八年级数学下册教案北师大版

书目

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组

1不等关系

2不等式的根本性质

3不等式的解集

4一元一次不等式

5一元一次不等式与一次函数

6一元一次不等式组

第二章分解因式

1分解因式

2提公因式法

3运用公式法

第三章分式

1分式

2分式的乘除法

3分式的加减法

4分式方程

第四章相像图形

1线段的比

2黄金分割

3形态一样的图形

4相像多边形

5相像三角形

6探究三角形相像的条件

7测量旗杆的高度

8相像多边形的性质

9图形的放大与缩小

第五章数据的搜集与处理

1每周干家务活的时间

2数据的搜集

3频数与频率

4数据的波动

第六章证明（一）

1你能确定吗

2定义与命题

3为什么他们平行

4假设两条直线平行

5三角形内角和定理的证明

6关注三角形的外角

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组

1.1不等关系

一、教学目的：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进展表示。

可以根据详细的事例列出不等关系式。

二、教学过程：

如图：用两根长度均为Lem的绳子，

(1)假设要使正方形的面积不大于25enP,那么绳长L应当满意怎样的关系式？

(2)假设要使原的面积大于1002m2,那么绳长L应满意怎样的关系式？

(3)当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？

(4)由(3)你能发觉什么？变更L的取值再试一试。

在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为(L/4)2,远的面积可以表示为兀(L/2

兀)2。

(1)要是正方形的面积不大于25cm2,就是

(L/4)2W25,

即I7/16W25。

(2)要使原的面积大于100cm2,就是

五(L/2n)2>100

即L2/4n>l(X)o

(3)当L=8时，正方形的面积为82/16=6,圆的面积为

82/4—5.1,

4<5.1

此时圆的面积大。

当L=12时，正方形的面积为122；16=9,圆的面积为

122/4n-11.5,

9<11.5,

此时还是圆的面积大。

教师得出结论

(4)由(3)可以发觉，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即

L2/4n>L2/16o

三、随堂练习

1、试举几个用不等式表示的例子。

2、用适当的符号表示下列关系

(1)a是非负数；

(2)直角三角形斜边c比她的两直角边a,b都长；

(3)x于17的和比它的5倍小。

1.2不等式的根本性质

一、教学目的

(1)探究并驾驭不等式的根本性质；

(2)理解不等式与等式性质的联络与区分.

二、教学内容

我们学习了等式，并驾驭了等式的根本性质，大家还记得等式的根本性质吗？

等式的根本性质1：在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得的结果仍是等式.

根本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式.

1.不等式根本性质的推导

例T3V5

/.3+2<5+2

3-2<5-2

3+。<5+。

3~a<5—a

所以，在不等式的两边都加上(或减去〉同一个整式，不等号的方向不变.

例：3<4

3X3V4X3

3X-<4X-

33

3X(-3)>4X(-3)

3X(-1)>4X(-1)

33

3X(-5)>4X(-5)

由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边

同乘以一个负数时，不等号的方向变更.

三、课堂练习

1.将下列不等式化成或“xVa”的形式.

(1)x-l>2(2)-x<-

6

解：(1)根据不等式的根本性质1,两边都加上1,得x>3

(2)根据不等式的根本性质3,两边都乘以一1,得力>一3

6

2.已知x>y,下列不等式确定成立吗？

(1)X—6<y—6;

(2)3xV3y;

(3)~2x<~2y.

解：(1)**x>yt».x—6>y—6.

；.不等式不成立；

(2)*：x>yt：.3x>3y

・••不等式不成立；

9

(3)：x>yt：.-2x<-2y

，不等式确定成立.

4.根据不等式的根本性质，把下列不等式化成“x>a”或“xV/'的形式:

(1)X—2V3;(2)6x<5x~\;

(3)-x>5;(4)-4x>3.

2

5.设〃>6.用“V”或号填空.

(1)。一36一3;(2)-

—2—2

(3)-4a__-4/7;(4)5a___5b;

(5)当。>0,b___0时，H>0;

(6)当〃>0/0时,昉<0;

(7)当。<0力____0时，而>0;

(8)当〃V04___0时，ab<0.

参考答案：

3

4.(1)x<5;(2)x<-l;(3)x>10;(4)x<--.

