【人教A版】高中数学选择性必修第三册：-7.4.2超几何分布(新教材同步)

【人教A版】高中数学选择性必修第三册7.4.2超几何分布情境导入

已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取3件．设抽取的3件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.思考：采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？

若将本题中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此时，只能用古典概型求解.答案：服从.一般地，假设一批产品共有N件产品，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为其中n

，

N，M∈

N*，M≤N，n≤N

，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.知识海洋超几何分布

说明：超几何分布实质上就是有总数为N的两类物品，其中一类有M(M<n)件，从所有物品中任取n件，这n件中含这类物品的件数X是一个离散型变量，它的取值为k的概率．知识海洋

(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.

(2)若随机变量X满足①试验是不放回地抽取n次；②随机变量X表示抽取到的“次品”件数，则该随机变量服从超几何分布.

(3)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③已知各类对象的个数；④从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布列．

(4)若X符合超几何分布，则．

应用探究

(2)中的抽取方式为有放回抽取，符合二项分布，故有放回地任取3件，则其中恰有2件次品的概率为.

【例】

(1)在产品抽样检验中，从含有5个次品的100件产品中，不放回地任取3件，则其中恰有2件次品的概率为________.(2)在产品抽样检验中，从含有5个次品的100件产品中，有放回地任取3件，则其中恰有2件次品的概率为________________.（用式子表示即可）

解析：(1)抽取的方式为不放回抽取，符合超几何分布，故不放回地任取3件，则其中恰好有2件次品的概率为.知识海洋

超几何分布与二项分布的关系：①区别：由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，这两个分布的关系：在产品抽样检验中，如果采用有放回抽样，则次品数服从二项分布，如果采用不放回抽样，则次品数服从超几何分布．②联系：当产品总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为有放回抽样，计算超几何分布时可以用二项分布来代替．应用探究

【例】在一个口袋中有30个球，其中有10个是红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，游戏者一次从中摸出5个球，摸到且只能摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多大(保留两位有效数字)？

解：将30个球看成是一批产品，则总数N=30，10个红球看成是次品，则M=10，一次摸出5个球即n=5，这5个球中红球的个数X是一个离散型随机变量，X服从N=30，M=10，n=5的超几何分布.X的值可以取0，1，2，3，4，5，那么中一等奖的概率为应用探究

【例】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.

(1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列.

解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则所以这3名同学来自互不相同学院的概率为应用探究

【例】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列.X0123P

解:(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.所以，，所以随机变量X的分布列是应用探究

求超几何分布列的步骤

(1)验证随