第二章直线和圆的方程（满分练）-2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第二章直线和圆的方程（满分练）-2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第一册）1．直线l：（）与圆C：交于两点P､Q，则弦长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线被圆截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线垂直，由勾股定理即可得到最短弦长．【解答】解：由直线得：，令解得故恒过定点．因为，则点在圆的内部，直线与圆相交．圆心，半径为，，当截得的弦长最小时，，最短的弦长是．因为直线l：的斜率存在，故不能取到最小值，再由经过圆心时弦长最长为，则．故选：．【点评】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．2．过点与点(7,0)的直线l1，过点(2,1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为()A．－3 B．3C．－6 D．6【答案】B【分析】根据四点共圆的条件可知，四边形的2个对角之和是180°，即l1与l2是相互垂直的，利用两条直线斜率的乘积为-1，即可得到结论．【解答】.由已知得l1⊥l2，∴×k＝－1，∴k＝3．【点评】本题主要考查直线垂直与直线斜率之间的关系，利用四点共圆得到直线垂直是解决本题的关键．3．若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（）A． B． C．5 D．7【答案】B【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得直线经过圆心即，再由基本不等式即可得解.【解答】由题得圆的方程可以化为，所以圆心为，半径为，因为直线被圆截得的弦长为，所以直线经过圆心，所以，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：B.【点评】本题考查了直线与圆位置关系、基本不等式求最值的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.4．已知圆的圆心为原点，且与直线相切.点在直线上，过点引圆的两条切线，，切点分别为，，如图所示，则直线恒过定点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆的圆心为原点且与直线相切即得圆的方程，又，是它的切线，可知，一定在以为直径为圆心的圆上，即为两圆的公共弦，即可求出直线的方程，进而找到定点【解答】依题意知，圆的半径且圆心为∴圆的方程为∵，是圆的两条切线∴，，即，在以为直径的圆上若设点的坐标为，，则线段的中点坐标为∴以为直径的圆的方程为，，化简得，∵为两圆的公共弦∴直线的方程为，，即∴直线恒过定点故选：A【点评】本题考查了圆的切点弦过定点问题，首先根据已知条件求出两圆方程，由两圆过相同的两点，即有公共直线求出切点弦的直线方程，进而确定定点5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，则的欧拉线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，然后求出线段的垂直平分线的方程即可.【解答】因为，所以线段的中点的坐标，线段所在直线的斜率，则线段的垂直平分线的方程为，即，因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，所以的欧拉线方程为.故选：D【点评】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.6．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，得出点、的坐标，设点，利用两点间的距离公式结合条件得出点的轨迹方程，然后利用坐标法计算出的表达式，再利用数形结合思想可求出的最小值.【解答】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，则、，设，，，两边平方并整理得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则有，如下图所示：当点为圆与轴的交点（靠近原点）时，此时，取最小值，且，因此，，故选A.【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.7．若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】利用垂径定理，结合点到线的距离公式求解.【解答】由圆可知，圆心，半径为：，若直线被圆所截得的弦长为，则由垂径定理可知圆心到直线的距离：，故，解得或.故选：A.【点评】本题考查直线与圆相交时弦长的求解，考查点到线距离公式的应用，属于基础题.8．若直线与圆有两个不同的公共点，那么点与圆的位置关系是（）．A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定【答案】A【分析】直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系．【解答】解：因为直线与圆有两个公共点，所以有，即，因为点与的圆心的距离为，圆的半径为2，所以点在圆外.故选:A．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，属于中档题.直线与圆的位置关系的判断方法有：1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根据方程组根的个数进行判断．9．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由点到直线的距离表示出，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得，即可求出的最大值.【解答】由题意，点到直线的距离为，则，其中，，所以当且仅当，时，取得最大值，即.