4

5(1)>(2)>(3)<(4)>(5)>(6)<(7)<(8)>.

1.3不等式的解集

一、教学目的

1.可以根据详细问题中的大小关系理解不等式的意义.

2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.

3.会在数轴上表示不等式的解集.

二、教学过程

1.现实生活中的不等式.

燃放某种礼花弹时，为了确俣平安，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的

平安区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02m/s,人分开的速度为4mis,那么导火线的长度

应为多少厘米？

分析：人转移到平安区域须要的时间最少为w秒，导火线燃烧的时间为一-—秒,

40.02x100

要使人转移到平安地带，必需有：

0.02x1004

解.：设导火线的长度应为xcm,根据题意，得

--------------->----

0.02x1004

Ax>5.

2.想一想

(1)m5,6,8能使不等式x>5成立吗？

(2)你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗？

答：(1)户5不能使X>5成立，x=6,8能使不等式x>5成立.

(2)x=9,10,11…等比5大的数都能使不等式力>5成立.

3.例题讲解

根据不等式的根本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来.

(1)%—22-4;(2)2A<8

(3)-2r-2>-10

解：(1)根据不等式的根本性质1,两边都加上2,得工2—2

在数轴上表示为：

-3-2-101234

(2)根据不等式的根本性质2,两边都除以2,得xW4

在数轴上表示为：

-10123456

(3)根据不等式的根本性质1,两边都加上2,得一2x>-8

根据不等式的根本性质3,两边都除以一2,得x<4

在数轴上表示为：

-1012345

三、课堂练习

1.推断正误：

(1)不等式x-1>0有多数个解；

2

(2)不等式2x—3WO的解集为—.

3

2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：

(1)x>4;(2)后一1;

(3)2;(4)xW6.

I.解：(1)VX-1>O,/.A:>1

••・4—1>0有多数个解.，正确.

(2)・・2-3WO,.,・2rW3,

3

，1W一,；・结论错误.

2

2.解：

⑴-'S~1~2~3~4~r

⑵----------------1-------------

-4-3-2-1012

⑶4=16~1~2

⑷-----------------------------L

W0123456

1.4一元一次不等式

一、教学目的

1.知道什么是一元一次不等式？

2.会解一元一次不等式.

二、一元一次不等式的定义.

下列不等式是一元一次不等式吗？

(1)2x-2.5215;(2)5+3x>240;

(3)x<-4;(4)->1.

x

答(1)、(2)、<3)中的不等式是•元•次不等式，(4)不是.

(4)为什么不是呢？

因为x在分母中，不是整式.

X

不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,这样的不等

式，叫做一元一次不等式(linearinequalitywithoneunknown).

2.一元一次不等式的解法.

例1解不等式3—x〈2x+6,并把它的解集表示在数轴上.

［分析］要化成或“xVa”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到

同一侧，变成“or>力”或的形式，再根据不等式的根本性质求得.

解：两边都加上x,得

3~x+x<2x+6+x

合并同类项，得

3<3x+6

两边都加上一6,得

3—6<3x+6—6

合并同类项，得

-3<3x

两边都除以3,得一IVx

即x>~\.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

-3-2-101234

下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式.

［例2］解不等式匕土」，并把它的解集在数轴上表示出来.

23

［生］解：去分母，得3(x-2)22(7-x)

去括号，得3x-6-14-2v

移项，合并同类项，得5%220

两边都除以5,得x24.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

^2~62~46810*

三、课堂练习

解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上:

(1)5x>-10;(2)-3x+l2W0;

x-\4x-5

(3)<-------

3

x+73x+2

(4)1<

22

解：(1)两边同时除以5,得公>一2.

这个不等式的解集在数轴上表示如下:

-3-2-1012

(2)移项，得一3xW—12,

两边都除以一3,得“24,

这个不等式的解集在数轴上表示为：

-1612345*

(3)去分母，得3(x—l)<2(4x-5),

去括号，得力一3<81一10,

移项、合并同类项，得5x>7,

两边都除以5,得

不等式的解集在数轴上表示为：

-

1

^

17

-

5

(4)去分母，得x+7—2V3K+2,

移项、合并同类项，得缄>3,

3

两边都除以2,得公>?,

2

不等式的解集在数轴上表示如下:

-101§234

1.5一元一次不等式与一次函数

一、教学目的

1.一元一次不等式与一次函数的关系.

