2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理课时素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE向量基本定理(15分钟35分)1.如图,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则= ()A.QUOTE(5e1+3e2)B.QUOTE(5e1-3e2)C.QUOTE(3e2-5e1) D.QUOTE(5e2-3e1)【解析】选A.=QUOTE=QUOTE(+)=QUOTE(+)=QUOTE(5e1+3e2).2.对于向量a,b有下列表示:①a=2e,b=-2e;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;③a=4e1-QUOTEe2,b=e1-QUOTEe2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.其中,向量a,b肯定共线的有 ()A.①②③ B.②③④C.①③④ D.①②③④【解析】选A.对于①,a=-b;对于②,a=-QUOTEb;对于③,a=4b;对于④,若a=λb(λ≠0),则e1+e2=λ(2e1-2e2),即(1-2λ)e1+(1+2λ)e2=0,所以1-2λ=1+2λ=0,冲突,故④中a与b不共线.3.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则x,y满意的关系是 ()A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0【解析】选A.由=λ,得-=λ(-),即=(1+λ)-λ.又因为2=x+y,所以QUOTE消去λ得x+y=2.4.(2024·天水高一检测)已知a,b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=________.

【解析】因为a,b不共线,所以a,b可以作为一组基底,又因为c与b共线,所以c=λ2b,所以λ1=0.答案:05.已知两个不共线向量e1,e2,且=e1+λe2,=3e1+4e2,=2e1-7e2,若A,B,D三点共线,则λ的值为________.

【解析】由=3e1+4e2,=2e1-7e2,得=+=5e1-3e2,又=e1+λe2,且A,B,D三点共线,所以存在实数μ,使得=μ,即e1+λe2=μ(5e1-3e2),又e1,e2不共线,所以QUOTE则λ=-QUOTE.答案:-QUOTE6.(2024·呼和浩特高一检测)如图所示,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC,AB的中点,已知,=a,=b,试用a,b分别表示,,.【解析】因为AB∥CD,且AB=2CD,所以=QUOTE=QUOTEa,因此=++=-a+b+QUOTEa=-QUOTEa+b.因为M,N分别是DC,AB的中点,所以=++=-QUOTEa-b+QUOTEa=QUOTEa-b,综上所述,=QUOTEa,=-QUOTEa+b,=QUOTEa-b.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2024·日照高一检测)如图,向量a-b等于 ()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2 D.3e1-e2【解析】选C.如图不妨令a=,b=,则a-b=-=,由平行四边形法则可知=e1-3e2.2.(2024·兰州高一检测)设D为△ABC所在平面内一点,=-QUOTE+QUOTE,若=λ(λ∈R),则λ= ()A.-3 B.3 C.-2 D.2【解析】选A.若=λ(λ∈R),所以-=λ-λ,化为=QUOTE+QUOTE,又=-QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE,QUOTE=QUOTE,解得λ=-3.3.已知非零向量e1,e2不共线.欲使ke1+e2和e1+ke2共线,则实数k的值为()A.1 B.-1 C.1或-1 D.0【解析】选C.因为ke1+e2与e1+ke2共线,所以存在唯一实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),即(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1与e2不共线,只能有QUOTE所以k=±1.【补偿训练】设两个不共线的向量e1,e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与向量c共线?【解析】因为d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在唯一实数k使d=k·c,即:(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.由QUOTE得λ=-2μ,故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ,就能使向量d与c共线.4.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.依题意,设=λ,其中1<λ<QUOTE,则有=+=+λ=+λ=(1-λ)+λ.又因为=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-λ∈QUOTE,即x的取值范围是QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列叙述正确的是 ()A.若a,b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λbB.b=3a(a为非零向量),则a,b共线C.若m=3a+4b,n=QUOTEa+2b,则m∥nD.若a+b+c=0,则a+b=-c【解析】选BCD.推断非零向量a与b共线的方法是:存在实数λ,使a=λb.在A选项中,若a=b=0时不成立.所以A选项错误,B选项正确;在C选项中,m=2n,所以m∥n,所以C选项正确;D选项也正确.6.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法正确的是 ()A.=+ B.=-C.=QUOTE+QUOTE D.=QUOTE+【解析】选ABC.由向量减法的三角形法则知,=-,故B正确;由向量加法的平行四边形法则知,=+,=QUOTE=QUOTE+QUOTE,故A、C正确;D选项明显不正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为________.

【解析】若能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb即得λ≠4.答案:(-∞,4)∪(4,+∞)8.如图,在平面内有三个向量,,,||=||=1,与的夹角为120°,与的夹角为30°,||=5QUOTE,设=m+n(m,n∈R),则m+n=________.【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ,则∠COQ=∠OCP=90°,在Rt△QOC中,2OQ=QC,||=5QUOTE,则||=5,||=10,所以||=10,又||=||=1,所以=10,=5,所以=+=10+5,所以m+n=10+5=15.答案:15【补偿训练】如图,在△ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作始终线MN分别交AB,AC于M,N两点,若=x,=y,试问:QUOTE+QUOTE是否为定值?【解析】设=a,=b,则=xa,=yb,=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以=-=QUOTE-xa=QUOTEa+QUOTEb,=-=yb-xa=-xa+yb.因为与共线,且a,b不共线,所以有=λ,即QUOTEa+QUOTEb=λ(-x)a+λyb.所以QUOTE整理得:QUOTEx+QUOTEy=xy,即QUOTE+QUOTE=4,所以QUOTE+QUOTE为定值.四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.【解析】设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,所以存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2,所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.又因为=+=2e1+3e2,所以QUOTE解得QUOTE所以=QUOTE,即AP∶PM=4∶1.10.(2024·上饶高一检测)在△ABC中,=QUOTE+QUOTE.(1)求△ABM与△ABC的面积之比;(2)若N为AB中点,与交于点P,且=x+y(x,y∈R),求x+y的值.【解析】(1)在△ABC中,=QUOTE+QUOTE,4=3+,3(-)=-,即3=,即点M是线段BC靠近B点的四等分点.故△ABM与△ABC的面积之比为QUOTE.(2)因为=QUOTE+QUOTE,∥,=x+y(x,y∈R),所以x=3y,因为N为AB的中点,所以=-=x+y-QUOTE=QUOTE+y,=-=x+y-=x+(y-1),因为∥,所以=λ,即QUOTE+y=λx·+λ(y-1),所以QUOTE解得:2x+y=1,又x=3y,所以x=QUOTE,y=QUOTE,所以x+y=QUOTE.1.已知=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,试推断A,B,C,D四点构成的图形.【解析】因为=++=-8a-2b,所以=2.若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ,即a+2b=-4λa-λb,所以QUOTE冲突,所以A,B,C三点不共线,故A,B,C,D四点不共线.所以∥,||=2||≠||,故A,B,C,D四点构成一个梯形.2.(2024·哈尔滨高一检测)我国古代人民早在几千年以前就已经发觉并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则= ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa+QUOTEb D.QUOTEa+QUOTEb【解析】选A.设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=QUOTEm.过点E作EH⊥AB于点H,则EH=QUOTE=QUOTEm,EH∥AD,AH=QUOTE=QUOTEm.所以AH=QUOTEAB,HE=QUOTEAD.所以=+=QUOTE+QUOTE=QUOTEa+QUOTEb.【补偿训练】在△ABC中,点P是AB上一点,且=QUOTE+QUOTE,Q