数学教材习题点拨：三角函数的图象与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨练习A1．(1)先运用“五点法”作出函数y＝－sinx在[0，2π]上的图象,再把所得图象向左扩展2π个单位，即得y＝－sinx,x∈[－2π,2π]的图象，图略．（2)先运用“五点法”作出函数y＝sinx－2在［0,2π］上的图象，再把所得图象向左扩展2π个单位，即得y＝sinx－2,x∈[－2π，2π]的图象．图略．2．作y＝sinx,x∈［－2π,2π]上的图象关于x轴的对称图象，即得函数y＝－sinx，x∈[－2π，2π]上的图象．将y＝sinx,x∈[－2π,2π］上的图象向下平移2个单位长度,即得y＝sinx－2，x∈［－2π，2π]上的图象．练习B1．略．2．作函数y＝sinx,x∈[－2π,2π]上的图象关于x轴的对称图象，得到函数y＝－sinx,x∈[－2π,2π］上的图象，再将函数y＝－sinx，x∈［－2π，2π]上的图象向上平移1个单位长度，即得函数y＝1－sinx,x∈[－2π，2π］上的图象；作y＝sinx，x∈［－2π，2π]上的图象关于y轴对称的图象，即得函数y＝sin（－x),x∈［－2π，2π]上的图象．练习A1．(1)（2kπ，2kπ＋π）,k∈Z;(2)(2kπ＋π，2kπ＋2π)，k∈Z。2．(1）不能成立．因为y＝sinx(x∈R)的值域是[－1，1］，而eq\f(3，2)∉［－1，1］；（2)能成立．sin2x＝eq\f（1,2)，sinx＝±eq\f（\r（2)，2）,因为y＝sinx(x∈R）的值域是[－1，1］,而±eq\f(\r(2),2)∈[－1,1］．3．(1)eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f（π，2)，k∈Z)）)）时，y取得最小值－2；(2）eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝6kπ－\f(3π,2)，k∈Z））)）时，y取得最小值－3。4．(1）当x＝2kπ－eq\f(π,2）,k∈Z时，sinx＝－1，ymax＝eq\f(17，4);当x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z时，sinx＝1，ymin＝－eq\f（7,4).（2)y＝－sin2x＋eq\r(3)sinx＋eq\f(5，4）＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r（3），2）))2＋2,因为－1≤sinx≤1,所以当sinx＝eq\f(\r（3），2），x＝2kπ＋eq\f（π,3)或2kπ＋eq\f（2π，3)，k∈Z时,ymax＝2；当sinx＝－1，x＝2kπ－eq\f（π，2)，k∈Z时，ymin＝eq\f（1,4）－eq\r（3).5．（1)eq\f(2π，3);(2)8π；（3）π。练习B1．能成立，但不能说明120°是函数y＝sinx的周期，因为对任意x,f（x)＝f(x＋T），T才是f（x）的一个周期,120°在这不具有任意性．2．略．3．(1)单调递增区间:eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f（π,2），2kπ＋\f(3π，2）)）,k∈Z；单调递减区间：eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f（π，2），2kπ＋\f(π,2)）)，k∈Z;（2)单调递增区间：[kπ－eq\f（π，4），kπ＋eq\f(π，4)］，k∈Z；单调递减区间：[kπ＋eq\f(π,4），kπ＋eq\f（3π，4)］，k∈Z;(3)单调递增区间:［4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z；单调递减区间：[4kπ＋π，4kπ＋3π]，k∈Z。4．（1)103°15′,164°30′∈[90°，180°］，且103°15′＜164°30′，而y＝sinx在［90°，180°］上单调递减，所以sin103°15′＞sin164°30′；（2）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(54π,7)）)＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－8π＋\f(2π，7）))＝sineq\f(2π，7），sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(63π,8)））＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－8π＋\f（π，8）)）＝sineq\f（π，8）。因为eq\f（2π，7）,eq\f（π，8)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（0,\f(π,2)))，且eq\f（2π，7）＞eq\f(π，8)，y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(0,\f（π,2）))上单调递增,所以sineq\f(2π,7）＞sineq\f（π，8)，即sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(54π，7）））＞sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（63π，8）））.5．因为－1≤sinx≤1，所以－2≤4－m≤2⇒2≤m≤6.练习A1．略．2．(1)可以看作是将y＝sinx的图象上所有的点向左平行移动eq\f(π，4)个单位长度而得到的．（2)先将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f（1，2)(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象,再将y＝sin2x的图象向右平移eq\f(π，6）个单位长度，就得到函数y＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，3)）)的图象．