2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进展比拟.

二、教学过程

1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.

作出函数产标-5的图象，视察图象答复下列问题.

(1)x取哪些值时，2x-5=0

(2)x取哪些值时，2x-5>0

(3)x取哪些值时，2x-5<0

(4)x取哪些值时，2x-5>3

（1）当）=0时，2x—5=0,

,5

2

・,・当x=』时，2x—5=0.

2

（2）要找2r—5>0的x的值，也就是函数值,，大于。时所对应的x的值，从图象上可

知，y>0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的“值都满意条件，当产0时，则有

2x—5=0,解得.当时，由y=2x—5可知y>0.因此当x>』时，2x—5>0;

222

（3）同理可知，当“V』时，有2x—5V0;

2

（4）要使合一5>3,也就是产入一5中的），大于3,那么过纵坐标为3的点作一条直线

平行于x轴，这条直线与）=2x—5相交于一点8（4,3）,则当x>4时，有2x—5>3.

3.试一试

假设广一2r—5,那么当x取何值时，y>0

首先要画出函数产一2x-5的图象，如图

从图象上可知，图象在工轴上方时，图象上每一点所对应的），的值都大于0,而每一个

y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于一2.5的数，由一2x—5=0,得后一2.5,所以

当工取小于-2.5的值时，y>0.

三、课堂练习

1.已知）『一x+3,y2=3x—4,当x取何值时，yi>”？你是怎样做的？与同伴沟通.

解：如图1-24所示：

乂=在

当x取小于—的值时，有yi

4

2.作出函数y=2x—4与”=一标+8的图象，并视察图象答复下列问题：

(1)x取何值时，2x-4>0?

(2)x取何值时，-2x+8>0

(3)x取何值时，2%—4>0与一2%+8>0同时成立？

(4)你能求出函数)，i=2x-4,^=-2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写

出过程.

解；图象如下；

分析：要使2t—4>0成立，就是乃二2%—4的图象在工轴上方的全部点的横坐标的集合,

同理使一2x+8>0成立的x,即为函数y2=—2x+S的图象在x轴上方的全部点的横坐标的集

合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x,根据函数图象与x轴交点的坐标可求

出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.

［解］(1)当％>2时，2v-4>0;

(2)当xV4时，-2x+8>0;

(3)当2VxV4时，2r—4>0与-2%+8>0同时成立.

(4)由2%—4=0,得m2;

由一2x+8=0,得尸4

所以45=4-2=2

\y=2x-4

由，

y=-2x4-8

得交点C(3,2)

所以三角形ABC中AB边上的高为2.

所以S=-X2X2=2.

2

3.分别解不等式

5x~1>3(x+1),

所得的两个解集的公共局部是什么？

解：解不等式5x—1>3(x+1),得x>2

解不等式工彳-1〈7—3x,得xV4,

22

所以两个解集的公共局部是2<v<4.

4.某商场安排投入一笔资金选购一批紧俏商品，经过市场调查发觉：假设月初出售，可

获利15%,并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%：假设月末出售可获利30%,

但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？

解：设商场安排投入资金为了元，在月初出售，到月末共获利y元；在月末一次性出

售获利及元，

根据题意，得

yi=15%x+(x+15%x),10%=0.265x,

yi=3O%x-700=0.3x-700.

(1)当即0.265x>0.3%—700时，x<20000;

(2)当#=及,即0.265x=0.3x-700时，A=20000;

(3)当yV》，即0.265xV0.3x-700时，x>20000.

所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000

元时，第二种销售方式获利较多.

5.某医院讨论发觉了一种新药，在试验药效时发觉，假设成人按规定剂量服用，那么服

药后2小时时血液中含药量最高，达每亳升6微克(1微克=10③亳克)，接着逐步衰减，10

小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每亳升血液中含药量y(微克)，随着时间x(小时)

的变更如图所示(成人按规定服药后).

(1)分别求出x《2和x22时，y与x之间的函数关系式；

(2)根据图象视察，假设每亳升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时

是有效的，那么这个有效时间是多少？

解：⑴当xW2时,图象过(0,0),(2,6)点，设y尸切,

把(2,6)代入得，将二3

.*.yi=3x

当x22时，图象过(2,6),(10,3)点.

