2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE1．3二项式定理1．3.1二项式定理内容标准学科素养1.能用计数原理证明二项式定理．2.理解二项式定理及二项绽开式的特征，驾驭二项式定理和二项绽开式的通项公式．3.正确运用二项绽开式绽开或化简某些二项式，运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数．4.能解决与二项式定理有关的简洁问题.利用数学抽象提升数学运算授课提示：对应学生用书第16页[基础相识]学问点二项式定理及其相关概念学问梳理二项式定理公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn，称为二项式定理二项式系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk二项式定理的特例(1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(k,n)xk＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn[自我检测]1．(2x＋1)4的绽开式为________________．答案：16x4＋32x3＋24x2＋8x＋12．(x＋2)8的绽开式中的第6项为________，其二项式系数为________．答案：1792x356授课提示：对应学生用书第17页探究一二项式定理的正用、逆用[阅读教材P30例1]求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))6的绽开式．题型：二项式定理的应用方法步骤：(1)先将二项式整理为eq\f(1,x3)(2x－1)6.(2)再用二项式定理将(2x－1)绽开并化简即得到绽开式．[例1](1)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的绽开式．(2)化简：Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n－Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)kCeq\o\al(k,n)(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n).[解析](1)法一：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq\o\al(3,4)(3eq\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).法二：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq\f(3x＋14,x2)＝eq\f(C\o\al(0,4)3x4＋C\o\al(1,4)3x3＋C\o\al(2,4)3x2＋C\o\al(3,4)3x＋C\o\al(4,4),x2)＝eq\f(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1,x2)＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).(2)原式＝Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ceq\o\al(k,n)(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Ceq\o\al(n,n)(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.方法技巧1.(a＋b)n的二项绽开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数和等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，留意分析已知多项式的特点，向二项绽开式的形式靠拢．跟踪探究1.化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.解析：原式＝Ceq\o\al(0,5)(2x＋1)5－Ceq\o\al(1,5)(2x＋1)4＋Ceq\o\al(2,5)(2x＋1)3－Ceq\o\al(3,5)(2x＋1)2＋Ceq\o\al(4,5)(2x＋1)－Ceq\o\al(5,5)(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.探究二二项绽开式通项的应用[阅读教材P31例2](1)求(1＋2x)7的绽开式的第4项的系数；(2)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))9的绽开式中x3的系数．题型：二项绽开式通项公式的应用方法步骤：对于(1)干脆用通项公式写出T4从而得出该项系数．对于(2)，写出Tr＋1并整理由x3项得到r的值，从而求出该项系数．[例2]若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n绽开式中前三项系数成等差数列，求：(1)绽开式中含x的一次项；(2)绽开式中全部的有理项．[解析](1)由已知可得Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)·eq\f(1,22)＝2Ceq\o\al(1,n)·eq\f(1,2)，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)(eq\r(x))8－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(4,x))))k＝Ceq\o\al(k,8)·2－k·x4－eq\f(3,4)k，令4－eq\f(3,4)k＝1，得k＝4.所以x的一次项为T5＝Ceq\o\al(4,8)2－4x＝eq\f(35,8)x.(2)令4－eq\f(3,4)k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0,4,8，所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝eq\f(35,8)x，T9＝eq\f(1,256x2).方法技巧1.