故选：C【点评】本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.10．已知点是直线上一动点、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图形，可知，由四边形的最小面积是，可知此时取最小值，由勾股定理可知的最小值为，即圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求出的值.【解答】如下图所示，由切线长定理可得，又，，且，，所以，四边形的面积为面积的两倍，圆的标准方程为，圆心为，半径为，四边形的最小面积是，所以，面积的最小值为，又，，由勾股定理，当直线与直线垂直时，取最小值，即，整理得，，解得.故选：D.【点评】本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为()A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．【解答】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为,，半径为3，由图象可知，当三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，即，故选D．【点评】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．12．一条光线从点射出，经直线反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程的斜率为（）A． B．或 C． D．或【答案】C【分析】先求得关于直线的对称点，由此设出反射光线所在直线的方程，利用圆心到反射光线所在直线的距离等于半径列方程，由此求得反射光线所在直线的斜率.【解答】设，，直线的斜率为，所以直线和直线垂直；的中点坐标为即，在直线上，所以点关于直线的对称点为，由题可知反射光线所在直线的斜率存在，点在反射光线所在直线上．设反射光线所在直线方程为，即．∵圆的方程可化为，圆心为，半径为1，，解得，即．故选：C【点评】本小题主要考查点和直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系.13．已知实数x，y满足x＋y－3＝0，则的最小值是()A． B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】把问题化为“直线的上点与定点的距离”，即从“点向直线作垂线段”，由点到直线的距离公式可得结果.【解答】点满足直线：x＋y－3＝0，则表示直线上的点P(x，y)与定点A(2，－1)的距离，其最小值是点A到直线：x＋y－3＝0作垂线段为最短，所以点A到直线的距离为d＝＝，即所求的最小值是，故选A．【点评】本题主要考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，考查了转化思想的应用，属于中档题.14．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是（）A．平行 B．重合C．平行或重合 D．相交或重合【答案】C【分析】利用两点连线斜率公式求出两条直线斜率，根据斜率关系以及是否有公共点可判断出两条直线位置关系.【解答】由题意知：，当时，与没有公共点当时，与有公共点与重合与平行或重合本题正确选项：【点评】本题考查两条直线位置关系的判断，关键是利用两点连线斜率公式求得斜率，易错点是忽略两条直线是否有公共点.15．已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（）A．20 B．－4 C．0 D．24【答案】B【分析】结合直线垂直关系，得到a的值，代入垂足坐标，得到c的值，代入直线方程，得出b的值，计算，即可．【解答】直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知，将垂足坐标代入直线方程，得到，代入直线方程，得到，所以，故选B．【点评】考查了直线垂直满足的条件，关键抓住直线垂直斜率之积为-1，计算，即可，难度中等．16．已知直线与圆交于A，B两点，且与x轴，y轴分别交于C，D两点，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离和半径，可得，再求出，即可求出结果.【解答】依题意得，点C的坐标为，点D的坐标为，所以，故有.故选：A【点评】本题考查直线和圆相交的弦长问题，考查了计算能力，属于基础题目.17．过点作直线l与两坐标轴的正半轴相交，所围成的三角形面积为2，则这样的直线l有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．0条【答案】A【分析】设直线的截距式方程，根据直线过点，可得，根据面积公式，得，联立方程组，求解后即可判断.【解答】根据题意设方程，已知直线过过点，可得①，根据直线与坐标轴围成的三角形面积为2，可知②，联立①②解得，即满足条件的直线方程为故选A.【点评】本题考查了求直线的截距式方程，考查了直线方程形式的灵活应用，当题目中涉及直线与坐标轴的两个截距，求直线时，可选用截距式进行求解.18．在圆：中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（）A．6 B．12 C．24 D．36【答案】B【分析】先将圆的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得､的值,进而求出答案.【解答】圆的标准方程为:,其圆心为,半径,过点最长的弦长是直径,故,最短的弦是与垂直的弦,又,所以,即,所以四边形的面积,故选:B.【点评】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确和的位置关系,难度不大.19．到直线的距离为2的直线方程是（）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得解方程求出c值，即得所求的直线的方程．【解答】设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得，c=﹣11，或c=9．