设丫2=%冰+"则有

2&+匕=6

10fc+/?=3

得旧一二3加上27

84

.327

••y2=--x+——

84

(2)过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线，于yiM的图象交于两点，过这两点向

工轴作垂线，对应x轴上的4上和22三，即在2三2一±4二6小时间是有效的.

3333

1.6一元一次不等式组

一、教学目的

总结解一元一次不等式组的步骤及情形.

二、教学过程

某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。假设每月比安排多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超

过100吨；假设每月比安排少烧5吨煤，那么取暖用煤总量缺乏68吨。该校安排每月烧煤

多少吨？

解：

设该校安排每月烧煤x吨，根据题意，得

4(x+5)>100,(1)

且4(x-5)<68.(2)

未知数x同时满意(1)(2)两个条件，把(1)(2)两个不等式合在一起，就组成

一个一元一户不等式组，记作4(x+5)>100,

*U(x-5)<68.

一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元依次不

等式组。

解下列不等式组

x+\.

---->1

(1)2

7x-8<9x

3x—2<x+1

⑵

x+5>4x+l

5x-2>3(x+1)

(3)

—x-1<7-­x

122

3x-l>ll

(4)

2x<6

x+\

>1(1)

(1)2

⑵

7x-8<9x

解：解不等式(1),得x>l

解不等式(2),得x>-4.

在同一条数轴.1二表示不等式〔1),(2)的解集如下图

-6-5-4-3-2-101234567

所以，原不等式组的解集是工>1

(3x-2<x+\(1)

(2){

[x+5>4x+l(2)

解：解不等式(1),得xV士

2

解不等式(2),得xV二4

3

在同一条数轴上表示不等式：1),(2)的解集.如下图

01422

32

4

所以，原不等式组的解集是XV士

3

5x-2>3(x+1)

(1)

(3)

-x-1<7-­x⑵

22

解：解不等式(1),得

2

解不等式(2),得尽4.

在同一条数轴上表示不等式(1),(2)的解集，如下图

-10123456*

所以，原不等式组的解集为.VxW4.

3x-l>ll(1)

(4)

2x<6⑵

解:解不等式(1),得苏>4.

解不等式(2),得xV3.

在同一条数轴上表示不等式：1),(2)的解集如下图

-10~1~2~~3~4~~5^

所以，原不等式组的解集为无解.

我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，细致视察，互相沟通，找出规律.

X>1

(1)由得x>l;

x>-4

94

(2)由)得％<—;

43

x>-5

(3)由《2得一VxW4;

x<42

fr>4

(4)由《得，无解.

[x<3

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.

设4V4那么

X>C1

(1)不等式组4的解集是x>b;

x>b

X<Q

(2)不等式组4的解集是xVa;

x<b

x>a

(3)不等式组4的解集是aVxVb;

x<b

(4)不等式组4XC的l解集是无解.

x>b

用语言简洁表述为：

同大取大；同小取小；

大于小数小于大数取中间；

大于大数小于小数无解.

三.课堂练习

解下列不等式组

x+3<5

(1)

3x-l>8

Y

^+l<2(x-l)

(2)

xx+2

—>------

35

x+3<5(1)

［解］(1)

3x-l>8⑵

解不等式(1),得xV2

解不等式（2）,得x>3

在同一数轴上表示不等式（1）、（2）的解集,

-2-10~1~2~3~4*

所以，原不等式组无解.

尹<2(1)

(2)2八

xx+2(2)

.3>^-

解：解不等式（1）,得x>2

解不等式（2）,得x>3

在同一数轴上表示不等式（1）,（2）的解集，如下图

-16~1~2~34~5*

所以，原不等式组的解集为立>3.

第二章分解因式

2.1分解因式

一、教学目的

让学生理解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.

二、教学过程

宽都是,，求这块场地的

一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为二，二

4242

面积.

131〜317337、

解法一：5=—X—+v—+—+—=2

242224848

一131317133

24222424242

1.公因式与提公因式法分解因式的概念.

把多项式ma+mb+mc写成in与（a+8+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中

提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把机从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成

的多项式（a+b+c）,作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公

因式法.

2.例题讲解

［例1］将下列各式分解因式：

(1)3x+6;

(2)—2£;

(3)^b2~\2ab3c+abc

(4)一2底一12?+28工

分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.

