2020-2021学年天津市南开中学高一下学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages33页2020-2021学年天津市南开中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．是虚数单位，（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的除法，进行化简即可.【详解】，故选：A2．在中，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理可得，满足，故，由即可得解.【详解】由，可得，所以，可得，，所以满足，所以，所以，故选：C3．如图，已知，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的加法和数乘运算法则，取为基底，通过运算，即可得答案；【详解】，，故选：B.4．设是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】利用线线、线面的位置关系，举出反例，即可得答案；【详解】对A，有可能，故A错误；对B，可能异面，故B错误；对D，可能异面，也可能相交，故D错误；利用排除法可得C正确；故选：C.5．如图是某班50位学生期中考试数学成绩(单位：分)的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，，则分数在的人数为（）A．9 B．15 C．12 D．6【答案】A【分析】由频率分布直方图先求出成绩在内的频率，由此能求出成绩在内的频数．【详解】解：由图得，解得,由频率分布直方图得成绩在内的频率为：成绩在内的频数为：．故选A.6．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点，则异面直线EF与所成的角为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即为所求角，在中求解.【详解】连结，，因为为正方形，所以既是中点，又是的中点，所以，所以与所成的角为，而为等边三角形，所以.故选：C【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．7．在中，分别是角的对边，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理将边化成角，再将C化为A,B，展开化简即可求得.【详解】由正弦定理可得：，又∵，∴，而，∴，又，所以.故选：C.8．如图所示，在三棱锥中，且，则下列命题正确的个数是（）①平面平面②平面平面③平面平面④平面平面⑤平面平面⑥平面平面A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据题意可得该几何体中面，面，再根据平行、垂直的判定定理，即可得到答案；【详解】，，，，平面，，，，；对①，平面平面，故①正确；对②，平面，平面平面平面，故②正确；对③，为二面角的平面角，，故③错误；对④，若平面平面，可过A作于，则，平面，矛盾，故假设错误，故④错误；对⑤，为二面角的平面角，，故⑤错误；对⑥，平面，平面平面平面，故⑥正确；故选：A.9．如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】建立如图示坐标系，由则有：因为E为上一点，可设所以.因为，所以，即，解得：，所以.由得：，解得：，所以.故选：D10．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，的面积为，则（）A．. B．C． D．【答案】C【分析】首先根据正弦定理化简可得，解得，由，可得，再结合余弦定理可得，即可得解.【详解】由，根据正弦定理可得：，由三角形内角和为，所以，所以，可得，在中，，所以，所以，，由，所以，所以，，所以，由可得：，即，又，所以，满足.故选：C二、填空题11．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．【答案】60【分析】先由题中数据求出抽样比，确定每乡抽取的人数，进而可求出结果.【详解】由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样比为，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以北乡比南乡多抽人.故答案为【点睛】本题主要考查分层抽样，只需依题意确定抽样比即可求解，属于基础题型.12．设向量且，则___________.【答案】【分析】由可得到，解得，由可解得，计算即可得解.【详解】由可得到，解得，，由可得，解得，，所以.故答案为：.13．为做好､“新冠肺炎”，疫情防接工作；天津市各学校坚持落实“双测温报告”，制度，以下是南开中学高二5班第二的8名同学某日上午的体温记录：36.1，36.1，35.7，36.8，36.5，36.6，36.3，36.4(单位)，则该组数据的第80百分位数为___________.【答案】36.6.【分析】将数据从小到大依次排序共有8个数据，利用，即可得答案；【详解】，将数据从小到大依次排序35.7，36.1，36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.8，该组数据的第80百分位数为36.6.故答案为：36.6.14．为迎接2022年北京冬奥会，某工广生产了一批滑雪板，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测，已知抽到不是三等品的概率为0.97，抽到一等品或三等品的概率为0.88，则抽到一等品的概率为___________.【答案】0.85【分析】由互斥事件的概率加法公式进行求解即可．【详解】解：设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，，，则，解得，所以抽到一等品的概率为0.85．故答案为：0.85．15．如图为一个盛满水的圆锥形玻璃杯，现将一个球状物体放入其中，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出水的体积为___________.【答案】【分析】由已知求出球的半径，再由球的体积公式得答案．【详解】解：作出圆锥的轴截面如图所示，球心为截面三角形的中心，截面为正三角形，且边长为2，则球的半径为．溢出溶液的体积等于球的体积为．故答案为：．16．在迎接夏天的日子里，我校学生自发组织了热烈的篮球比赛.如图，是篮球场地的部分示意图.在高为4的等腰梯形中，点是以为直径的半圆的中点，点是半径为6的半圆上的一个四等分点，点为半圆上任一点，且点在点左侧，已知.设点为线段上任一点，则的最小值为___________.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，设点的坐标，再转化成函数问题，求最值即可.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得：，则，所以，整理得：①，两边平方得：②，又，则，联立①②，解得:,所以，所以，当时，此时有最小值，.故答案为：.三、解答题17．如图，在边长为1的正六边形中，是其中心，.设，.（1）用分别表示及；（2）求；（3）求与夹角的余弦值.【答案】（1），；（2）；（3）【分析】(1)根据向量的加法原则即可求解.(2)根据第（1）问，先平方再在开根号即可;(3)根据数量积的公式即可求解.【详解】解：(1)根据正六边形的特征，可得，.(2).(3),所以.18．在中，内角所对的边分别为，且（1）求；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用诱导公式及二倍角公式计算可得；（2）利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而得到，，再根据三角形面积求出，即可得到、，从而得到三角形周长；【详解】解：（1）因为所以所以所以所以所以，因为，所以（2）因为，由正弦定理可得，即，又由余弦定理可得，即，即，所以，所以，所以，解得，所以，即，所以，所以，所以，所以19．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑，我校南苍穹同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加期末检测的你们编就了这道题目，如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆与圆柱底面相切于四点，且圆与与与与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且.已知圆柱，底面半径为.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；（3）求二面角的余弦值；（4）如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）具体见解析；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）先证明AM∥ON，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，设出AE的长度，利用线面垂直求出长度即可；（3）建立空间直角坐标系，求出内切圆的半径，得出各点的坐标，用法向量夹角公式即可解得；（4）将矩形PQRS视作静止，则作顺时针旋转，写出坐标，用空间向量线面角公式求出夹角的正弦值.【详解】（1）如图1，分别是点M、N在线段AC上的投影，则为AO的中点，为OC的三等分点.所以，，所以,所以AM∥ON，如图2，又因为平面BDN，ON平面BDN，所以AM∥平面BDN.（2）以O为原点，分别以所在方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则,设，所以,,若OE⊥平面BDN，则，即时，OE⊥平面BDN.（3）设内切圆半径为r，由题意可知是等腰直角三角形，所以，因为，，，，所以，，设平面的法向量为，则，令x=1，则，同理可得平面的法向量，所以，由图可知二面角为锐角，则其