相交线与平行线（江苏专用）初中数学

3第二步大题得高分

考点22相交线与平行线

真题回顾

1.（2020•江苏镇江市•中考真题）如图，ZC是四边形力灰。的对角线，N1=N8,点尻

尸分别在48、BC上,BE=CD,BF=CA,连接即

（1）求证：N〃=N2；

（2）若EF//AC,ZP=78°,求/胡C的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）78°.

【分析】

（1）由“%S”可证△跳通可得/〃=/2；

（2）由（1）可得NZ?=N2=78°,由平行线的性质可得N2=NH4C=78°.

【详解】

证明：（1）在△鹿尸和△CZM中，

BE=CD

•NB=N1,

BF=CA

:.△BEF&XCDA(SAS),

1

(2)；N〃=/2,ZP=78°,

.,.ZP=Z2=78°,

'：EF//AC,

：.N2=NBAC=78°.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质.证明48海△C%是解题的关键

2.（2020•江苏宿迁市•中考真题）（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，NC=ND=90°,

AEDE

点E在边CD上，ZAEB=90",求证:

~EB=~CB

（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，ZC=ZADC=90°,点E在边CD上，点F在边

EFAE

AD的延长线上，ZFEG=ZAEB=90°，且一=——,连接BG交CD于点H.求证:BH=GH.

EGEB

AEDE

（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，ZAEB+ZDEC=180°,且而=而，过

E作EF交AD于点F,若NEFA=NAEB,延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【分析】

AEDE

（1）证得NBEC=/EAD,证明RtAAED^RtAEBC,由相似三角形的性质得出一=—

EBCB

则可得出结论;

2

EFDE

(2)过点G作GM1CD于点M,山(1)叮知——=----，证得BC=GM,证明△BCHg^GMH

EGGM

(AAS),可得出结论；

(3)在EG上取点M,使/BME=/AFE,过点C作CN〃BM,交EG的延长线于点N,则

AEEF

ZN=ZBMG,证明△AEFS^EBM,由相似三角形的性质得出===7,证明

BEBM

DEEFEFEF

△DEF^AECN,则——=——，得；11——=——，则BM=CN,证明ZkBGM^ACGN(AAS),

Ei

由全等三角形的性质可得出结论.

【详解】

(1)VZC=ZD=ZAEB=90°,

ZBEC+ZAED=ZAED+ZEAD=90°,

；./BEC=NEAD,

RtAAED^RtAEBC,

AEDE

(2)如图1,过点G作GM_LCD于点M,

EFDE

同(1)的理由可知:

EG-GM

EFAEAEDE

EGEBEBCB

DEDE

3

，CB=GM,

在ABCH和△GMH中，

NCHB=NMHG

<ZC=NGMH=90°,

CB=GM

/.△BCH^AGMH(AAS),

；.BH=GH；

(3)证明：如图2,在EG上取点M,使NBME=NAFE,

过点C作CN〃BM,交EG的延长线于点N,则NN=NBMG,

VZEAF+ZAFE+ZAEF=ZAEF+ZAEB+ZBEM=180°,ZEFA=ZAEB,

.,.ZEAF=ZBEM,

.,.△AEF^AEBM,

.AEEF

"BE~BM'

VZAEB+ZDEC=180°,ZEFA+ZDFE=180°,

而/EFA=/AEB,

•,.ZCED=ZEFD,

VZBMG+ZBME=180°,

4

，NN=NEFD,

ZEFD+ZEDF+ZFED=ZFED+ZDEC+ZCEN=180°,

.,.ZEDF=ZCEN,

••.△DEF^AECN,

.DEEF

''~EC~'CN'

rAEDE

又.--------，

EBEC

.EFEF

"BM

，BM=CN,

在△BGM和4CGN中，

NBGM=Z.CGN

<ZBMG=NN,

BM=CN

.,.△BGM^ACGN(AAS),

BG=CG.

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行

线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

模拟预测:他模拟)如图，Aff=AC=6,NH4C为锐角，CD//AB.

(1)在直线切上求作点P，使NABP=gNBAC.写出作法，并说明作图理由;

(2)若/瓦k?=45°,求线段PC的长.

5

cD

【答案】（l）件解析；（2）6应.