解：（1）3x+6=3x+3X2=3（浒2）;

(2)7f-2Lt=7x・x-7x・3=7x(x-3);

(3)Sa3b2~\2ab3c+abc

-Sa?b,ab\2bPc•ab+ab•c

-ab(.Sorb—\2b2c+c)

(4)-24/—1*+281

=-4x(6A2+3X-7)

三、课堂练习

1.写出下列多项式各项的公因式.

(1)ma+mb(w)

(2)4kx~Uy(4&)

(3)5炉+20y(5)2)

(4)c^b-lab^+ab(ab)

2.把下列各式分解因式

(1)8x-72=8(x-9)

(2)a2b-5ab=ab(a—5)

(3)4m3—6m2=2m2(2m—3)

(4)c^b—5ab+9b=b(tt2—5a+9)

(5)—(r+ab—ac=—(a1—ab+ac')=~a(a—b+c)

(6)-2xi+4x1-2x=-(2?-4f+2x)=~2x(x2-2x+l)

四、课后作业

1.解：(1)2X2~4X=2X(X-2);

(2)^nrn+2mn=2mn(4/H+I);

(3)d1^—axy=axy(ax—j);

(4)3xi-3x1-9x=3x(f一1一3);

(5)~24^>-12A}r+28j3

=-(24*)y14-28y3)

=-4yC6x1+3xy—ly2');

(6)—4cPb3+6a2b—lab

=-(4"/一6片什2而)

=~2abC2a2b2—3a+1);

(7)—“—［均+加'

=-(2?+1均一阮)，3)

=—2x(x+by2-4J3);

(8)—3mai+6mcr-12ma

=—(3wr?3—6ma2+12ma)

=-3〃?a(a2-加+4);

2.利用因式分解进展计算

(1)121X0.13+12.1X0.9-12X1.21

=12.1X1.3+12.1X0.9-1.2X12.1

=12.1X(1.3+0.9-1.2)

=12.1X1=12.1

(2)2.34X13.2+0.66X13.2-26.4

=13.2X(2.34+0.66-2)

=13.2X1=13.2

(3)当Ri=20,&=16,&=12,7=3.14时

万R/+乃&2+^/?32

一万(尺/十尺2‘十尺3’〉

=3.14X(202+162+122)

=2512

2.2提公因式法

一、教学目的

让学生理解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.

例1把4(x-3)+2b(X-3)分解因式.

分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即〃(工-3)与2b(工一3),每项中都含有

(x-3)，因此可以把(x-3)作为公因式提出来.

解：a(工一3)+2b(x-3)=(1一3)(a+2b)

［例2］把下列各式分解因式：

(1)a(x—y)+b(y—x);

(2)6(m-3-12(〃-m)2.

分析：虽然a(x-y)与b(y~x)看上去没有公因式，但细致视察可以看出(x-y)

与(y-x)是互为相反数，假设把其中一个提取一个“一”号，则可以出现公因式，如y-

x=—(x—y).(m—«)3与(〃一m)?也是如此.

解：(Da(x—y)+b(.y—x)

=aCx—y)—b(x—y)

=(/—y)(.a—b)

(2)6(m—AZ)3—12(w—m)2

=6(m—/2)3—12[—(m—?1)]2

=6(m—n)3—12(m-72)2

=6(m—/2)2(m—〃一2).

二、做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“一”号，使等式成立:

(1)2~a=_________(a-2);

(2)y一尸(x-v);

(3)b+a=_________(a+b);

(4)Cb-a)2=_________la-b>2;

(5)—m—__________—(m+w);

(6)-s2+~=_________(s2—z2).

解：(1)2~a=—(a—2);

(2)y~x=—(工一y);

(3)b+a=+(a+b);

(4)(b—a)2=+(a—b)2;

(5)-m—n=­(m+〃);

(6)—s2+?=—(s2—?).

三、课堂练习

把下列各式分解因式：

解：(I)x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y);

(2)3a(/—y)—Cx—y)

=(x-y)(3a-1);

(3)6(p+g)2—12(q+p)

-6(/?+</)212(〃十夕)

=6(p+,)Cp+q—2);

(4)a(m-2)+b(2—m)

=a(m-2)—b(m—2)

=(m—2)(“一b);

(5)2(y—x)2+3(x—y)

=2[—(x—y)]2+3(x—y)

=2(x—y)2+3(x—y)

=(x-y)⑵-2y+3);

(6)inn—in(〃-m)2

=ftin—m(〃?一〃)2

-tn(/«­/?)\_n—(«?­〃)]

=in(m-n)(2〃-.

