专题12圆的相关性质计算与基础证明（36题）（教师版）（01期）-2023年中考数学真题分类训练

专题12圆的相关性质、计算与基础证明(36题)一、单选题1．(2023·云南·统考中考真题)如图，是的直径，是上一点．若，则(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由是的直径，得出，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，进而即可求解．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．(2023·重庆·统考中考真题)如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据切线的性质及正切的定义得到，再根据勾股定理得到．【详解】解：连接，∵是的切线，为切点，∴，∵，，∴在中，，∵，∴在，，故选：．

【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．4．(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，已知点在上，为的中点．若，则等于()

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．【详解】解：连接，如图所示：

点在上，为的中点，，，，根据圆周角定理可知，，故选：A．【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．5．(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是(

)

A． B． C． D．20【答案】D【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接，

∵矩形内接于，∴∴阴影部分的面积是，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，连接，证明，，可得，从而可得．【详解】解：如图，连接，

∵切于点B，∴，∵，，∴，∴，∴；故选：C.【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性质是解本题的关键．7．(2023·浙江台州·统考中考真题)如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为(

)．

A． B．2 C． D．【答案】D【分析】设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：

则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，由题意可得：，由勾股定理可得：，∴，故选：D.【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．8．(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是()

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，，首先根据勾股定理求出，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，，证明出，利用相似三角形的性质求出．【详解】如图所示，连接，，

∵，，，∴，∵以为直径的半圆与相切于点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，∴解得．故选：B．【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．9．(2023·重庆·统考中考真题)如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：如图，连接，

直线与相切，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．10．(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在中，，则(

)

A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】连接，由圆周角定理得，由得，，，在中，由，计算即可得到答案．【详解】解：连接，如图所示，

，，，，，，在中，，，故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．11．(2023·四川宜宾·统考中考真题)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为()

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，

得，∴点M，N，O三点共线，∵，，∴是等边三角形，∴，∴∴．故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．12．(2023·浙江温州·统考中考真题)如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为(

)

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，【答案】C【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解．【详解】解：过点O作于点E，如图所示：

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，，，∴，∴，∴；故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．13．(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是(

)

A．8 B．6 C．4 D．3【答案】D【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当时，，当时，，∴，∴，∴，∵的底边为定值，∴使得底边上的高最大时，面积最大，点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，

∵，的半径为1，∴∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．二、填空题14．(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，四边形内接于圆，若，则的度数是________．【答案】【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答．【详解】解：∵四边形内接于，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．15．(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则________．

【答案】35【分析】由同弧所对的圆周角相等，得再根据直径所对的圆周角为直角，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：是所对的圆周角，是的直径，，在中，，故答案为:．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．16．(2023年重庆市中考数学真题(A卷))如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为___________．(结果保留)

【答案】【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接，∵四边形是矩形，∴是的直径，∵，∴，∴的半径为，∴的面积为，矩形的面积为，∴阴影部分的面积为；故答案为：；

【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．17．(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是___________．

【答案】【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图，

∵，分别与相切于点，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得是解题的关键．18．(2023·四川南充·统考中考真题)如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________．

【答案】4【分析】根据圆周角定理得出，再由勾股定理确定，半径为，利用垂径定理确定，且，再由勾股定理求解即可．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵点D，M分别是弦，弧的中点，∴，且，∴，∴，故答案为：4．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．19．(2023·四川广安·统考中考真题)如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为___________．

【答案】【分析】连接，过点作于点，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后解直角三角形可得的长，由此即可得．【详解】解：如图，连接，过点作于点，

，，，，，∵圆的半径为7，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．20．(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为_____________．

【答案】或【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可．【详解】解：连接，

∵以为直径的半圆O与相切于点D，∴，，∴设，则，在中：，即：，解得：，∴，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵为等腰三角形，当时，，当时，∵，∴点与点重合，∴，

不存在的情况；综上：的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键．21．(2023·上海·统考中考真题)在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是________．【答案】【分析】先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：由题意画出图形如下：连接，

过点，且，的半径为7，过点，它的半径为，且，，，，，在边上，点在延长线上，，即，，与有公共点，，即，不等式①可化为，解方程得：或，画出函数的大致图象如下：

由函数图象可知，当时，，即不等式①的解集为，同理可得：不等式②的解集为或，则不等式组的解集为，又，半径r的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．三、解答题22．(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．

(1)若，求的度数．(2)若，求的长．【答案】(1)；(2)【分析】(1)根据三角形的外角的性质，即可求解．(2)根据是的切线，可得，在中，勾股定理求得，根据，可得，进而即可求解．【详解】(1)解：∵于点，∴，∴．

(2)∵是的切线，是的半径，∴．在中，∵，∴．∵，∴∴，即，∴．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．23．(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．

(1)求证：直线是是的切线；(2)若，的半径为3，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)由，可知是的直径，由，可得，由，，可得，，则，由，可得，即，进而结论得证；(2)作，垂足为E，如图所示，由题意知，是等腰三角形，则，由题意知，，，可求，，，由勾股定理得，根据，计算求解即可．【详解】(1)证明：∵，∴是的直径，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，又∵是半径，∴直线是是的切线；(2)解：作，垂足为E，如图所示，

