专题02集合的运算（4个考点梳理10题型解读提升训练）

专题02集合的运算【清单01】交集1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B.2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．3.图示：4.性质与结论：A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A.【清单02】并集1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}3.图示：4.性质与结论：A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B【清单03】补集1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA.3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}.4.图示：5.拓广解读：(1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示．【清单4】集合中元素的个数【考点题型一】交集运算【例1】（2425高三上·四川绵阳·开学考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式【分析】解一元二次不等式可求得，再结合集合的特征即可计算得出结果.【详解】解不等式可得，又可得只有当时，的取值分别为在集合中，所以.故选：C【变式11】（2324高三下·四川德阳·阶段练习）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】交集的概念及运算【分析】根据集合交集运算求解即可.【详解】,故选：C.【变式12】（河北省保定市20222023学年高一上学期期末调研考试数学试题）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】交集的概念及运算【分析】利用交集的概念计算即可.【详解】根据交集的概念可知。故选：C【变式13】（2024·福建泉州·模拟预测）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】交集的概念及运算、根式不等式【分析】应用排除法或先求集合A,再结合集合的交集判断求解.【详解】解法一：（排除法）因符合题意，排除D；因为符合题意，排除；解法二：因为，所以，故选:C.【变式14】（2425高三上·云南昆明·阶段练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式【分析】解出集合，再利用交集含义即可得到答案.【详解】，而，则.故选：A.【考点题型二】根据交集运算结果求集合或参数【例2】（2425高三上·江西南昌·开学考试）已知集合，若为单元素集合时，则（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；【详解】因为集合，若为单元素集合，则方程组只有唯一解，所以，整理可得，当时，方程变为，此时，符合题意；当时，，所以或，故选：C.【变式21】（2425高三上·陕西安康·开学考试）设集合，若，则（