利用二项式的通项求二项绽开式的特定项的常见题型(1)求第k项，Tk＝Ceq\o\al(k－1,n)an－k＋1bk－1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项绽开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其全部的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必需合并通项公式中同一字母的指数，依据详细要求，令其属于整数，再依据数的整除性来求解；(3)对于二项绽开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一样．跟踪探究2.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,\r(3,x))))8的绽开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)x2的系数．解析：(1)T5＝T4＋1＝Ceq\o\al(4,8)(2x2)8－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,x))))4＝Ceq\o\al(4,8)·24·xeq\f(20,3)，所以第5项的二项式系数是Ceq\o\al(4,8)＝70，第5项的系数是Ceq\o\al(4,8)·24＝1120.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,\r(3,x))))8的通项是Ceq\o\al(r,8)(2x2)8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,x))))r＝(－1)rCeq\o\al(r,8)·28－r·x16－eq\f(7,3)r.由题意，得16－eq\f(7,3)r＝2，解得r＝6，因此，x2的系数是(－1)6Ceq\o\al(6,8)·28－6＝112.探究三利用二项式定理解决整除和余数问题[阅读教材P37习题1.3B组1(2)]用二项式定理证明：9910－1能被1000整除．证明：9910－1＝(100－1)10－1＝Ceq\o\al(0,10)10010－Ceq\o\al(1,10)1009＋Ceq\o\al(2,10)1008－…－Ceq\o\al(9,10)100＋Ceq\o\al(10,10)－1＝Ceq\o\al(0,10)10010－Ceq\o\al(1,10)1009＋Ceq\o\al(2,10)1008－…－1000，每一项均能被1000整除．所以9910－1能被1000整除．[例3]试推断7777－1能否被19整除．[解析]7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋Ceq\o\al(1,77)×7676＋Ceq\o\al(2,77)×7675＋…＋Ceq\o\al(76,77)×76＋Ceq\o\al(77,77)－1＝76×(7676＋Ceq\o\al(1,77)×7675＋Ceq\o\al(2,77)×7674＋…＋Ceq\o\al(76,77))．由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．方法技巧用二项式定理解决an＋b整除(或余数)问题时，一般须要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r＜m)的形式，利用二项绽开式求解．跟踪探究3.230－3除以7的余数为________．解析：∵230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3＝Ceq\o\al(0,10)×710＋Ceq\o\al(1,10)×79＋…＋Ceq\o\al(9,10)×7＋Ceq\o\al(10,10)－3＝7×(Ceq\o\al(0,10)79＋Ceq\o\al(1,10)78＋…＋Ceq\o\al(9,10))－2.又余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5.答案：5授课提示：对应学生用书第18页[课后小结](1)二项绽开式的特点①绽开式共有n＋1项．②各项的次数和都等于二项式的幂指数n.③字母a的幂指数按降幂排列，从第一项起先，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项起先，次数由0逐项加1直到为n.(2)对通项公式的四点说明①通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr是(a＋b)n的绽开式的第r＋1项，这里r＝0,1，…，n.②二项式(a＋b)n的第r＋1项Ceq\o\al(r,n)an－rbr和(b＋a)n的绽开式的第r＋1项Ceq\o\al(r,n)bn－rar是有区分的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随意交换的．③留意二项式系数Ceq\o\al(r,n)与绽开式中对应项的系数不肯定相等，二项式系数肯定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是在(a＋b)n这个标准形式下而言的，而(a－b)n的二项绽开式的通项公式是Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,n)an－rbr(只需把－b看成b代入二项式定理)，这与Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的，都是Ceq\o\al(r,n)，但项的系数一个是(－1)rCeq\o\al(r,n)，一个是Ceq\o\al(r,n)，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念．[素养培优]1.对绽开式的通项记不清是第几项致错(eq\r(2)x－1)5的绽开式中第4项的系数是()A．5eq\r(2) B．－10C．20 D．－20易错分析：第4项的系数为Ceq\o\al(4,5)(eq\r(2))(－1)4＝5eq\r(2)，故选A.考查数学抽象、数学运算的学科素养．自我订正：由绽开式的通项，得T4＝Ceq\o\al(3,5)·(eq\r(2)x)2·(－1)3＝－10×2x2＝－20x2，所以第4项的系数为－20.答案：D2．因混淆二项绽开式中项的系数与二项式系数而致错设(x－eq\r(2))n绽开式中，其次项与第四项的系数之比为1∶2，试求含x2的项．易错分析：把二项绽开式中项的系数与二项式系数混淆了．考查直观想象及数学运算的学科素养．自我订正：(x－eq\r(2))n绽开式的第2项与第4项分别为Ceq\o\al(1,n)xn－1(－eq\r(2))＝－eq\r(2)nxn－1，Ceq\o\al(3,n)xn－3(－eq\r(2))3＝－2eq\r(2)Ceq\o\al(3,n)xn－3.依题意得eq\f(－\r(2)n,－2\r(2)C\o\al(3,n))＝eq\f(1,2)⇒n2－3n－4＝0，解方程并舍去不合题意的负根，得n＝4.3．颠倒公式(a＋b)n中a，b