2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时跟踪训练含解析新人教A版选修2-1

PAGE空间向量的正交分解及其坐标表示[A组学业达标]1．O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))不能构成空间的一个基底，则()A.eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))共线 B.eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))共线C.eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))共线 D．O，A，B，C四点共面解析：由eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))不能构成基底知eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))三向量共面，所以肯定有O，A，B,C四点共面．答案：D2．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且eq\o(AB,\s\up10(→))＝－i＋j－k，则B点的坐标为()A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1) D．不确定解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝－i＋j－k，只能确定eq\o(AB,\s\up10(→))的坐标为(－1,1，－1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定．答案：D3.如图所示，已知平行六面体OABC­O′A′B′C′，eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，eq\o(OO′,\s\up10(→))＝b，D是四边形OABC的中心，则()A.eq\o(O′D,\s\up10(→))＝－a＋b＋cB.eq\o(O′D,\s\up10(→))＝－b－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)cC.eq\o(O′D,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)cD.eq\o(O′D,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)c解析：eq\o(O′D,\s\up10(→))＝eq\o(O′O,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(O′O,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(O′O,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)c.答案：D4．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,12,10) D．(4,3,2)解析：依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．答案：A5．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)6．在如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1解析：∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1(a,0，c)，C(0，b,0)，∴可知AD＝a，DC＝b，DD1＝c.∴B1的坐标为(a，b，c)．答案：(a，b，c)7．三棱锥P­ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(BP,\s\up10(→))}为基底，则eq\o(MN,\s\up10(→))的坐标为________．解析：eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\o(BN,\s\up10(→))－eq\o(BM,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up10(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up10(→))，即eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))8．棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(AD,\s\up10(→))，eq\o(AA1,\s\up10(→))}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)eq\o(AE,\s\up10(→))，eq\o(AF,\s\up10(→))，eq\o(AG,\s\up10(→))；(2)eq\o(EF,\s\up10(→))，eq\o(EG,\s\up10(→))，eq\o(DG,\s\up10(→)).解析：(1)eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq\o(AF,\s\up10(→))＝eq\o(AA1,\s\up10(→))＋eq\o(A1D1,\s\up10(→))＋eq\o(D1F,\s\up10(→))＝eq\o(AA1,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，eq\o(AG,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BG,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0)).(2)由(1)得eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))－eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(EG,\s\up10(→))＝eq\o(AG,\s\up10(→))－eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(DG,\s\up10(→))＝eq\o(AG,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))－(0,1,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，0)).9．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up10(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up10(→))，eq\o(EF,\s\up10(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up10(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．解析：(1)如图，eq\o(D1B,\s\up10(→))＝eq\o(D1D,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝－eq\o(AA1,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(EA,\s\up10(→))＋eq\o(AF,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)(a－c)．(2)eq\o(D1F,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up10(→))＋eq\o(D1B,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up10(→))＋eq\o(D1B,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.[B组实力提升]10．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量eq\o(MA,\s\up10(→))，eq\o(MB,\s\up10(→))，eq\o(MC,\s\up10(→))成为空间的一个基底的关系是()A.eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up10(→))B.eq\o(MA,\s\up10(→))＝eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(MC,\s\up10(→))C.eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))D.eq\o(MA,\s\up10(→))＝2eq\o(MB,\s\up10(→))－eq\o(MC,\s\up10(→))解析：对于选项A，由eq\o(OM,\s\up10(→))＝xeq\o(OA,\s\up10(→))＋yeq\o(OB,\s\up10(→))＋zeq\o(OC,\s\up10(→))(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知eq\o(MA,\s\up10(→))，eq\o(MB,\s\up10(→))，eq\o(MC,\s\up10(→))共面；对于选项B，D，易知eq\o(MA,\s\up10(→))，eq\o(MB,\s\up10(→))，eq\o(MC,\s\up10(→))共面，故选C.答案：C11．已知向量eq\o(OA,\s\up10(→))和eq\o(OB,\s\up10(→))在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up10(→))，则向量eq\o(OC,\s\up10(→))在基底{a，b，c}下的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))解析：∵eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，∴eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up10(→))＝－eq\f(6,5)a－eq\f(4,5)b－eq\f(8,5)c，∴向量eq\o(OC,\s\up10(→))在基底{a，b，c}下的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))，故选A.答案：A12．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________.解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋γ＝1，,α＋β＝2，,γ＋β＝3，))故有α＋β＋γ＝3.答案：313．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up10(→))＋λeq\o(A1D,\s\up10(→))＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊eq\f(1,2)A1D，∴eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up10(→))，即eq\o(EF,\s\up10(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up10(→))＝0，∴λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)14．如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(GH,\s\up10(→)).解析：∵eq\o(OG,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AG,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up10(→)