(3）先将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f（1，3）（纵坐标不变），得到函数y＝sin3x的图象，再将y＝sin3x的图象向右平移eq\f（π，12)个单位长度，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（3x－\f(π，4）))的图象,再将y＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（3x－\f（π，4)))的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍（横坐标不变),就得到y＝5sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(3x－\f（π,4）)）的图象；(4)先将y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），就得到y＝sineq\f(1,3)x的图象，再将y＝sineq\f（1,3）x的图象向左平移eq\f（π,2）个单位长度，就得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）x＋\f（π,6）)）的图象，最后再将y＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,3）x＋\f（π，6)））的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq\f（1，2）(横坐标不变），得到y＝eq\f（1,2)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)x＋\f(π,6)））的图象．3．由图象可知，周期为π,最大值为3，eq\f(2π，ω)＝π，ω＝2。而sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2π,3）＋φ))＝0，且｜φ|＜eq\f（π,2），故φ＝eq\f(π,3）.从而所求函数的解析式为y＝3sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3）））.4．由图象知，周期为0.02，频率为50，电压的最大值为536伏．设V＝Asin（ωt＋φ），则A＝536,eq\f(2π，ω）＝0。02⇒ω＝100π，φ＝0.所以电压V和时间t之间的函数解析式为V＝536sin100πt,t∈［0，＋∞）．练习B1．（1）D；（2)B.2．(1)当x∈eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2kπ－\f（π,2），k∈Z）)))时，sinx＝－1，ymax＝eq\f(3，2)；当x∈eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2kπ＋\f（π,2),k∈Z））））时，sinx＝1，ymin＝eq\f(1,2）；（2)当x∈eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,12），k∈Z）））)时，sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，3）))＝1，ymax＝3.当x∈eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝kπ－\f(5π,12），k∈Z)）)）时,sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，3）))＝－1，ymin＝－3.3．（1)将函数y＝sin3x的图象向右平移eq\f（π，9)个单位长度，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（3x－\f（π，3）))的图象;(2)将函数y＝sin3x的图象向左平移eq\f(π，12）个单位长度，得到y＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（3x＋\f(π,4)）)的图象，再将y＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（3x＋\f(π，4)））的图象向下平移2个单位长度，就得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（3x＋\f(π,4）))－2的图象;（3)把函数y＝sin3x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变),就得到函数y＝sinx的图象，再作y＝sinx的图象关于x轴的对称图象,即得到函数y＝－sinx的图象；(4）作函数y＝sin3x的图象关于x轴的对称图象，即得到函数y＝－sin3x的图象．4．图略．（1）t＝0时,小球在平衡位置上方eq\r(2)cm处；(2)小球最高、最低点与平衡位置的距离都是2cm;（3）2πs；（3)eq\f（1,2π)次．5．设游人所乘吊舱的底部距地面的高度为h米，巨轮转动的时间为tmin，则h＝30＋30coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（π－\f(π，6）t）)。当t＝4时,h＝45.即转动到4min时，该游人所乘吊舱的底部距地面的高度是45米．练习A1．(1)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π，2)，2kπ＋\f(π，2）)），k∈Z；(2)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2），2kπ＋\f(3π,2）)),k∈Z。2．(1）不能成立，因为y＝cosx（x∈R)的值域是［－1,1]，而eq\f（3,2)∉[－1，1］；（2）能成立，cos2x＝0.8，cosx＝±eq\f（2\r（5),5)∈［－1,1]．3．略．4．ymax＝3，此时x的集合是｛x|x＝6kπ＋3π，k∈Z｝；ymin＝1，此时x的集合是{x｜x＝6kπ，k∈Z}．5．(1)6π；(2)π。练习B1．略．2．单调递减区间是：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（2,3）kπ＋\f（π，9)，\f（2，3)kπ＋\f（4π,9）））(k∈Z）；单调递增区间是：eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(2，3）kπ＋\f(4π,9),\f（2，3)kπ＋\f(7π,9)））（k∈Z）．3．