山东省泰安市宁阳县一中2025届高二上数学期末学业质量监测试题含解析

山东省泰安市宁阳县一中2025届高二上数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（）A. B.C.24 D.482．已知集合，则（）A. B.C. D.3．是椭圆的焦点，点在椭圆上，点到的距离为1，则到的距离为（）A.3 B.4C.5 D.64．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.5．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面是铅垂面，下宽，上宽，深，平面BDEC是水平面，末端宽，无深，长（直线到的距离），则该羡除的体积为（）A. B.C. D.6．已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知函数，则（）A.3 B.C. D.8．已知直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，则a＝（）A. B.C.﹣1 D.19．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（）A.6千台 B.7千台C.8千台 D.9千台10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）A. B.C.8 D.1211．在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是A. B.C. D.12．为迎接2022年冬奥会，某校在体育冰球课上加强冰球射门训练，现从甲、乙两队中各选出5名球员，并分别将他们依次编号为1，2，3，4，5进行射门训练，他们的进球次数如折线图所示，则在这次训练中以下说法正确的是（）A.甲队球员进球的中位数比乙队大 B.乙队球员进球的中位数比甲队大C.乙队球员进球水平比甲队稳定 D.甲队球员进球数的极差比乙队小二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若抛物线经过点，则__________.14．已知空间向量，则使成立的x的值为___________15．已知抛物线的焦点F在直线上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△的面积是△面积的4倍，则直线l的方程为____________16．已知函数定义域为，值域为，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知双曲线中心在原点，离心率为2，一个焦点（1）求双曲线方程；（2）设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程18．（12分）如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点.（1）证明：；（2）当平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求点B到平面DFE距离.19．（12分）如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.（1）证明：直线的方程为.（2）设为双曲线的左焦点，证明：.20．（12分）已知函数，求函数在上的最大值与最小值.21．（12分）已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.22．（10分）已知数列中，数列的前n项和为满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）在和中插入k个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前50项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,,所以,所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.2、C【解析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交运算求即可.【详解】由题设，，∴.故选：C.3、C【解析】利用椭圆的定义直接求解【详解】由题意得，得，因为，，所以，故选：C4、C【解析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率【详解】由题意，又，所以，从而，，，中，，中．，所以，，所以，故选：C5、C【解析】在，上分别取点，，使得，连接，，，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算【详解】如图，在，上分别取点，，使得，连接，，，则三棱柱是斜三棱柱，该羡除的体积三棱柱四棱锥.故选：C【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力6、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分离参数即可.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即故选：D7、B【解析】由导数运算法则求出导发函数，然后可得导数值【详解】由题意，所以故选：B8、A【解析】利用两直线垂直斜率关系，即可求解.【详解】直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故选:A【点睛】本题考查两直线垂直间的关系，属于基础题.9、A【解析】构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.【详解】设利润为y万元，则，∴.令，解得（舍去）或，经检验知既是函数的极大值点又是函数的最大值点，∴应生产6千台该产品.故选：A【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值(2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到10、B【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意知，该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，正三角形的边长为：，正三角形边上的一条高为：，所以一个正三角形的面积为：，所以多面体的表面积为：.故选：B11、D【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D.12、C【解析】根据折线图，求出甲乙中位数、平均数及方差、极差，即可判断各选项的正误.【详解】由题图，甲队数据从小到大排序为，乙队数据从小到大排序为，所以甲乙两队的平均数都为5，甲、乙进球中位数相同都为5，A、B错误；甲队方差为，乙队方差为，即，故乙队球员进球水平比甲队稳定，C正确.甲队极差为6，乙队极差为4，故甲队极差比乙队大，D错误.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】将点代入抛物线方程即可得出答案.【详解】解：因为抛物线经过点，所以，即.故答案为：2.14、##【解析】利用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数x的值.【详解】由题设，，可得.故答案为：.15、【解析】设A，B分别为，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据题设三角形的面积关系可得，并设直线l为，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.【详解】设点A，B的坐标分别为，直线，令可得，故焦点F的坐标为，所以，由，，而△的面积是△面积的4倍，所以，即，设直线l为，联立方程，消去x后整理为，所以，代入，有，可得，则直线l的方程为故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.16、3【解析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得的值，进而得解.【详解】因为，由余弦函数的图像与性质可得，则，由值域为可得，所以，故答案为：3.【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，则，再根据离心率求出，即可求出，从而得到双曲线方程；（2）依题意可得直线的斜率存在，设，即可得到的坐标，依题意可得或，分两种情况分别求出的坐标，再根据的双曲线上，代入曲线方程，即可求出，即可得解；【小问1详解】解：设所求的双曲线方程为（，），则，，∴，又则，∴所求的双曲线方程为【小问2详解】解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点，∴l的斜率一定存在，则设．令得，∵且M、Q、F共线于l，∴或当时，，，∴，∵Q在双曲线上，∴，∴，当时，，代入双曲线可得：，∴综上所求直线l的方程为：或18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.（2）利用平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值列方程，求得，结合向量法求得到平面的距离.【小问1详解】以B为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的建立空间直角坐标系.设，可得，，，.，.因为，所以.【小问2详解】，设为平面DEF的法向量，则，即，可取.因为平面的法向量为，所以.由题设，可得，所以.点B到DFE平面距离.19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A的横坐标与纵坐标，进而表达出直线的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论.【小问1详解】显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，则，化简得.因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标，得，则，故，则，即.【小问2详解】同理可得，又与均过，所以.故，，，又因为，所以，则，，故，故.【点睛】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解.20、最大值为，最小值为【解析】利用导数可求得的单调性，进而可得极值，比较极值和端点值的大小即可求解.【详解】由可得：，则当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，，又因为，，所以，综上所述：函数在上的最大值为，最小值为.21、（1）；（2）证明见解析，的最小值为.【解析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，由此求得的值，进而求得抛物线的方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线的方程，联立直线的方程求得的坐标，由此判断出动点在定直线上.求得的表达式，利用基本不等式求得其最小值.【详解】（1）将点坐标代入抛物线方程得，所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，所以，设直线的方程为，设，由消去得，所以.由于为三角形的垂心，所以，所以直线的方程为，即.同理可求得直线的方程为.由，结合，解得，所以在定直线上.直线的方程为，到直线的距离为，到直线的距离为.所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和