∴到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是3x﹣4y﹣11=0，或3x﹣4y+9=0，故选B．【点评】本题考查用待定系数法求平行直线方程的方法，以及两平行线间的距离公式的应用．是基础题.20．已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】圆关于直线对称即说明直线过圆心，即可求出，即可由中点弦求出弦长.【解答】依题意可知直线过圆心，即，．故．圆方程配方得，与圆心距离为1，故弦长为．故选D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。21．若直线被圆截得的弦长为，则________.【答案】2【分析】求出圆心到直线的距离，根据弦长公式列方程求解.【解答】圆心到直线的距离，因为直线被圆截得的弦长为，所以，所以.故答案为：2【点评】此题考查根据直线与圆形成的弦长关系求参数的值，关键在于准确求出圆心到直线的距离，熟练掌握弦长公式.22．已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.【答案】【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接交与点，连接分别交为点，则之间即为点的变动范围．再求出直线的斜率即可．【解答】∵，∴直线方程为，直线方程为,如图，作关于的对称点，则，再作关于的对称点，则,

连接交与点，则直线方程为,∴，连接分别交为点，

则直线方程为，直线方程为，

∴，连接，

则之间即为点

的变动范围．

∵直线方程为，直线的斜率为

∴斜率的范围为

故答案为：.【点评】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.23．若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．24．若过原点的动直线将圆分成的两部分面积之差最大时，直线与圆的交点记为、；将圆分成的两部分面积相等时，直线与圆的交点记为、；则四边形的面积为_________．【答案】.【分析】直线将圆分成面积相等的两部分即直线过圆心；直线将圆分成的两部分面积之差最大，即过点的弦长最短时，据此求四边形的面积即可.【解答】直线将圆分成面积相等的两部分即直线过圆心，可得此时为直径，，若直线将圆分成的两部分面积之差最大，如下图：，当过原点的弦垂直于过此点直径时，最大，此时，在中，，则，那么．故答案为:【点评】此题考查了直线和圆的位置关系，充分利用平面几何中直线和圆性质可以化简问题，属于中档题.25．在平面直角坐标系中，定点，动点满足，，则的最小值为________.【答案】【分析】设点，由，求得，得到点,都在以为圆心，为半径的圆上，点为圆内一点，结合圆的弦长公式，即可求解.【解答】设点，由，可得，即，因为动点满足，所以点,都在以为圆心，为半径的圆上，点为圆内一点，又因为，可得三点共线，由圆的性质，可得当时弦长度最小，最小值为.故答案为：.【点评】本题主要考查了圆的方程，以及直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中合理转化，利用圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.26．已知，为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为______.【答案】9【分析】由直线与直线互相垂直，可得，进而根据基本不等式可得的最小值．【解答】直线与直线互相垂直，，，，，当且仅当时取等号.故答案为：9【点评】本题主要考查直线垂直的应用，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.27．直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是______.【答案】或【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且只有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况，分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线与和另一个点，以及与曲线交于点，分别求出，则的范围可得.【解答】解：由曲线，可得，表示一个半圆.如下图可知，，，，当直线经过点时，，求得；当直线经过点，点时，，求得；当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得或（舍），故的取值范围为或.故答案为：或.【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，体现了数形结合的思想方法，属于中档题.28．已知直线x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且，则r＝________．【答案】【分析】求出原点到直线的距离，令，由可得：，分别在Rt△ODE和Rt△OAE中列方程，解方程即可.【解答】如图，过O作OE⊥AB于E，连接OA，则|OE|＝，易知|AE|＝|EB|，不妨令|AD|＝5m（m＞0），由可得：|BD|＝3m，|AB|＝8m，则|DE|＝4m－3m＝m，在Rt△ODE中，有①，在Rt△OAE中，有r2＝（）2＋（4m）2②，联立①②，解得：r＝.故答案为：.【点评】本题主要考查平面向量的应用、直线截圆所得弦长的计算以及直线与圆的位置关系，是中档题.29．已知曲线与直线交于,两点,若直线,的倾斜角分别为、,则______．【答案】0【分析】由题意可以判断出的度数与度数的关系,直线与曲线方程联立,利用一元二次方程的根与系数关系、平面向量夹角公式可以求出的大小.【解答】当时,有；当时,有,而,所以只要求当时的大小就可以.设,两点坐标为：,所以.直线与曲线方程联立得：.因此有：故答案为：0【点评】本题考查直线与半圆的位置关系,考查了平面向量的夹角公式,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.30．已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是______________.