）A． B．0 C．2 D．【答案】C【知识点】根据交集结果求集合或参数【分析】根据给定条件，利用交集的结果列出方程求解即得.【详解】集合，而，则，经验证a=2符合题意，所以.故选：C【变式22】（2425高三上·广东汕头·开学考试）设集合，，若，则集合（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】根据交集结果求集合或参数【分析】将代入方程求出，再求集合即可.【详解】由可知，当时，，解得：或，即.故选：B【变式23】（2324高一下·安徽芜湖·开学考试）若集合，，则满足的实数a的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知识点】根据交集结果求集合或参数【分析】利用，知，求出的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为，所以，即或者，解之可得或或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。所以实数a的个数为2个.故选：B【变式24】（河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷）已知集合，若，则m的取值范围是.【答案】或【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式【分析】化简集合,由两集合交集为空集，列出不等式即可求解.【详解】因为所以或解得：或故答案为：或【考点题型三】并集运算【例3】（2425高三上·浙江·开学考试）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式【分析】先求出集合，再求出.【详解】由，则，故选：B.【变式31】（2425高三上·黑龙江伊春·开学考试）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】并集的概念及运算【分析】根据并集运算求解即可.【详解】因为，所以.故选：D.【变式32】（2425高三上·湖南永州·开学考试）设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】并集的概念及运算【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.【详解】由，得到或，所以，又由，得到，所以，得到，故选：A.【变式33】（2023·四川·模拟预测）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式【分析】解不等式求集合M，进而根据并集运算求解.【详解】因为，解得，即，且，所以．故选：C．【变式34】（2425高三上·广西贵港·开学考试）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式【分析】解一元二次不等式求出集合，然后由并集运算可得.【详解】解不等式得，即，又，所以.故选：A【考点题型四】根据并集运算结果求集合或参数【例4】（2425高三上·河南·开学考试）已知集合，若，则实数的取值范围为.【答案】【知识点】根据并集结果求集合或参数、公式法解绝对值不等式【分析】求出集合，根据集合的包含关系列不等式组求解可得.【详解】因为，所以，当时，，不满足题意；当时，由解得，依题意有，解得，即实数的取值范围为.故答案为：【变式41】（2024高一·全国·专题练习）已知集合或，.若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】根据并集结果求集合或参数【分析】利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可.【详解】依题意得解得.故选：B【变式42】（2425高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解．【详解】由得，所以或，解得或，所以.故选：D．【变式43】（2425高三上·辽宁沈阳·开学考试）设集合，．若；则a=．【答案】2【知识点】根据并集结果求集合或参数【分析】先化简，再利用集合的性质，以及集合的计算求解即可.【详解】因为，，所以，所以是整数，且，再由集合中元素的互异性知，，．所以a是整数，且，，，得．当时，，，故，满足条件．故答案为：2．【变式44】（2425高三上·辽宁·开学考试）设，若，则实数的取值集合为.【答案】【知识点】根据并集结果求集合或参数【分析】化简集合，即可根据分别求解.【详解】由可得,由于,故,因此，，，故实数的取值集合为，故答案为：【考点题型五】补集运算【例5】（2024·广东珠海·一模）已知全集，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】补集的概念及运算【分析】由条件，结合补集的运算法则求解即可.【详解】因为，，所以，故选：B.【变式51】（2425高三上·北京海淀·开学考试）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】补集的概念及运算【分析】利用补集的概念进行求解.【详解】.故选：C【变式52】（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简集合，进而根据补集的定义求得.【详解】因为，所以，故选：A.【变式53】（2324高三下·北京·开学考试）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式【分析】先用列举法表示集合A，再求补集即可.【详解】因为,所以,因为,所以,所以.故选：B.【变式54】（2425高一上·河南驻马店·开学考试）已知全集，，则．【答案】【知识点】补集的概念及运算【分析】化简集合，再求补集.【详解】，且，当时，，故．故答案为：【考点题型六】根据补集运算结果求集合或参数【例6】（2324高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集，集合，且，则.【答案】【知识点】根据两个集合相等求参数、根据补集运算确定集合或参数【分析】由题设知，应用分类讨论求参数值.【详解】由题设知：，若；若无解；所以.故答案为：【变式61】（2324高二下·浙江宁波·期末）已知全集，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据补集运算确定集合或参数【分析】利用集合的补集概念即得.【详解】依题，由可得，.故选：A.【变式62】（2425高一上·全国·课后作业）已知全集，，若，则的值为（

）A． B．2 C． D．5【答案】C【知识点】根据补集运算确定集合或参数【分析】根据补集的定义求出，从而求出、的值，即可得解.【详解】因为，，所以，又，所以，所以.故选：C【变式63】（2324高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则.【答案】【知识点】根据两个集合相等求参数、根据补集运算确定集合或参数【分析】根据补集的运算可得，即可列等式求解.【详解】由可得，由于，所以，所以，解得，故答案为：【变式64】（2223高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设全集，集合，若，则实数．【答案】－3【知识点】根据元素与集合的关系求参数、补集的概念及运算【分析】由题意确定，进而求得，解得并判断是否满足集合即可.【详解】因为，故，即，故，解得或；当时，，满足条件；当时，，不满足条件；故.故答案为：【考点题型七】交集、并集、补集的综合运算【例7】（2223高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，或，当时.求：(1)；(2).【答案】(1)或(2)【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算【分析】（1）求出集合A，再根据交集运算即可；（2）先求实数上B的补集，再求并集运算即可.【详解】（1）当时，，或，或；（2）或，，.【变式71】（2425高三上·河北·开学考试）设全集是实数集，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、公式法解绝对值不等式【分析】化简集合，再利用补集、交集的定义直接求解即得.【详解】依题意，，则，又，所以.故选：B【变式72】（2425高一下·浙江·开学考试）设集合，求，.【答案】，，.【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算【分析】根据给定条件，利用交集、并集、补集的定义求解即得.【详解】集合，所以，，或，则.【变式73】（2324高一上·山东聊城·阶段练习）已知全集，集合，，求，，．【答案】；；【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算【分析】根据集合的交、并、补的运算，直接求解即可.【详解】因为全集，集合，，则，，所以；；．【变式74】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，.求：(1)集合；(2)集合；(3)集合，.【答案】(1)或.(2)或.(3)，或.【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数【分析】（1）由补集的定义求解即可；（2）由补集和交集的定义求解即可；（3）由交集和并集的定义求解即可.【详解】（1）借助数轴可得

∴或.（2）∵，

∴＝或.