【分析】

（1）根据作图画出对应的几何图形，理由是根据平行线的性质得到N/bANBPG再由圆

周角定理得到/瓦1C,然后利用等量代换得到结论；

2

（2）由（1）得NBAC,再由/历/////归=180",最后根据勾

2

股定理得出PC的长.

【详解】

解：（1）延长历1,且取胡的延长线上的一点3',使B'A=84,以点力为圆心力6为半径

画半圆，半圆交直线C。于一点，即点尸，连接B'A,PA,PB,此时的/历1。

如图：

理由如下：；力6〃CO

：.AABP=ABPC

,：Z.BPC=-ABAC

2

：.ZABP=^-Z.BAC

2

6

(2)由(1)得NBAC

2

,:NBAC=2NABP,AB=AP

，NABP=/APB=4BPC=二Z&46>22.5°

2

•.•三角形的内角和为180°

，ZBAP+ZABP+ZAPB=180°,即/胡UN处公,

ZPAC=90°,又AB=AC=6,

:-PC=VAC2+AP2=672，

故27的长为6应.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了

几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几

何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了圆周角定理及平行线的

性质.

4.(2021•安徽九年级二模)如图，四边形486。的对角线力公即相交于。,ADUBC,

AEUBD,DEIIAC,且力。=2,CO=3,Dg4.

(1)求劭的长；

S.

(2)设的面积为$,△4BO的面积为S,求吩的值.

7

E

2

【答案】(1)10:(2)y

【分析】

(1)结合题意，根据平行线的性质，得NQA。=ZOCB,ZODA=AOBC,再根据相

似三角形的性质，得B0=COxDO再通过计算即可得到答案；

AO

3

(2)过点A作AP_L3。，交BD于点、P；根据三角形面积公式，得=]5小段0；

根据平行线性质，通过证明〃。后四△ZMO,得S△皿=S&MO,结合题意，通过计算即

可得到答案.

【详解】

(1)'JADHBC

：.ZOAD=ZOCB,NODA=NOBC

：.AOADs4OCB

AO器，即50=COxDO

CO~AO

'：A0=2,C0=3,D0=4

"八COxDO3x4/

BO=---------=----=6

AO2

8

BD=BO+DO=10；

（2）如图，过点A作AP_LBD,交BD于点P

S^BAO=]APxB°，S^DAO--APxDO

SABAOBO33

==BPSAS4O=5AD4

''SADAO~DO2'20

'：AEUBD,DE11AC

：.ZEAD=ZODA,ZEDA=ZOAD

ZEAD=NODA

/.<AD=DA

ZEDA=ZOAD

AADE^ADAO

••SWDE=SADAO

•••△/〃£的面积为$,△为8〃的面积为s,且%

S]一S&DAO=2

S23sADAO+SADAO5

【点睛】

9

本题考查了平行线、相似三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相似

三角形、全等三角形的性质，从而完成求解.

5.(2021•海淀区•北京市八一中学九年级零模)如图，中，AB=AC,ADLBC于

D,班上ZC于交于点尸.

(1)求证：NBAD^NCBE；

(2)过点Z作数的垂线交班•的延长线于点G,连接CG,依据题意补全图形；若NAGC

=90°,试判断跳；AG,CG的数量关系，并证明.

【答案】(1)见解析；(2)BF2+CG2=AG2＞见解析.

【分析】

(1)先根据等腰三角形的性质得到NZEH/C,然后利用等角的余角相等即可证明；

(2)如图：先根据题意补全图形，再连接CF,再证明可得AG//FC,

再根据平行线的性质可得/我CG=N/4GG=90°,进一步证得NG44/G54,B|JAG=FG,然

后利用勾股定理得到即可证明.

【详解】

(1)解：'：AB=AC,ADLBC

:.NBAD=NCAD

NCBE+NBFD=9U°

'：BEVAC

10

：.ZCAD+ZAFE=^O°

〈4BFD=NAFE

:./CBE=/CAD

4BAD=4CBE；

（2）依据题意补全图形:

结论：BF2+CG2=AG2

证明：连结原

'：AB=AC,ZBAD=ZCAD,AF=AF

:.XABF^XACF

:"ACX/ABG,BF=FC

'：ZBAG=＜）0°,

：.ZGAE+ZBAC=90°

•:NABG+NBAC=90°

AACF=NABG=ZGAC.

