2024-2025学年北京市朝阳区东北师范大学朝阳学校高三上学期10月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东北师范大学朝阳学校高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N∣x>1},B=x∣x≤3，则A∩B=(

)A.{x∣1<x≤3} B.2,3 C.{x∣1<x<3} D.22.若复数z满足1+i⋅z=2i，则z的共轭复数z=(

)A.1−i B.1+i C.−i D.−1+i3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(

)A.y=x3 B.y=−x2+1 4.设a=0.62，b=20.6，c=log20.6，则a，A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b5.已知a>0，b>0，则“a+b>1”是“ab>14”(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知α,β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，能使m⊥n成立的一组条件是(

)A.α//β,m⊥α,n⊥β B.α//β,m⊂α,n⊥β

C.α⊥β,m⊥α,n//β D.α⊥β,m⊂α,n//β7.已知函数f(x)=2sin2x+π3A.f(x)的图象关于直线x=π3对称B.f(x)的图象关于点π6,0对称

C.f(x)在0,π12上为增函数8.如图，在▵ABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点，则CE=(

)

A.−14AB−54AC B.9.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的趋势可由函数y=1−0.6t0.27近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为(

)(参考数据：lgA.2小时 B.0.8小时 C.0.5小时 D.0.2小时10.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3=2，且SA.an为递增数列

B.当且仅当n=5时，Sn有最大值

C.不等式Sn>0的解集为n∈N二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.若角α的终边经过点P(1,−2)，则tan2α的值为

．12.已知数列an满足a1=2,an+1−2an=0(n=1,2,⋯)13.若函数f(x)=sinx+cos(θ−x)，对任意的x∈R都满足f(−x)+f(x)=0，则常数θ的一个取值为14.已知正方形ABCD的边长为1，点P满足AP=λAB(λ>0)，则PC⋅DP15.设函数f(x)=lnx,&x>0,x2+4x+1,&x≤0.给出下列四个结论：①函数f(x)的值域是R；②∀a>1，方程f(x)=a恰有3个实数根；③∃x0∈R+，使得f−x0−f三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)已知函数f(x)=2sin(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[0,π217.(本小题12分)在ΔABC中，3bsin(1)求∠B；(2)若a=23，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求条件①：b=3；条件②：cosA=45；条件③：△ABC注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.(本小题12分)如图，已知四棱锥S−ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60∘，侧面SAD为正三角形，侧面SAD⊥底面ABCD，M为侧棱SB的中点，E为线段(Ⅰ)求证：SD//平面MAC；(Ⅱ)求证：SE⊥AC；(Ⅲ)求三棱锥M−ABC的体积19.(本小题12分)已知函数f(x)=2aln(1)若a=1，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若a>0，求函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值；(3)若f(x)≤0在区间[1,+∞)上恒成立，求a的最大值．20.(本小题12分)已知函数f(x)=axex(1)当a=1时，①求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；②求证：f(x)在(0,+∞)上有唯一极大值点；(2)若f(x)没有零点，求a的取值范围．21.(本小题12分)已知项数为k(k≥3)的数列{an}是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，aj+ai与a(1)判断数列0，1，4，6是否具有性质ℜ，并说明理由；(2)设数列{an}具有性质ℜ(3)若数列{an}具有性质ℜ，且{an参考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.B

6.B

7.C

8.D

9.C

10.C

11.4312.126

13.π214.−315.②③④

16.(1)由题意知，f(x)=sin则T=2π所以函数f(x)的最小正周期为π；(2)因为x∈[0,π2]而函数y=sinx在(−π当2x−π3=π2，即x=当2x−π3=−π3当2x−π3=2π3所以当x=0时函数f(x)取得最小值为−

17.(1)由正弦定理，asin因为3bsinA−因为A∈0,π，所以sinA≠0，所以因为B∈0,π，所以B=(2)选择条件①：因为a=23，由正弦定理因为b<a，所以A不唯一，故条件①不成立．选择条件②：因为cosA=45，A∈(0,π)因为a=23，由正弦定理又B=π6，所以sinC=所以▵ABC的面积S=1选择条件③：因为▵ABC的周长为4+23，a=2由余弦定理得，a2所以a2+c由⑴⑵解方程组b=c=2，所以▵ABC的面积S=1

18.(Ⅰ)证明：连接BD，交AC于点O∵四边形ABCD为菱形

∴O为BD中点又M为SB中点

∴MO//SD∵MO⊂平面MAC，SD⊄平面MAC

∴SD//平面MAC(Ⅱ)∵ΔSAD为正三角形，E为AD中点

∴SE⊥AD∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE⊂平面SAD∴SE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD

∴SE⊥AC(Ⅲ)∵M为SB中点

∴又AB=BC=AD=CD=SA=SD=2，∠ABC=6∴AC=2，S由(Ⅱ)知，SE⊥AD

∴SE=∴

19.(1)当a=1时，f(x)=2lnx−x2令f′(x)=−2(x2−1)所以函数f(x)的单调递减区间是(1,+∞)(2)f′x令f′(x)=0，由a>0，解得x1=a，当a≤1，即0<a≤1时，在区间[1,+∞)上f′(x)≤0，函数f(x)在所以函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f(1)=0；当a>1，即a>1时，x在[1,+∞)上变化时，x1(1,(f′(x)++0−f(x)0↗a↘所以函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f(综上所述：当0<a≤1时，函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f(1)=0；当a>1时，函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f((3)当a≤0时，则f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立∴函数f(x)在[1,+∞)上是减函数，则f(x)≤f(1)=0∴a≤0成立当a>0时，由(2)可知：①当0<a≤1时，f(x)≤f(1)=0在区间[1,+∞)上恒成立，则0<a≤1成立；②当a>1时，由于f(x)在区间[1,所以f(a)>f(1)=0，即在区间[1,+∞)上存在x=a综上所述：a的取值范围为a≤1，即a的最大值为1．

20.解：

(1)

若a=1，则fx=xex+1−1，f′x=ex+1−xex(ex+1)2．

①在x=0处，f′0=1+11+12=12，f(0)=−1．

所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=12x−1．

②x(0,x(f′(x)+0−f(x)↗极大值↘

所以f(x)在(0,+∞)上有唯一极大值点x0．

(2)

fx=ax−ex−aex+a，

令ℎx=ex+a−ax，则ℎ′x=ex−a．

①若a<0，则ℎ′(x)>0，ℎ(x)在R上是增函数．

因为ℎ1a=e1a−1+a<0，ℎ(1)=e>0，

所以ℎ(x)恰有一个零点x0．

令ex0+a=0，得x0=ln(−a)．

代入ℎ(x0)=0，得−a+a−aln−a=0，

解得a=−1．

所以当a=−1时，ℎ(x)的唯一零点为0，此时f(x)无零点，符合题意．

②若a>0，此时f(x)的定义域为R．

21.(1)数列0，1，4，6不具有性质ℜ．因为4+1=5，4−1=3，5和3均不是数列0，1，4，6中的项，所以数列0，1，4，6不具有性质ℜ．(2)记数列{an}的各项组成的集合为A由数列{an}具有性质ℜ，ak+ak设2≤i≤k，因为ak+a又0