(1）eq\f（15，8)π，eq\f(14,9)π∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（3,2）π，2π））,且cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（3,2）π，2π）)上递增,eq\f(15,8)π＞eq\f（14，9)π,所以coseq\f（15π,8）＞coseq\f(14π,9)；(2)cos515°＝cos（360°＋155°)＝cos155°，cos530°＝cos(360°＋170°）＝cos170°，cosx在[90°，180°］上递减，且155°，170°∈［90°，180°］，则cos155°＞cos170°，所以cos515°＞cos530°.4．(1）把y＝eq\f（1，3)cosx的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，就得到函数y＝cosx的图象；(2）把y＝coseq\f（3,5)x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq\f（3，5)（纵坐标不变），就得到函数y＝cosx的图象；（3)把y＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,4）)）的图象向右平移eq\f(π，4)个单位长度，就得到函数y＝cosx的图象；(4）把y＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π，3))）的图象向左平移eq\f(π，6）个单位长度,就得到函数y＝cos2x的图象．5．先把y＝cosx的图象向左平移eq\f（π，3)个单位长度，得到函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，3)））的图象，再将函数y＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,3）))的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq\f（1，2)（纵坐标不变），可得到函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3)))的图象，最后将函数y＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，3））)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变)，得到函数y＝2coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3）))的图象．练习A1．（1)eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(kπ＜x＜kπ＋\f(π，2）,k∈Z)))）；(2)｛x｜x＝kπ,k∈Z}；（3）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（kπ－\f(π，2）＜x＜kπ,k∈Z））))。2．eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠\f（kπ，3）＋\f(π，6),k∈Z)）)).3．(1）2π；（2)eq\f（π，ω).4．（1)138°，143°∈（90°，180°），且tanx在（90°，180°）上是增函数，故tan138°＜tan143°;（2）同理taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(13π，4）)）＞taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(17π，5）)）。5．略．练习B1．eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（x∈R，且x≠\f(π，3）＋kπ，k∈Z）))）。2．(1）f（－x）＝－tan（－x）＝－（－tanx）＝－f(x），且f（x）的定义域关于原点对称，可知y＝－tanx，x∈R且x≠kπ＋eq\f（π，2)(k∈Z)是奇函数;（2)f（－x）＝－｜tan（－x）|＝－｜－tanx｜＝－｜tanx｜＝f(x),且f(x）的定义域关于原点对称,可知y＝－|tanx|，x∈R且x≠kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z)是偶函数．3．(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f（π,4）＋kπ≤x＜\f(π,2）＋kπ，k∈Z)））)；（2)eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（π,3）＋kπ≤x＜\f(π,2)＋kπ，k∈Z）))）。4．（1)－eq\f(π，5），－eq\f(3，7)π∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π,2），0）），且tanx在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（π，2)，0)）上单调递增,－eq\f(π，5）＞－eq\f(3，7)π，所以taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(π,5)）)＞taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（3π,7))）；(2）tan1519°＝tan（4×360°＋79°)＝tan79°，tan1493°＝tan(4×360°＋53°）＝tan53°，79°,53°∈(0,90°）且tanx在(0°，90°）上单调递增，79°＞53°,所以tan79°＞tan53°，则tan1519°＞tan1493°.5．T＝eq\f(π,2).6．由kπ－eq\f（π,2)＜x＋eq\f（π,5）＜kπ＋eq\f(π,2），得单调增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(7π,10），kπ＋\f(3π，10)）)，k∈Z。练习A1．（1)eq\f(π，4)或eq\f(3π，4）；(2)eq\f(π，6)或eq\f(5π，6);（3）eq\f（7π，6)或eq\f（11π,6）；（4）eq\f(4π,3）或eq\f（5π，3).2．略．3．（1)eq\f(π,3);（2）－eq\f(π,6)；（3)eq\f(3π,4）;(4)eq\f（π，6）。4．(1)±eq\f（π,6);（2）±eq\f（π,3）；(3)arctan3.415≈1.29，－π＋arctan3。415≈－1.86；（4）eq\f(π，4)或－eq\f(3，4）π。5．(1)eq\f（π，2);（2)0;（3)0；(4)eq\f(π，2）;(5)1。31；（6）－1.40。练习B1．