【答案】【分析】根据题意，画出图像，所求直线的斜率满足,用直线的斜率公式分别求出的值，即可得出直线的斜率的取值范围．【解答】如下图，直线的斜率为，直线的斜率为.由图可知直线的斜率的取值范围是.【点评】本题主要考查过定点的直线斜率范围问题．31．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．【答案】（1）存在，；（2）存在；（3）不存在，【解析】试题分析：(1)根据直线上两点坐标求斜率，可得，结合，可得结果；(2)根据直线上两点坐标求斜率，可得，结合，可得结果；（3）根据直线上两点横坐标相等可知直线的斜率不存在，倾斜角.试题解析：(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.32．某公园有A，B两个景点，位于一条小路（直道）的同侧，分别距小路和，且A，B景点间相距，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？【答案】观景点应设在B景点在小路的射影处.【分析】由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上，建立平面直角坐标系，设过A，B两点且与x轴相切的圆的方程为，利用圆心在线段的垂直平分线上，且圆与轴相切，可求出，根据视角最大舍去一组解，可得圆的方程和切点坐标，从而得解.【解答】所选观景点应该保证两景点的视角最大.由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点.以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上，建立平面直角坐标系，如图.由题意，得，设过A，B两点且与x轴相切的圆的方程为，因为圆心在线段的垂直平分线上，且易得线段的垂直平分线方程为.所以解得或又要求视角最大，所以，所以圆的方程为.令，可得切点坐标为，所以观景点应设在B景点在小路的射影处.【点评】本题考查了圆的方程的应用，考查了求圆的标准方程，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题.33．已知点，，圆是以的中点为圆心，为半径的圆.（1）若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线方程；（2）若是圆外一点，从向圆引切线，为切点，为坐标原点，，求使最小的点的坐标.【答案】（1），，；（2）.【解析】试题分析：（1）设圆心坐标为，半径为，依题意得，，，所以圆的方程为.下面分两种情况讨论，第一种情况，若截距均为，即圆的切线过原点，则可设该切线为，利用圆心到直线的距离等于半径，可求得；第二种情况，若截距不为，可设切线为，同理利用圆心到直线的距离等于半径求得或.综上求得切线方程为，，；（2）题意，所以，即，整理得.而时，取得最小值.此时点的坐标为.试题解析：（1）设圆心坐标为，半径为，依题意得，，∴圆的方程为（ⅰ）若截距均为0，即圆的切线过原点，则可设该切线为，即，则有，解得此时切线方程为或.（ⅱ）若截距不为0，可设切线为即，依题意，解得或3此时切线方程为或.综上：所求切线方程为，，.（2）∵，∴即，整理得而时，取得最小值.此时点的坐标为.考点：直线与圆的位置关系．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程，二次函数求最值等知识.题目一开始给了圆的直径上的两个端点的坐标，利用这两个条件，先求圆心和半径，这样就求出了圆的方程.由于圆的切线在轴和轴上截距相等，截距相等有两种情况，一种是截距都为零，另一种是截距不为零，分成两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径来求得切线方程.第二问则是利用条件，先求出的表达式，这个表达式是根号下含有二次函数的形式，故可以用配方法或代入对称轴求得最小值.34．是否存在实数，使直线和点的距离等于6？【答案】不存在【分析】将此直线方程变形为.可求得直线恒过点，由图可知点到直线距离的最大值为，即可得出结论.【解答】因为直线方程变形为.所以，直线恒过两直线及的交点，计算可得交点.因为点到这些过点的直线的距离中，最大距离为，故这些直线中，与点距离为6的直线是0条，所以，不存在这样的实数，使直线：和点的距离等于6.【点评】本题考查了直线恒过定点问题，考查了点与线的距离的最值问题，考查了数形结合的思想，属于中档题.35．已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．（1）求圆的方程．（2）设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程．（3）若一条直线过点且与圆交于两点（在轴上方，在轴下方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）存在，的坐标为.【分析】（1）设出圆心，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于4，确定圆心坐标，即可得圆的方程.（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点的直线被圆截得的弦长等于，分斜率存在与不存在两种情况讨论，即可求出直线的方程.（3）当轴时，则轴平分，当直线的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，结合，即可求出点的坐标.【解答】（1）设圆心，则，解得或（舍）．故圆的方程为．（2）由题意可知圆心到直线的距离为．若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为1；若直线的斜率存在，设直线，即，则有，解得，此时直线．综上，直线的方程为或．（3）当直线轴时，对轴正半轴上任意一点轴平分；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，若轴平分，则，即，即，即，即，解得．综上，当点的坐标为时，轴平分．【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用，涉及知识有：垂径定理、勾股定理、圆的标准方程、点到直线的距离公式、以及斜率的计算，属于中档题.36．