小．【详解】解：∵袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，∴总球数是：3+5+3=11个，∴摸到红球的概率是311摸到黄球的概率是511摸到白球的概率是311∴摸出黄球的可能性最大．故答案为：黄．【点睛】本题主要考查了可能性的大小，解题的关键是计算每种颜色球摸到的概率．【知识点3概率】一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=mn。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤mn≤1，因此0≤P（A）当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.【题型3根据概率公式计算概率】【例3】（2023春·四川广元·九年级统考期末）在一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同.搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为12，应在该盒子中再添加红球（

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【答案】D【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得x+1【详解】解：设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：x+1解得：x=1经检验，x=1故选：D．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【变式31】（2023春·辽宁铁岭·九年级统考期末）四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率为（

）A．14 B．12 C．34【答案】C【分析】首先由等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，再直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵等边三角形、平行四边形、、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是轴对称图形的概率是：34故选：C．【点睛】本题主要考查了概率公式，轴对称图形的识别，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A【变式32】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（

）A．摸到黄球、红球的概率均为1B．摸到黄球的概率是23，摸到红球、白球的概率均为C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为12、13D．摸到黄球、红球、白球的概率都是1【答案】B【分析】分析各个选项中的概率之和即可选出不成功的选项．【详解】A.P摸到黄球B.P摸到黄球C.P摸到黄球D.P摸到黄球故选：B．【点睛】本题考查简单事件的概率．一次试验中有n种等可能的结果，每种结果出现的概率之和为1．【变式33】（2023春·四川泸州·九年级统考期末）九年级学生李明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为2A．19 B．29 C．49【答案】C【分析】利用十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，遇到每种信号灯的概率之和为1，进而求出即可．【详解】解：∵十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为2∴他遇到绿灯的概率为：1-1故选：C．【点睛】本题考查了概率公式，掌握遇到每种信号灯的概率之和为1是关键．【知识点4用列表法、树状图法求概率】列表法：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现的次数与方式，以及某一事件发生的可能的次数与方式，并求出概率的方法。树状图法：当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。【题型4几何概率】【例4】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（