或.（3），

或.【考点题型八】根据集合的运算求参数【例8】（2324高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，.(1)若，求；(2)已知全集，若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数、解不含参数的一元二次不等式【分析】（1）先求集合，再结合集合的交集运算求解即可；（2）根据题意分析可知，结合子集的性质进行求解即可.【详解】（1）由题意可得：，，当时，因为，所以.（2）由（1）可得：，，因为，则，可知，则或，解得或，所以实数a的取值范围为.【变式81】（2024·贵州贵阳·二模）设全集，集合满足，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【知识点】根据补集运算确定集合或参数、补集的概念及运算【分析】根据补集的含义即可得到方程，解出即可.【详解】由题意得，解得.故选：A.【变式82】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解.【详解】由集合，，可得，因为，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：C.【变式83】（2324高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，且，，，则.【答案】【知识点】利用Venn图求集合、根据补集运算确定集合或参数、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数【分析】根据集合间的运算结果推出，并画出韦恩图验证，得到答案.【详解】由题意得，又，故，又，故，且，，因为，故，，因为，故，，综上：，画出韦恩图如下：故答案为：【变式84】（2324高一上·广东珠海·期中）已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用交集的定义求解；（2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果.【详解】（1）集合，，，则由交集的定义可知，且，解得.（2）当，即时，，符合题意；当，即时，，符合题意；当，即时，或，若，则，解得，综上，实数的取值范围是.【考点题型九】集合运算中元素的个数问题【例9】（2324高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】根据交集结果求集合元素个数、根据并集结果求集合元素个数、利用Venn图求集合【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断.【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图，对A：，故A错误；对B：，故B正确；对C：，故C错误；对D：，故D错误；故选：B.

【变式91】（2324高一上·吉林·期末）集合，，则中元素的个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、根据交集结果求集合元素个数【分析】先解不等式，求出集合，然后得到，即可求解.【详解】解不等式可得：，因为,所以集合,又，所以，所以中元素的个数为.故选：.【变式92】（2223高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，则的元素个数为（

）A．8 B．7 C．5 D．2【答案】A【知识点】根据并集结果求集合元素个数、解不含参数的一元二次不等式、并集的概念及运算【分析】化简集合即得解.【详解】解：解不等式，得，则，因为，所以.所以的元素个数为8个.故选：A【变式93】（2324高一上·河南郑州·阶段练习）为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（

）A．237 B．297 C．277 D．267【答案】D【知识点】容斥原理的应用、根据交集结果求集合元素个数、根据交并补混合运算确定集合或参数、根据补集运算确定集合或参数【分析】应用Venn图求解即可.【详解】画出Venn图.全集表示全校学生，分别用集合表示参与“数学建模选修课”和“语文素养选修课”的学生，则表示两项选修课都参与的学生，表示两项选修课都没有参与的学生则可用表示，即.由题意可知，全集元素的个数为317，元素的个数为30，元素的个数为20，则阴影部分表示只参与一项活动的学生，设有人，则，故只参与一项活动的学生数为,故选：D.【变式94】（2324高一上·重庆南岸·期中）重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是．【答案】【知识点】集合的应用【分析】根据集合的知识求得正确答案.【详解】设只喜欢“大阅读”的有人，两者都喜欢的有人，只喜欢“科技嘉年华”的有人，则，解得.故答案为：【考点题型十】集合新定义问题【例10】（2223高一上·河南郑州·阶段练习）当时，定义运算:当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，．在此定义下，若集合，则中元素的个数为．【答案】14【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合新定义【分析】根据定义运算，分成五类情况分