易错训练：第一章 有理数（解析版）

第一章有理数易错训练与压轴训练易错题型一带“非”字的有理数的分类例1．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）把下列各数的序号填在相应的数集内：，，，，，，，．(1)正数集合______；(2)整数集合______；(3)负分数集合______；(4)非负整数集合______．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】本题考查了正数、整数、负分数及非负整数的定义等有理数的相关基础知识，根据正数、整数、负分数及非负整数的定义依次填写即可，熟练掌握相关定义是解题的关键．【详解】（1）正数集合；（2），，整数集合；（3）负分数集合；（4）非负整数集合．巩固训练1．（23-24七年级上·云南丽江·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号中8，17，，3.1415，0，，，2022，，，，正有理数集合：{

…}，负有理数集合：{

…}，整数集合：{

…}，负分数集合：{

…}，【答案】见解析【分析】本题主要考查有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方，熟练掌握正有理数、负有理数集合、整数、负分数的定义是解决本题的关键．【详解】解：，正有理数集合：，负有理数集合：，整数集合：，负分数集合：．2．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号里：，，，，，，，，．负整数集合：{________________________}；非负数集合：{________________________}；正分数集合：{________________________}；负分数集合：{________________________}．【答案】，；，，，，；，；，．【分析】本题考查了负整数、非负数、正分数、负分数的定义，根据多重符号化简，绝对值化简，有理数乘方运算再根据定义即可求解，解题的关键是熟悉负整数、非负数、正分数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用．【详解】，，，，，根据有理数的分类及定义有：负整数集合：{，}；非负数集合：{，，，，}；正分数集合：{，}；负分数集合：{，}；故答案为：，；，，，，；，；，．3．将下列各数填在相应的集合里，，，4.3，，，0，，整数集合：{________________________}；分数集合：{________________________}；正数集合：{________________________}；负数集合：{________________________}；非负整数集合：{____________________}.【答案】见解析【分析】本题主要考查了有理数的分类．先根据绝对值的性质和相反数的定义化简，有理数的乘方进行计算，再分别根据整数、分数、正数、负数、非负整数的定义进行分类，即可解题．【详解】解：，，，，整数集合有：、0、；分数集合有：、、4.3、、；正数集合有：4.3、、；负数集合有：、、、；非负整数集合：4.3、、0、；易错题型二含乘方的有理数混合运算例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算：(1)．(2)【答案】(1)(2)【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则和顺序是解题的关键．（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可；（3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．【详解】（1）；（2）巩固训练1．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根据有理数的运算法则，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号，本题考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．【详解】（1）解：，（2）．2．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的法则和运算顺序．（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．【详解】（1）解：；（2）解：．3．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．（1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可；（2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；（3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题；（4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题．【详解】（1）解：，，；（2）解：，，；（3）解：，，，；（4）解：，，，．易错题型三根据点在数轴的位置判断式子的正负例3.（2024·江苏徐州·二模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是观察各点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小．根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案．【详解】解：由图可得：，且，∴A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：B．巩固训练1.（2023·江西九江·二模）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查数轴，由数轴可得，，即可判定．【详解】解：由数轴可得，∴，故选：C．2.（23-24六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数．根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可．【详解】解：∵从数轴可知：，，∴A．，∴，正确，故本选项不符合题意；B．∵，∴，正确，故本选项不符合题意；C．∵，，∴，错误，故本选项符合题意；D．∵，，∴，正确，故本选项不符合题意；故选：C．3.（22-23七年级上·广西钦州·期末）有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键．【详解】∵，，∴，，，故A，C，D都是错误的，B是正确的，故选B．易错题型四有理数的除法中绝对值之分类讨论问题例4.（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为．【答案】0【分析】由已知推出b、c都是负数，据此去绝对值符号，即可求解．【详解】解：∵单项式a是一个正数，且，∴b、c都是负数，∴，，，，∴，故答案为：0．【点睛】本题考查了绝对值的意义，得到b、c都是负数是解答本题的关键.巩固训练1.（2023秋·七年级单元测试）如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为（）．A．-4，-4，0，2，4 B．-4，-2，2，4 C．0 D．-4，0，4【答案】D【分析】由题意分情况讨论：①a，b，c均是正数；②a，b，c均是负数；③a，b，c中有一个正数，两个负数；④a，b，c中有两个正数，一个负数；利用绝对值的性质，先化简绝对值，再求出结果．【详解】解：①a，b，c均是正数，原式=；②a，b，c均是负数，原式=；③a，b，c中有两个负数，一个正数，原式=；④a，b，c中有两个正数，一个负数，原式=．所有可能的值为－4，0，4．故选：D．【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的计算等，注意多种情况讨论，不能丢解．2.（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题：(1)已知，是有理数，①当，时，则________；②当，时，则________；③当，时，则_______；(2)已知，，是有理数，当时，求【答案】(1)①；②；③(2)或【分析】本题考查了有理数的除法，绝对值的意义；（1）①根据由，时，则，代入即可求解；②根据由，时，则，代入即可求解；③根据由，时，则，代入即可求解；（2）当时，分两种情况讨论：①，，，②，，，进行求解即可．【详解】（1）解：①由，时，则，∴；故答案为：．②由，时，则，∴；故答案为：0．③由，时，则，∴；故答案为：．（2）当时，都小于，或中一个小于，另外两个都大于，分两种情况讨论：①当，，时，；②当，，时，；综上所述：或．3.（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题：(1)已知m，n是有理数，当时，则______；(2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值；(3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值．【答案】(1)0；(2)1或；(3)或3．【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键；（1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可；（2）先