过点作直线𝑙分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.(1)当△AOB面积最小时，求直线𝑙的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线𝑙的方程.【答案】（1）；（2）【分析】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．【解答】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，（2）由于，当且仅当，即且时取等号，所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．【点评】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．37．已知实数，满足方程.（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.【分析】（1）设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，解方程即得解；（2）设，当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，解方程即得解；（3）最大值和最小值分别为圆心到原点的距离与半径的和与差的平方.【解答】（1）方程表示以点为圆心，为半径的圆，设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，此时，解得.故的最大值为，最小值为.（2）设，即，当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，此时，即.故的最大值为，最小值为.（3）表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故，.【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到圆上的点的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.38．已知直线l：y＝－x＋1，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．【答案】（1）（2）7x－y－14＝0（3）x＋2y－4＝0【分析】（1）设出对称点的坐标，利用中点在对称轴上以及斜率乘积等于列方程组，解方程组求得对称点的坐标.（2）设上一点的坐标，以及该点对称点的坐标，利用（1）的方法求得两个对称点的坐标的关系式，代入直线的方程，化简后求得的方程.（3）设出对称直线上任意一点的坐标，和对称点的坐标，利用中点坐标公式得到两者的的坐标关系，代入直线的方程求得对称直线的方程.【解答】解:(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.所以，解得，即.（2）直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立．由得把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0.即直线l2的方程为7x－y－14＝0.(3)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．由得，将(x1，y1)代入直线l的方程得：x＋2y－4＝0，∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.【点评】本小题主要考查点关于直线对称点的求法，考查直线关于点的对称直线的求法，考查直线关于直线对称的直线的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.解题关键点在于利用对称问题，中点和斜率的对应关系来列方程组求解.39．根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)经过点A(－1,2)，B(4，－2)；(2)在y轴上的截距是2，且与x轴平行；【答案】（1）4x＋5y－6＝0（2）y＝2【分析】（1）根据直线方程两点式，写出直线方程并化为一般式.（2）根据直线的截距和与轴平行，写出直线方程.【解答】解:(1)由两点式方程，得，整理得.（2）由于直线和轴平行且纵截距为，所以直线方程为.【点评】本小题主要考查直线的两点式方程，考查平行于轴的直线方程的表示，属于基础题.40．已知不交于同一点的三条直线：4x＋y－4＝0，：mx＋y＝0，：x－my－4＝0.(1)当这三条直线不能围成三角形时，求实数m的值；(2)当与，都垂直时，求两垂足间的距离．【答案】(1)m＝4或m＝－(2)【分析】（1）三条直线不能围成三角形时，至少有两条直线平行，分类讨论可得；（2）当与都垂直时可得m的值，两垂足间的距离即为平行线和的距离，由平行线间的距离公式可得.【解答】(1)因为三条直线不交于同一点，所以三条直线不能围成三角形时，至少有两直线平行，当直线和平行时，4－m＝0，解得m＝4；当直线和平行时，－m2－1＝0，无解；当直线和平行时，－4m－1＝0，解得m＝－；综上可得m＝4或m＝－；(2)当与，都垂直时，m＝4，两垂足间的距离即为平行线和的距离，∴d＝.【点评】该题考查的是根据直线的位置关系求相关参数的值的问题，涉及到的知识点有两直线平行的条件，以及平行线间的距离公式，属于简单题目.41．求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程．【答案】或．【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y=kx，代入点(5,2)求得k的值，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点(5,2)求解.【解答】①当直线在两坐标轴上的截距均为0时，因为直线过点，所以直线的方程为；②当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，则直线的方程为，又直线过点，∴，解得，∴直线的方程为．