2024-2025学年新教材高中数学课后素养落实九2.1坐标法含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(九)坐标法(建议用时：40分钟)一、选择题1．在数轴上存在一点P，它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍，则P的坐标为()A．2B．－3C．5D．3或－5D[设所求点P的坐标为x，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5，所以P(3)或P(－5)．]2．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x，2)，B(3，y)，则x＋y等于()A．5B．－1C．1D．－5D[易知x＝－3，y＝－2．∴x＋y＝－5．]3．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则AB边上的中线长为()A．eq\r(26)B．eq\r(65)C．eq\r(29)D．eq\r(13)A[边AB的中点D的坐标为D(－1，－1)，∴|CD|＝eq\r(－1－42＋[－1－－2]2)＝eq\r(26)．]4．已知A(3，1)，B(2，4)，C(1，5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝()A．2B．4C．eq\f(\r(34),2)D．eq\f(34,4)A[由题意，设D(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)＝2，,\f(y＋1,2)＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝7，))∴D(1，7)．∴|CD|＝eq\r(1－12＋7－52)＝2，故选A．]5．已知A(x，5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则P(x，y)到原点的距离为()A．4B．eq\r(13)C．eq\r(15)D．eq\r(17)D[由题意知点C是线段AB的中点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝2，,2y＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))∴|OP|2＝17，∴|OP|＝eq\r(17)．]二、填空题6．在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为________．11[∵d(A，B)＝4－(－3)＝7＝d(B，C)＝x－4，∴x＝11．]7．在数轴上有一点P，它到以点A(－10)，B(－4)为端点的线段中点的距离为2，则点P的坐标为________．－9或－5[设点P坐标为x，AB的中点为C，则C点坐标为eq\f(－10－4,2)＝－7，∵d(P，C)＝2，∴|PC|＝|x＋7|＝2，解得x＝－9或x＝－5，故点P的坐标为－9或－5．]8．在△ABC中，设A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________．(2，－7)或(－3，－5)[设C(a，b)，则AC的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋a,2)，\f(7＋b,2)))，BC的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋a,2)，\f(5＋b,2)))，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－7；))若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－5.))]三、解答题9．已知A(1，2)，B(4，－2)，试问在x轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？[解]假设在x轴上能找到点P(x，0)，使∠APB为直角，由勾股定理可得|AP|2＋|BP|2＝|AB|2，即(x－1)2＋4＋(x－4)2＋4＝25，化简得x2－5x＝0，解得x＝0或x＝5．所以在x轴上存在点P(0，0)或P(5，0)，使∠APB为直角．10．用坐标法证明：假如四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．[证明]取长方形ABCD的两条相互垂直的边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD的四个顶点为A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)．在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．1．(多选题)已知数轴上点A，B，C的坐标分别为－1，1，5，则下列结论正确的是()A．eq\o(AB,\s\up9(→))的坐标为2 B．eq\o(CA,\s\up9(→))＝－3eq\o(AB,\s\up9(→))C．eq\o(CB,\s\up9(→))的坐标为4 D．eq\o(BC,\s\up9(→))＝2eq\o(AB,\s\up9(→))ABD[易知向量eq\o(AB,\s\up9(→))的坐标为1－(－1)＝2，A正确；向量eq\o(CA,\s\up9(→))的坐标为－1－5＝－6，－3eq\o(AB,\s\up9(→))的坐标为－3×2＝－6，所以eq\o(CA,\s\up9(→))＝－3eq\o(AB,\s\up9(→))，B正确；向量eq\o(CB,\s\up9(→))的坐标为1－5＝－4，C错误；向量eq\o(BC,\s\up9(→))的坐标为5－1＝4，2eq\o(AB,\s\up9(→))的坐标为2×2＝4，所以eq\o(BC,\s\up9(→))＝2eq\o(AB,\s\up9(→))，D正确．故选ABD．]2．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝()A．2B．4C．5D．10D[如图，以C为原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(b，0)，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(a,2)))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,4)，\f(a,4)))，由两点间的距离公式可得|PA|2＝eq\f(b2,16)＋eq\f(9a2,16)，|PB|2＝eq\f(9b2,16)＋eq\f(a2,16)，|PC|2＝eq\f(b2,16)＋eq\f(a2,16)．所以eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝eq\f(\f(10,16)a2＋b2,\f(a2＋b2,16))＝10．]3．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(0，0)，则AB边上的中线长CM＝________，△ABC的面积为________．2eq\r(2)4[设AB的中点M的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1＋3,2)＝2，,y＝\f(3＋1,2)＝2，))即M的坐标为(2，2)，∴|CM|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，又|AB|＝eq\r(1－32＋3－12)＝2eq\r(2)，|AC|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，|BC|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)．∵M(2，2)为AB的中点，|CM|＝2eq\r(2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|CM|·|AB|＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4．]4．函数f(x)＝eq\r(x2－12x＋37)＋eq\r(x2－4x＋13)的最小值为________．4eq\r(2)[如图所示，∵f(x)＝eq\r(x2－12x＋37)＋eq\r(x2－4x＋13)＝eq\r(x－62＋0－12)＋eq\r(x－22＋0－32)，∴可设A(6，1)，B(2，3)，P(x，0)，则f(x)＝|PA|＋|PB|．∴要求f(x)的最小值，只需在x轴上找一点P，使|PA|＋|PB|最小．设点B关于x轴的对称点为B′，则点B′的坐标为(2，－3)．∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB′|≥|AB′|，当B′，P，A三点共线时取等号．∵|AB′|＝eq\r(2－62＋－3－12)＝4eq\r(2)，∴|PA|＋|PB|的最小值为4eq\r(2)，即f(x)的最小值为4eq\r(2)．]某山区居民的居住区域大致呈如图所示的形态，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60km，AE＝CD＝30km，为了解决当地居民看电视难的问题，打算建一个电视转播台，志向方案是转播台距A，B，C，D，E五个顶点的距离平方和最小，图中P1，P2，P3，P4是AC的五等分点，则转播台应建在何处？[解]以A为坐标原点，边AB所在直线为x轴，边AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(60，0)，C(30，30)，D(30，60)，E(0，30)．设点P(x，y)，令