）A．23 B．12 C．13【答案】C【分析】设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9，阴影区域的面积3，然后根据概率的定义计算即可．【详解】解：设每小格的面积为1，∴整个方砖的面积为9，阴影区域的面积为3，∴最终停在阴影区域上的概率为：39故选：C．【点睛】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n,再计算出其中某个区域的几何图形的面积m,然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=mn【变式41】（2023·广西河池·九年级统考期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（）A．2π B．π2 C．12【答案】A【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可.【详解】因为⊙O的直径为2分米，则半径为22分米，⊙O的面积为π正方形的边长为222+因为豆子落在圆内每一个地方是均等的，所以P（豆子落在正方形ABCD内）=1故答案为A．【点睛】此题主要考查几何概率的意义：一般地，如果试验的基本事件为m，随机事件A所包含的基本事件数为n，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有P（A）=nm【变式42】（2023春·河北唐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AD为中线，点E，F，G为AD的四等分点，在△ABC内任意抛一粒豆子，豆子落在阴影部分的概率为【答案】3【分析】先求出阴影部分的面积与总面积的关系，再根据概率=相应的面积与总面积之比即可求出答案．【详解】解：∵在△ABC中，AD∴S△∵点E、F、∴S△EDC=34∴，S∴S阴影部分∴豆子落在阴影部分的概率为38故答案为：38【点睛】此题考查了几何概率，关键是求出阴影部分的面积与总面积的关系，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．【变式43】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是．【答案】3【分析】设正方形的边长为4，将△BIC的面积和▱GHEF【详解】设正方形ABDF的边长为4，则S正方形ABDF=∵△BIC∴∠∴IC∴∴∵Rt△CDE中，∴∴OH∴∴∴此点取自黑色部分的概率是S【点睛】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是正确计算出阴影部分的面积.【题型5游戏的公平性】【例5】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）一个不透明的布袋里装有20个除颜色外均相同的小球，其中白球有x个，红球有2x(1)当x=5(2)要使游戏对甲乙双方是公平的，x应取何值？【答案】(1)摸到红球的可能性更大(2)x【分析】（1）根据x=5（2）根据概率相等时，游戏公平，列式求解即可．【详解】（1）解：当x=5时，则红球有10个，黄球有5∵红球的个数多于黄球的个数，∴摸到红球的可能性更大，∴当x=5（2）要使游戏对甲乙双方公平，必须有：2解得x=4∴当x=4【点睛】本题考查利用概率解决游戏公平性．熟练掌握概率公式，是解题的关键．【变式51】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期末）有3张背面相同的纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的图形（如图），将这3张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．(1)随机地摸出一张，求摸出牌面图形是轴对称图形的概率；(2)小华和小明玩游戏，规则是：随机地摸出一张，放回洗匀后再摸一张．若摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌，则小华赢；否则，小明赢．你认为该游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．（纸牌可用A，B，C表示）【答案】(1)2(2)不公平，理由见解析【分析】（1）随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有2种，再利用概率公式计算即可得；（2）先画出树状图，从而可得摸出两张牌的所有等可能的结果，再找出摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果，然后利用概率公式求出摸出两张牌面图形都是轴对称图形、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率，由此即可得．【详解】（1）解：由题意，随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有纸牌A,B，共则摸出牌面图形是轴对称图形的概率为P=（2）解：由题意，画出树状图如下：由图可知，摸出两张牌共有9种等可能的结果，其中摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果有4种、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的结果有5种，则摸出两张牌面图形都是轴对称图形的概率是49，摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率是5因为49所以这个游戏不公平．【点睛】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．【变式52】（2023·北京海淀·九年级期末）在一只不透明的袋中，装着标有数字4，5，7，9的质地、大小均相同的四个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于13时小明获胜，反之小东获胜．(1)请用列表的方法，求小明获胜的概率；(2)这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】(1)12(2)游戏公平，理由如下．【分析】（1）根据题意以小明为横排，小东为竖列，列出所有情况，找到和小于13时的情况及大于或等于13的情况，根据P(（2）比较小东、小明的概率即可得到公平性．【详解】（1）解：由题意可得，以小明为横排，小东为竖列，列表如下：根据表可知：总共有12种情况，小于13的有6种，大于或等于13的有6种，∴P(小明（2）解：这个游戏公平，理由如下，由（1）得，P(∴P∴这个游戏公平．【点睛】本题考查用列表法求概率及判断游戏公平性，解题的关键是，列出表格，找到所有情况及小于13的情况．【变式53】（2023春·黑龙江黑河·九年级统考期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)【答案】(1)此游戏不公平，见解析(2)点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢【分析】（1）画树状图求出淘淘和明明获胜的概率，再比较概率即可判定游戏是否公平；（2）设计一个两人获胜概率一样的游戏规则即可．【详解】（1）解：画树状图：由图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，故P(和为6)=536，P(和为7)P(和为6)<P(和为7)，∴明明获胜的概率大，此游戏不公平；（2）解：如：“点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．”（答案不唯一）由（1）树状图可知：点数之和等于6出现5次，点数之和等于8也出现5次，∴P(和为6)=536，P(和为8)∴P(和为6)=P(和为8)，故游戏公平．【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，游戏公平性问题，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率是解题的关键．【题型6概率在比赛中的应用】【例6】（2023春·陕西榆林·九年级统考期中）某校将举办“齐学二十大，共筑中国梦”的主题演讲比赛，九年级通过预赛确定出两名男生和两名女生，共4名同学作为推荐人选．(1)若从中随机选一名同学参加学校比赛，则选中女生的概率为______；(2)若从中随机选两名同学组成一组选手参加比赛，请用树状图（或列表法）求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．【答案】(1)1(2)2【分析】（1）画出树状图，找出所有情况及可能情况，根据P(（2）画出树状图，找出所有情况及可能情况，根据P(【详解】（1）解：由题意可得，树状图如下所示，，共有4种等可能出现的结果，其中选中女生的有2种，∴选中女生的概率为P=（2）解：由题意可得，树状图如下所示，