(1）－eq\f(2π，3)，－eq\f（π，3）；（2）±eq\f（2π,3);（3)arctan（－3.415)≈－1.29，π＋arctan(－3。415）≈1.85；（4)－eq\f（π，4）或eq\f(3,4）π.2．（1){arcsin0。3469，π－arcsin0.3469}；（2）｛π－arccos0。8572,π＋arccos0.8572｝；（3）{arctan0.8，π＋arccos0。8｝．3．(1）eq\f（π,4），eq\f(3π，4）;(2)eq\f（5π,6）；（3)eq\f(2π，3）；（4)eq\f(π,6)。习题1－3A1．略．2．(1）eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠2kπ－\f(π,2），k∈Z)）)）；(2)｛x|x∈R且x≠2kπ，k∈Z};（3）eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（kπ≤x＜kπ＋\f(π，2)，k∈Z))））。3．(1）当x∈｛x｜x＝2kπ＋π，k∈Z｝时，cosx＝－1，ymax＝3；当x∈｛x｜x＝2kπ，k∈Z}时，cosx＝1，ymin＝－3;（2)当x∈eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2kπ＋\f(π，2)，k∈Z)）））时，ymax＝－eq\f(1,2)；当x∈eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ－\f（π，2），k∈Z)）））时，ymin＝－eq\f(3,2)；(3）当x∈eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,6），k∈Z)）))时，coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,3））)＝1,ymax＝2；当x∈eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(2π，3),k∈Z））)）时，coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,3）））＝－1，ymin＝－2;(4）当x∈eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2kπ－\f(3π,4)，k∈Z）))）时，sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))）＝－1，ymax＝5；当x∈eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f（π,4），k∈Z））））时,sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，4)））＝1，ymin＝1。4．(1）eq\f(8π,3)；（2）eq\f（3π，2）；（3）π；（4）4π。5．（1)eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4），kπ＋\f(3π,4)))，k∈Z；（2)eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(2kπ,3）－\f（π，4），\f（2kπ，3）＋\f（π,12）))，k∈Z;(3)eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（kπ＋\f（5π,12），kπ＋\f(11π，12)）），k∈Z;（4)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(kπ－\f（5π,6）,kπ＋\f(π，6)）)，k∈Z。6．（1）奇函数;（2)偶函数；(3）偶函数；（4)非奇非偶函数．7．（1)4，eq\f（2π,3)，eq\f(π，5）；(2)eq\f（1，2)，8π，－eq\f(π,7）.8．（1)C;（2）D；(3）B；（4)C。9．(1）eq\f(5π,6)；(2)－eq\f(π,4);(3）－eq\f(π,4）。10．(1）arcsineq\f（\r(3),5）；(2）arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1,4））)＝－arcsineq\f(1，4）；(3)arccoseq\f（1，3);（4)－arccoseq\f（3,7）.习题1－3B1．略．2．y＝3sineq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（3\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(π，2)））＋\f(π,3）)）＝3sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（3x－\f（7π,6））).3．先把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，4）））的图象向右平移eq\f（3π，8）个单位长度,得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π,2)）)的图象,再把所得函数图象向下平移2个单位长度，即得y＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f(π，2)）)－2的图象．4．先把y＝coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）x－\f(π，6）））的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的eq\f(1，2）（纵坐标不变），得到函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6）））的图象，然后把所得图象向右平移eq\f（π,6)个单位长度，即得函数y＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(π，3）））的图象．再把函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f（π，3））)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）,得到y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(π，3）））的图象．5．（1）eq\b\l