《空间向量与立体几何》核心素养梳理复习课件

北师大版同步教材精品课件《空间向量与立体几何》核心素养梳理知识网络建构如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc知识网络建构l∥m或l与m重合l∥m或或与重合l⊥ml⊥m知识网络建构若点P是直线l外一点,是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量,在平面α的单位法向量方向上所作投影向量的长度,即知识网络建构核心素养梳理数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.主要表现为:掌握推理基本形式和规则,发现问题和提出命题,探索和表述论证过程,理解命题体系,有逻辑地表达与交流.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.本章内容涉及数学建模、逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养的地方较多,比如下面这几道例题,在第一问中证明线面垂直、线线垂直或面面垂直考查了逻辑推理核心素养;在第二问中求线面角、面面角的正弦值等,综合考查了数学建模、直观想象和数学运算等核心素养.核心素养梳理例1如图,在三棱锥P-ABC中,(1)求证:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C的平面角为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.解析(1)利用等腰三角形的性质可知OP⊥AC,.连接OB,同理可证OB⊥AC,,进而根据三边关系可知PO⊥OB.利用线面垂直判定定理可得PO⊥平面ABC.,解方程即可求出平面PAM的法向量,(2)建系,转化为两平面法向量夹角的余弦值绝对值为进而利用数量积求解.核心素养梳理答案(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且.连接OB,因为,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,.由知PO⊥OB,由OP⊥OB,OP⊥AC,AC∩OB=0,知PO⊥平面ABC.(2)如图,以O为坐标原点,以OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

,取平面PAC的一个法向量=(2,0,0).设,则=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由,得可取

核心素养梳理,所以.由已知得,所以,解得a=-4(舍去),.所以.又,所以.以PC与平面PAM所成角的正弦值为.核心素养梳理例2在如图所示的多面体中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BDEF是矩形,ED⊥平面ABCD,∠ABD=(1)求证:平面BDEF⊥平面ADE;(2)若ED=BD,求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.,AB=2AD.解析(1)利用余弦定理可得,根据可知BD⊥AD.利用线面垂直、化简计算即可.面面垂直判定定理即可证明结论(2)由(1)可以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出平面AEC的一个法向量n,利用核心素养梳理答案(1)在△ABD中,∠ABD=,AB=2AD,由余弦定理,得,从而,所以△ABD为直角三角形且∠ADB=90°,故BD⊥AD.因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥BD.又AD∩DE=D,所以BD⊥平面ADE.因为平面BDEF,所以平面BDEF⊥平面平面ABCD,ADE.(2)由(1)可得,在Rt△ABD中,,,又由ED=BD,设AD=1,则.因为DE⊥平面ABCD,BD⊥AD,所以可以点D为坐标原点,DA,DB,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.核心素养梳理则A(1,0,0),C(-1,,0),E(0,0,),F(0,,).所以=(-1,0,),=(-2,,0).设平面AEC的法即令z=1,得为平面AEC的一个法向量.因为=(-1,,),所以,所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.向量为n=(x,y,z),则核心素养梳理例3如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)求证:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.解析(1)利用线面垂直判定定理证明BF⊥平面PEF,进而可证平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF,垂足为H.以H为坐标原点,建系,转化为求直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题.核心素养梳理答案(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,EF∩PF=F,所以BF⊥平面PEF.又(2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系.平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.可得.是则H(0,0,0),,为平面ABFD的一个法向量.设DP与,则所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.平面ABFD所成的角为.核心素养梳理例4

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面ABB1A1,且AA1=AB=2.(1)求证:AB⊥BC;(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为,请问在线段A1C上是否存在点E,使得二面角A-BE-C？请说明理由.的平面角为解析(1)利用等腰三角形三线合一可知AD⊥A1B,再结合面面垂直的性质定理可知AD⊥BC.根据AA1⊥BC及线面垂直判定定理可知BC⊥侧面ABB1A1,进而得证结论.(2)假设存在适合条件的点E,建系,设,问题转化为两个平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值等于是否有解的问题,化简计算即得结论.核心素养梳理答案(1)连接AB1交A1B于点D,则D为A1B的中点,因为AA1=AB,所以AD⊥A1B.又平面A1BC⊥侧面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,所以AD⊥平面A1BC,又平面A1BC,所以AD⊥BC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AD=A,所以BC⊥侧面ABB1A1,所以BC⊥AB.(2)由(1)得AD⊥平面A1BC,所以∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角,即.又,AB=2,所以,BC=2.假设存在适合条件的点E,以A为坐标原点,平面ABC内过点A的AC的垂线为x轴,AC所在直线为y轴,AA1