共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的有8种，∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为P=【点睛】本题考查树状图法求概率，解题的关键是正确化出树状图．【变式61】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）为让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学组织了一次黑板报比赛，每个班从A．“天宫空间站”；B．“5G时代”：C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个主题，每一个主题被选择的可能性相同，小明和小雨在不同的班级(1)小明所在的班级选择“天宫空间站”的概率为___________；(2)请用列表法或画树状图法，求小明和小丽所在的班级选择相同主题的概率【答案】(1)1(2)1【分析】（1）用概率公式即可计算出概率；（2）画出树状图，再用概率公式计算即可．【详解】（1）解：根据题意得：一共有4种选择，明所在的班级选择“天宫空间站”的概率为14故答案为：14（2）画树状图如下：由树状图知共有16种等可能结果，其中小明和小丽所在的班级选择相同主题的有4种结果，所以小明和小丽所在的班级选择相同主题的概率为416【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【变式62】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）为庆祝二十大胜利召开，中山区教育系统拔河比赛于2022年10月26日至11月2日在东港第一中学成功举办．本次比赛共进行三场，分别为：A．10月26日初赛，B．10月28日半决赛，C．11月2日决赛．李老师和张老师都是裁判员，他们被随机分配到这三场比赛中的任意一场进行裁判的可能性相同．(1)求李老师被分配到C做裁判员的概率；(2)利用画树状图或列表的方法，求李老师和张老师同时被分配到同一场比赛做裁判员的概率．【答案】(1)李老师被分配到C做裁判员的概率是1(2)李老师和张老师同时被分配到同一场比赛作裁判的概率是1【分析】（1）这是求简单事件的概率，求得所有可能的结果数及事件发生的结果数，再由概率计算公式进行计算即可；（2）利用列表法，可得所有可能的结果数及事件发生的结果数，再由概率计算公式进行计算即可．【详解】（1）李老师被分配到三场比赛作裁判员的可能性有三种，并且可能性相等．被分到C的可能性只有一种．∴P(（2）列表如下：李老师张老师ABCAABCBABCCABC由表可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且出现的可能性相等．两人同时被分配到同一场比赛做裁判的可能性有3种，即A,A，B,∴李老师和张老师同时被分配到同一场比赛作裁判的概率P=【点睛】本题考查了求简单事件的概率及稍复杂事件的概率，对于稍复杂事件的概率，运用列表法或树状图解决，无论哪种求概率，都要求出所有可能的结果数及事件发生的结果数，再由概率计算公式进行计算．【变式63】（2023春·陕西商洛·九年级校考期末）为庆祝党的二十大胜利召开，某学校举行作文比赛，题目有“伟大的中国共产党”“科技托起中国梦”“家乡的新变化”“时代赋予我们的使命”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）．比赛时，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片，进行比赛．试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小青和小云抽中不同题目的概率．【答案】3【分析】列表法求概率即可．【详解】解：由题意，列表如下：ABCDAA，AA，BA，CA，DBB，AB，BB，CB，DCC，AC，BC，CC，DDD，AD，BD，CD，D共有16种等可能的结果，其中小青和小云抽中不同题目的结果有12种，∴P=【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．【题型7概率在电路问题中的应用】【例7】（2023·陕西榆林·统考三模）如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中S₁、S₂、S₃、S₄分别表示四个可开闭的开关，

(1)当开关S₁闭合时，再随机闭合开关S₂或S₃或S(2)当随机闭合开关S₁【答案】(1)1(2)1【分析】（1）据概率公式直接填空即可；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）解：当开关S₁闭合时，再随机闭合开关S₂或S₃或S₄其中一个，三种情况中小灯泡会发光的只有闭合开关故答案为：13（2）解：画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，∴小灯泡发光的概率为6【点睛】题主要考查概率的求法．是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，掌握根据题意正确画出树状图或列表法以及概率的计算方法是解题的关键．【变式71】（2023春·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1，S2，S3【答案】1【分析】根据概率计算方法解答即可；【详解】当闭合开关S1，S2时，灯泡发光；当闭合开关S1，S3时，灯泡发光；当闭合开关S2故答案为1【点睛】该题考查了概率的计算，能够正确的写出所有的可能情况，清楚概率的计算方法是解答该题的关键．【变式72】（2023·河南新乡·统考三模）如图，电路上有编号①②③④共4个开关和1个小灯泡，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为．【答案】1【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出能够“点亮灯泡”的情况数，进而求出概率．【详解】解：列表如下：①②③④①(①,②)(①,③)(①,④)②(②,①)(②,③)(②,④)③(③,①)(③,②)(③,④)④(④,①)(④,②)(④,③)∴一共有12种情况，能使小灯泡发光的有4种情况，∴小灯泡发光的的概率为：412故答案为：13【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．【变式73】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．