：.AG//FC

:.NFCG=NAGC=90°

11

'：ZGAF+ZBAD=90°

/G*+N%C=90°

:./GAF=/GFA

：.AG=FG

在Rt缸FCGN,

CF2+CG1=FG1

•••BF2+CG2=AG2-

【点睛】

本题主要考查了复杂作图、勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握几何图形的性质和基本作

图方法是解答本题的关键.

6.（2021•上海九年级专题练习）如图，在四边形ABC。中，AB//CD,Zl=Z2,

AD=EC.求证：AB+BE=CD.

【答案】见解析

【分析】

首先根据平行线的性质求出NABD=NEDC,然后由全等三角形的判定方法AAS证明

△ABD^AEDC,继而根据全等三角形的性质可得AB=£>E,5D=C。，根据等量代换即

可求证结论.

【详解】

12

证明:VAB!ICD,

：.NABD=NEDC.

在△ABD和△EOC中，

NABD=NEDC,

<Z1=Z2,

AD=EC,

：.QABD^\EDC(AAS),

AB=DE,BD=CD.

'：DE+BE=BD，

：.AB+BE=CD.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定及其性质、平行线的性质的运用，解题的关键是利用平行线的

性质求出/ABD=/EDC.

7.(2021•青岛西海岸新区实验初级中学(青岛市黄岛区实验初级中学)九年级其他模拟)

如图1长方形纸条力比刀，其中AO=6C=1,AB=CD=5,将纸片沿朋V折叠，MB与

DN交于点K,得到△MNK.如图2所示：

(1)若Nl=70°,NMKN=

(2)改变折痕MM位置，AKMN始终是___三角形，请说明理由;

(3)当AKMN的面积最小值时，Z1的大小可以为"；

13

（4）当"K为多少时，△KMN的面积最大？并求出这个最大值.

【答案】（1）40°；（2）等腰，理由见解析；⑶45°或135°；（4）MK=2.6,SMNK=1.3

【分析】

（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出NKNM,NKMN的度数，根据三角形内角和即可

求解；

（2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出KM=KN；

（3）分B、C的对应点在CD的上方和B、C的对应点在AB的下方两种情况求解即可；

（4）分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将

矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解.

【详解】

（1）如图1,

♦.•四边形ABCD是矩形，

；.AM〃DN,

AZKNM=Z1.

VZ1=7O°,

AZKNM=ZKMN=Z1=7O°,

.•.ZMKN=40°.

故答案为：40；

图1

14

(2)等腰，

理由：如图1,

VAB//CD,.•.Z1=ZMND,

:将纸片沿MN折叠，.>.Z1=ZKMN,NMND=NKMN,

，KM=KN；

故答案为：等腰；

(3)如图2,

：KN边上的高不变，等于AD的值，

二当KN最小时，AKMN的面积最小值,

VKM=KN,

.•.当KMLCD时，KN最小.

,/NNMB=NKMN,ZKMB=90°.

，4=NNMB=45°.

同理可求N1=NN'A但=135°.

(4)①如图3,

15

图3

当B、D重合，K、〃重合时，谊MK=MB=x,则AM=5-九,

+（5—x）~=x~,***x=26,

,•*SMNK=SMND=—x1x2.6=1.3,

②如图4,

当M、A重合，C、"重合时，

VZBAM=ZCAK,ZBAM=ZDCA,

AZCAK=ZDCA,

.'.MK=CK,

设MK=AK=CK=x,则。K=5-x,

MK=NK=2.6,

•/MD=1,

*e*SMNK=5X2.6x1=1.3.

16

综合以上可得，当MK=2.6时，ZXMNK的面积最大值为1.3.

【点睛】

本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的

判定与性质，三角形的面积计算，注意分类思想的运用，综合性较强，有一点的难度.

8.（2021•南通市启秀中学九年级月考）如图，在aABC中/AB=AC,点P在BC上.