补充练习

把下列各式分解因式

解：1.5(x-y)3+10。一外2

=5(x~y)3+10(.x—y)2

=5(x—y)2[(x—y)+2]

=5(x—y)2(x—y+2);

2.m(a-b)-〃(b-a)

=m(〃-6)+〃(a—b)

=(a-b)(m+n);

3.m(机—〃)+〃Cn—rn')

=m(.m-n')~n(.in-n)

=(m—n)(〃L〃)=Cm-n)2;

4.m(〃?一〃)(〃一q)~n(〃一m)(p—g)

=in(m-n)(p-g)+n(w?-〃)(p—q)

=(in-n)(p—g)(〃?+??);

5.(b—a)2+a(a——b)+b(b——a)

=(b~a)2~a(b-a)+b(b—a)

=(/?—£?)[(。-a)—a+8]

=(.b~a)(b—a-a+b)

=(b-a)(2b—2a)

=2Cb~a)(。一a)

=2(b—a)2

2・3运用公式法(一)

一、教学目的

1.使学生理解运用公式法分解因式的意义；

2.使学生驾驭用平方差公式分解因式.

3.使学生理解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因

式.

二、教学过程

1.请看乘法公式

(a+〃)(a—b')—(?R(1)

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是

a2~b2=(a+b)(a—h)(2)

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.

利用平方差公式进展的因式分解.第(1)个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，

第(2)个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.

2.公式讲解

视察式子/一俄找出它的特点.

答：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.

假设一个二项式，它可以化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解

成两个整式的和与差的积.

如『-16二(x)2—42=(x+4)(X—4).

9/-4〃2=(3m)2-⑵)2

=(3m+2n)(3m~2n)

3.例题讲解

[例1]把下列各式分解因式：

(1)25—16吐

(2)9a2--b2.

4

解：⑴25-16^=52-(4x)2

=(5+4x)(5—4x);

(2)9a2--b2=(3a)2-(-Z?)2

42

=(3a+—b)C3a——b).

22

[例2]把下列各式分解因式：

(1)9(m+n)2—Cm—n)2;

(2)2?-8x.

解：(1)9(w+n)2-(加一〃)2

=[3(〃?+〃)]2—(tn—n)2

=[3(ni+n)+(zn—n)][3(m+〃)—(m—〃)]

=(3fn+3〃+m~n)(3/n+〃)

=(4/?i+2n)(2w+4n)

=4C2m+n)(机+2〃)

(2)2?-8.r=2r(x2-4)

=2x(x+2)(x-2)

说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因

式；例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，

例2的(2)是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用

提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.

三、课堂练习

1.推断正误

解：(1)f+)2=(x+y)(.x—y);(X)

(2)J?~/=(x+y)(x-y);(J)

(3)/十y2=(x+y)(xj)；(X)

(4)一『一y2二一(x+j)(x—y).(X)

2.把下列各式分解因式

解：(1)片从一小2

=(ah')2~m2

=(ab+m)Cab—m);

(2)(w—«)2—(〃+A)2

=[(6-a)+(〃+b)][(/«—a)—(n+b)]

=Cm—a+n+b')("】一〃一〃一力);

(3)JC2—(a+b—c)2

=[x+(a+b-c)]\_x—(a+6-c)]

=(x+a+b—c)(x—a—b+c');

(4)-16?+81/

=(9尸)2—(4X2)2

=(9)2+4/)(9)2—4/)

=(9)2+4f)(3JH-2X)(3>-2x)

3.解：S朝余=/一4护.

当斫3.6力:0.8时，

S剩余=3.62—4X0.82=3.62—16=5.2X2=10.4(cm2)

答：剩余局部的面积为10.4cm?.