(1)如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是________；(2)如图2，在图1的电路图中，新增一个开关组B，在A、(3)小明同学观察图2后提出：“若将开关S5或S6去掉，则在A、【答案】(1)1(2)1(3)小明同学的说法正确，理由见解析【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到能使小灯泡发亮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到能使小灯泡发亮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】（1）解：由并联电路的特点可知，闭合三个开关中的任何一个开关都能使灯泡发亮，∴闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是1，故答案为：1；（2）解：设用A，B，C表示S1，S2，S3，用D列表如下：ABCDEFA（A，D）（A，E）（A，F）B（B，D）（B，E）（B，F）C（C，D）（C，E）（C，F）D（D，A）（D，B）（D，C）E（E，A）（E，B）（E，C）F（F，A）（F，B）（F，C）由表格可知一共有18种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发亮（AD、BD、∴能使小灯泡发亮的概率为618（3）解：小明同学的说法正确，理由如下：列表如下：设用A，B，C表示S1，S2，ABCDA（A，D）B（B，D）C（C，D）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发亮（AD、BD、∴能使小灯泡发亮的概率为66∴若将开关S5或S6去掉，则在∴小明同学的说法正确．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确理解题意列出表格或画出树状图是解题的关键．【题型8概率在转盘抽奖中的应用】【例8】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．【答案】(1)1(2)李同学应该买一个小盲盒好，理由见解析【分析】（1）用列表法展示12种等可能的结果数，找出张同学购买的第1个小盲盒里藏有数字4的结果数，然后根据概率公式求解；（2）先分别计算出李同学购买一个小盲盒和两个小盲盒后最终在手上的钱的平均值，然后再比较即可判断．【详解】（1）解：列表得：42114/4,24,14,122,4/2,12,111,41,2/1,111,41,21,1/共有12种等可能情况，记购买的第1个小盲盒里藏有数字4为事件A，共3种情况，∴PA故答案为：14（2）若李同学购买1个小盲盒，花去3元，还有4元，则可兑换4元的概率为14，兑换2元的概率为14，兑换1元的概率为因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：4+4×1若李同学购买2个小盲盒，花去6元，还有1元，由（1）可知，可兑换6元的概率为212可兑换5元的概率为412可兑换3元的概率为412可兑换2元的概率为212因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：1+6×1∵6>5，∴李同学应该买一个小盲盒好．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和概率的应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．理解和掌握概率公式的应用是解题的关键．【变式81】（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．（1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？（2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元．【答案】（1）12，13，16；（2）210【分析】（1）由圆盘可知，七折圆心角为30°，八折圆心角为60°，九折圆心角为90°，利用它们所占圆的百分比即可算出概率；（2）对于实际花费的168元进行三种情况的计算，即可得到答案．【详解】（1）获得九折的概率为90°×2360°获得八折的概率为60°×2360°获得七折的概率为30°×2360°（2）∵200×0.9=180>168∴他没有获得九折优惠．∵200×0.8=160<168∴168÷0.8=210，∵200×0.7=140<168∴168÷0.7=240答：他消费所购物品的原价应为210元或240元．【点睛】本题考查了用扇形统计图计算概率，解题的关键是掌握概率的计算，以及实际问题的应用情况．【变式82】（2023春·辽宁丹东·九年级校考期中）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？【答案】（1）110（2【分析】（1）画出树状图，找出符合条件的情况，求出其概率即可．（2）根据题意分析不满足条件的情况并找出即可求是否存在不中奖的情况．【详解】解：（1）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况，∴甲同学获得一等奖的概率为：220（2）不是，当两张牌都是3时，|x|=0，不会有奖．【变式83】（2023春·河南三门峡·九年级统考期末）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其他数字则是三等奖，请用列举法分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．【答案】P（一等奖）=116P（二等奖）=316P（三等奖）【详解】试题分析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．试题解析：列表：所以一等奖的概率为116；二等奖的概率为316；三等奖的概率为考点：列表法与树状图法．【题型9概率在摸球试验中的应用】【例9】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期末）阅读材料，回答问题：材料题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？我们可以