（1）求作:aPCD,使点D在AC上，且△PCDs/\ABP；（要求:尺规作图，保留作图痕迹，不写作

法）

（2）在⑴的条件下，若NAPC=2NABC,求证:PD〃AB.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据相似三角形的性质可得NCPD=/BAP,故作/CPD=/BAP,NCPD与AC的交点

为D即可；

（2）利用外角的性质以及（1）中NCPD=NBAP可得/CPD=NABC,再根据平行线的判

定即可.

【详解】

解：（1）VAPCD^AABP,

；./CPD=NBAP,

故作NCPD=/BAP即可，

17

如图，即为所作图形,

(2)VZAPC=ZAPD+ZDPC=ZABC+ZBAP=2ZABC,

...NBAP=NABC,

.,.ZBAP=ZCPD=ZABC,

即/CPD=NABC,

；.PD〃AB.

【点睛】

本题考查了尺规作图，相似三角形的性质，外角的性质，难度不大，解题的关键是掌握尺规

作图的基本作法.

9.(2021•山东青岛市•九年级一模)如图(1),在平面直角坐标系中，点45的坐标

分别为(-1,0),(3,0),将线段4ff先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长

度，得到线段切，连接4GBD,构成平行四边形的C.

(1)请写出点C的坐标为,点〃的坐标为,5四边彩4aoe______;

(2)点。在y轴上，且Sk08=S四边彩4aoc,求出点。的坐标；

(3)如图(2),点P是线段他上任意一个点(不与8、〃重合)，连接心PO,试探索

NDCP、2CPO、/及加之间的关系，并证明你的结论.

18

【答案】(1)(0,2),(4,2),8；(2)<2(0,4)或00,-4)；(3)ZCPO=ZDCP+ZBOP,

证明见解析

【分析】

(1)根据平移直接得到点C,〃坐标，用面积公式计算S喇修相加即可；

(2)设出。的坐标，。。=|川，用品30=5四边柩力亚建立方程，解方程即可；

(3)作展〃Z8交y轴于点£,利用两直线平行，内错角相等即可得出结论.

【详解】

解：(1)•.•线段45先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段山,

且A(-1,0),B(3,0),

(0,2),D(4,2)；

'：AB=\,OC=2,

••S四边脖ABDC—ABXOC—4X2=8；

故答案为：(0,2)；(4,2)；8；

(2);点。在y轴上，设Q(0,m),

OQ=\m\，

19

S^QAB—；XABX0Q=JX4X|7n|=21Z77|,

,•*s|M|边形ABDC—8,

.'.2|T??|=8,

，m=4或m--4,

：.Q(0,4)或Q(0,-4).

(3)如图，

;线段CO是线段//平移得到，

，CD//AB.

作PEHAB交y轴于点反

・・・CD"PE,

:"CPE=/DCP,

,:PE〃AB,

：.AOPE=Z.BOP,

：.ZCPO=ZCPE+ZOPE=ZDCP+ZBOP,

：.ZCPO=ZDCP+ZBOP.

【点睛】

本题主要考查了线段的平移及平行线的性质，掌握平行线的性质并作出辅助线是解题的关键.

20

10.(2021•内蒙古鄂尔多斯市•九年级一模)某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2

米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角NBCD=140°.初始位置如图1,斗杆顶点D与铲

斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E,测得NCDE=70°(示意图2).工作时如

图3,动臂BC会绕点B转动，当点A,B,C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高

点(示意图4).

Q)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角ZABC的度数.

(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)？

(考数据：sin50°*0.77,cos50°=0.64,sin70°*0.9%cos70°*0.34,6=1.73)

【答案】(1)动臂BC与AB的夹角为NA8C为150°；(2)斗杆顶点D的最高点比初始位

置高/约0.8米.

【分析】

(1)如图，过点C作CGLAM于点G,可得AB//DE//CG,然后根据两直线平行,

同旁内角互补解答即可；

(2)如图2-2,过点C作CPDF于点P,过点B作BQ±DF于点Q交CG于点N.通

过解直角三角形求出DE的长；如图4,过点D作。"_LAM于点H,过点C作CK1DH

点K,通过解直角三角形求出DH的长，二者相减即可.

【详解】

(1)如图2-1,过点C作AM于点G.

•/AB±AM,DE1AM,

AB!IDE!ICG.