四、课后作业

1.解：(1)«2-81=(。+9)(。-9);

(2)36—X2=(6+x)(6—x);

(3)1-16^=1-(4b)2=(1+46)(1一4();

(4)m2—9nr=(m+3n)(w—3/1);

(5)0.25/-121p2

=(0.5^+llp)(0.5q—11/7);

(6)169J2—4y2=(13x+2y)(\3x-2y');

(7)942P2一方242

=(3ap+bq)(3ap-bq);

4977

(8)fy2=o(ya+.yy)(—a—xy);

2.解：(1)(m+n)2—w2=(tn+n+n)(m+n-n)=m(m+2n);

(2)49(a-b)2-16(a+b)2

=[7(a—b)]2—[4(a+b)]2

=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)—4(a+b)]

=(7。-7A+4a+4b)(7a—7b—4。-4b)

=(lla-3b)(3a-llb);

(3)⑵+y)2—(x+2y)2

=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)—(x+2y)]

=(3x+3y)(x—y)

=3(x+y)(x-y);

(4)(f+y2)Ty2

=($+产闪)(f+y2-肛，);

(5)3o？3a/=3a(//)

=3a(x+y2)(x-y2)

(6)p4-l=(户+l)(p2-1)

=(p2+i)(p+1)(p-1).

3.解：S环形=JTR1—冗d=Ji(R2—产)

=%(R+r)(/?—r)

当R=8.45尸3.45,〃=3.14时，

S环形=3.14X(8.45+3.45)(8.45~3.45)=3.14X11.9X5=186.83(cm2)

答：两圆所围成的环形的面积为186.83cnR

VI.活动与探究

把(a+Hc)(bc+ca+ab)—而c分解因式

解：(4+力+c)(hc+ca+ab)~ahc

=[«+(0+c)][_bc+a(b+c)]~abc

=abc+a2(He)+bc(He)+a(ZH-C)2—abc

=a1(b+c)+bc(b+c)+a(力+c)2

=(b+c)[.c^+bc+a(b+c)]

=(b+c)la^+bc+ab+acl

=(b+c)\_a(a+b)+c(a+b；]

=(h+c)Ca+h)(a+c)

运用公式法(二)

一、教学目的

1.使学生会用完全平方公式分解因式.

2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.

二、教学过程

在前面我们不仅学习了平方差公式

(4+6)(。-6)=。2—〃2

而且还学习了完全平方公式

(。±b)2=a2±2ab+b2

三，新课

推断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且

能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.

1.例题讲解

[例1]把下列完全平方式分解因式：

(1)f+14x+49;

(2)(m+〃)2—6(zn+n)+9.

[师]分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解

因式.公式中的〃力可以是单项式，也可以是多项式.

解：⑴14x+49=^+2X7A+72=(X+7)2

(2)(〃？+〃)2—6(〃？+〃)+9=(m+n)2—2•(/〃+〃)X3+32=[(机+〃)—3]2=(m+n

-3)2.

[例2]把下列各式分解因式：

(1)3加+60\)，+3〃)2;

(2)—x1—4y2+4xy.

[师]分析：对一个三项式，假设发觉它不能干脆用完全平方公式分解时，要细致视察

它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.

假设三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“一”

号，然后再用完全平方公式分解因式.

解：(1)3加+6343。)，

=3a(x1+2xy+)r')

=3a(x+y)2

(2)~x1~4y2+4xy

=—(f-4盯+4)2)

=-[f-2・x・2尹(2y)2]

=—(x—2y)2

四、课堂练习

1.(1)是完全平方式

f—x+1=f—2・x--+(-)2=(x--)2

4222

(2)不是完全平方式，因为3次;不符合要求.

(3)是完全平方式

1,,

—nr+3rnn+9n~

4

=(—in)2+2X—(3〃)2

22

=(—/n+3/i)2

2

(4)不是完全平方式

2.(1)x2—12^+36产

=x1~2・x・6>'+(6y)2

=(x-6y)2;

(2)161+24A2+9/

=(4/)2+2・4/・36+(3加)2

=(4/+3序)2

(3)—Ixy—x1—y1

=­(j^+Zry+y2)

=—Cx+y)2;

(4)4—12(x—y)+9(x—y)2

=22—2X2X3(x-y)+[3(x-y)]2

=[2—3(x—y)]2

=(2—3x+3y)2

五、课后作业

1.(1)x2^2—2xy+l=(xy—1y2;

(2)9-12/+4?=(3-2r)2;

(3))r+y+^=Cy+—)2;