∵，∴是等腰三角形，∵，∴，由题意知，，，∴，∴，∴，由勾股定理得，∴，∴的长为．【点睛】本题考查了切线的判定，的圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．24．(2023·四川达州·统考中考真题)如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)6【分析】(1)由，为半径，可知，，则，，，如图1，连接，由，可得，则，即，进而结论得证；(2)如图2，记与交点为，连接，过作于，证明是等边三角形，则，，设半径为，则，由，，可得，证明，则，即，解得或(舍去)，根据，计算求解即可．【详解】(1)解：如图，连接，

∵，∴，∴，∴，由等边对等角可得，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，又∵是半径，∴是的切线；(2)解：如图2，记与交点为，连接，过作于，

∵，∴，∴是等边三角形，∴，，设半径为，∵，∴，∵，∴是等腰三角形，又∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得或(舍去)，∴，∴的长为6．【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．25．(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，．

(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径和的长．【答案】(1)见解析；(2)的半径为3，的长为【分析】(1)先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；(2)设的半径为，则，，在中，利用勾股定理求解即可得；根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得．【详解】(1)证明：如图，连接，

弦，，，，，，，即，，又是的半径，是的切线．(2)解：如图，连接，

设的半径为，则，，，在中，，即，解得，，，，，，即，解得，所以的半径为3，的长为．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质是解题关键．26．(2023·四川南充·统考中考真题)如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．

(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)连接，根据切线的性质得出，再由平行线的性质得出，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；(2)过点A作，过点C作的延长线于点F，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出，再由正切函数确定，，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】(1)证明：连接，如图所示：

∵与相切于点A，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；(2)过点A作，过点C作交的延长线于点F，如图所示：

由(1)得，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，，由(1)得，∵，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形，∴，∵，∴,∴即，解得：，∴．【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．27．(2023·上海·统考中考真题)如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．

(1)求的半径；(2)求的正切值．【答案】(1)5；(2)【分析】(1)延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得；(2)过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得．【详解】(1)解：如图，延长，交于点，连接，

由圆周角定理得：，弦的长为8，且，，解得，的半径为．(2)解：如图，过点作于点，

的半径为5，，，，，，即，解得，，，则的正切值为．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．28．(2023·安徽·统考中考真题)已知四边形内接于，对角线是的直径．

(1)如图1，连接，若，求证；平分；(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．(2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可．【详解】(1)∵对角线是的直径，∴，∴，∴平分．(2)∵对角线是的直径，∴，∴∵，∴，∴四边形平行四边形，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．29．(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)(2)在(1)的条件下，求证：．【答案】见解析【分析】(1)根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解；(2)根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证．【详解】(1)解：方法不唯一，如图所示．

(2)∵，∴．又∵，∴，∴．∵点在以为直径的圆上，∴，∴．又∵为的切线，∴．∵，∴，∴，∴．∵在和中，∴．∴．【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．30．(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．

(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)连接，利用角平分线的性质和等边对等角，证明，即可解答；(2)根据，可得，求出的长，再利用勾股定理得的长，即可得到的长，最后证明，即可解答．【详解】(1)证明：如图，连接，

，，平分，，，，,,是的切线；(2)解：设，则，，解得，，，根据勾股定理可得，,，是直径，，，，，，，．

【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正弦的概念，熟练运用上述性质是解题的关键．31．(2023·江西·统考中考真题)如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．

(1)求的长；(2)若，求证：为的切线．【答案】(1)；(2)见解析【分析】(1)如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可；(2)如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线．【详解】(1)解：如图所示，连接，∵是的直径，且，∴，∵E为上一点，且，∴，∴，∴的长；

(2)证明：如图所示，连接，∵，，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，即，∵是的半径，∴是的切线．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键32．(2023·湖南怀化·统考中考真题)如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．

(1)求证：为的切线；(2)延长与的延长线交于点D，求证：；(3)若，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】(1)连接，证明，即可得证；(2)根据，即可得证；(3)根据圆周角定理得出，进而勾股定理求得，根据，即可求解．【详解】(1)证明：∵是的切线，∴如图所示，连接

在与中，∴∵为上的一点．∴是的切线；(2)∵是的切线；∴，∴∴(3)解：∵，∴，∵∴，∴，∴.【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．33．(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若的半径为3，求的长．【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)6【分析】(1)连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切；(2)解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．【详解】(1)解：直线与相切，理由如下：连接，则：，

∵，即：，∴，∵，∴，∴，∴，∵为的半径，∴直线与相切；(2)解：∵，的半径为3，∴，∴，∴，∵，∴，设：，则：，∴，∴．【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键．34．(2023·四川成都·统考中考真题)如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．

(1)求证：；(2)若，求和的长．【答案】(1)见解析；(2)，【分析】(1)根据，得到，再根据同弦所对的圆周角相等，得到，可证明是等腰三角形，即可解答；(2)根据直径所对的圆周角为直角，得到，设，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；过点作的垂线段，交的延长线于点F，证明，求出的