综上;直线的方程为或．【点评】本题主要考查直线的斜截式方程和截距式方程，属于基础题.42．已知圆和(1)求证：圆和圆相交；(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】(1)本题可先通过圆和圆的方程得出它们的圆心和半径长，再通过用圆心距和两圆的半径之和以及两圆的半径之差作对比，即可得出结果；(2)可先通过两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程，再通过圆心到公共弦的距离以及半径利用勾股定理得出结果．【解答】(1)圆的圆心，半径，圆的圆心，半径两圆圆心距所以，圆和相交；(2)圆和圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为：故公共弦长为【点评】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定、两圆的公共弦所在直线的方程的求法以及公共弦长，属中档题．圆和圆的位置关系有：相交，相离，相切几种关系，通过判断圆心的距离和半径的和与差的关系即可．43．已知圆：与轴相切，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，切点为.（1）求圆的圆心坐标及半径；（2）若点运动到处，求此时切线的方程；（3）求满足条件的点的轨迹方程.【答案】（1）圆心，半径为1；（2）或；（3）【分析】（1）将圆化为标准方程，由圆与轴相切得，求得及半径即可；（2）分别考虑切线斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求出切线方程；（3）设点，分别求出和的长度，利用求出点轨迹方程.【解答】（1）由题意，圆的方程可化为，因为圆与轴相切，所以，得，所以圆：，圆的圆心，半径为1；（2）由题意，当直线斜率不存在时，直线：，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切；当直线斜率存在时，设直线：，圆心到直线的距离，解得，所以直线：；综上，切线的方程为或；（3）设点，，，由，得，所以，整理得，，即点的轨迹方程：【点评】本题主要考查圆的方程、圆切线方程的求法、切点弦长度的求法和轨迹方程的求法，注意求切线方程时考虑切线斜率存在和不存在两种情况，属于中档题.44．已知方程表示的图形是一个圆.（1）求的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）把已知方程用配方法化为圆的标准方程形式，再由r2＞0求出t范围；（2）当半径最大时圆的面积最大，由（1）知，，且，故当t=时，半径取得最大值，从而得面积最大时圆的方程.【解答】圆的方程可化为.（1）由题意知，，解得.（2）设圆的半径为，则.因为，所以当时，半径取得最大值.当圆的半径最大时，圆的面积最大，此时所求圆的方程为.【点评】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，考查了圆的面积与半径的关系；可用配方法将方程化为圆的标准方程的形式后，利用r2＞0求出参数的范围；求半径的最大值时，需要注意t的取值范围.45．已知以点C（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．【答案】（1）证明见解析（2）圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5【分析】（1）先求出圆C的方程（x－t）2＋＝t2＋，再求出|OA|,|0B|的长，即得△OAB的面积为定值；（2）根据t得到t＝2或t＝－2，再对t分类讨论得到圆C的方程．【解答】（1）证明：因为圆C过原点O，所以OC2＝t2＋.设圆C的方程是（x－t）2＋＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，所以S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×||＝4，即△OAB的面积为定值．（2）因为OM＝ON，CM＝CN，所以OC垂直平分线段MN.因为kMN＝－2，所以kOC＝.所以t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为（2，1），OC＝，此时，圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．符合题意，此时，圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.当t＝－2时，圆心C的坐标为（－2，－1），OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，所以t＝－2不符合题意，舍去．所以圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.【点评】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.46．已知圆C：x2＋y2－x＋2y＝0和直线l：x－y＋1＝0.(1)试判断直线l与圆C之间的位置关系，并证明你的判断；(2)求与圆C关于直线l对称的圆的方程．【答案】（1）见解析；（2）【分析】(1)求出圆心与直线的距离与半径比较，即可得出结论.(2)求出圆心C关于直线l对称点，即可求得圆C关于直线l对称的圆的方程.【解答】(1)直线l与圆C的位置关系是相离．证明如下：由整理，得，即圆C的圆心，半径.圆心到直线l：x－y＋1＝0的距离，d＞r，即直线l与圆C相离．(2)设圆心C关于直线l的对称点为C′(x，y)，则CC′的中点在直线l上，且CC′⊥l，∴解得即对称圆的圆心为，对称圆的半径，方程为【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，点关于直线对称的应用.47．设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为.（1)求的离心率；（2)设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）因为，可以求出M点的坐标，利用直线的斜率为可以推导出之间的关系