数学自主训练：函数y=Asin（ωx+φ）的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1,已知函数y=f（x)，将f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位,这样得到的是y=sinx的图象，那么函数y=f（x）的解析式是(）A。f（x）=sin（）B.f（x）=sin（2x+）C。f(x）=sin(+)D。f(x）=sin（2x）思路解析:对函数y=sinx的图象作相反的变换，利用逆向思维寻求应有的结论。把y=sinx的图象沿x轴向右平移个单位,得到解析式y=sin（x）的图象，再使它的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的倍，就得到解析式y=sin（2x）的图象。答案:D2。图1-5-3是周期为2π的三角函数y=f(x）的图象，那么f（x）可以写成()图1—5-3A。sin(1+x)B.sin（-1-x）C.sin（x—1）D.sin（1-x)思路解析：由图可以看出f(1)=0,f（0）＞0，从给出的四个选项中，同时满足这两个条件的函数不是sin(1+x），因为sin(1+1）≠0；也不是sin(—1-x）,因为sin（—1-1)≠0;也不是sin（x-1)，因为sin（0-1）=sin(-1)=-sin1≠0。而sin(1—x）同时满足sin（1-1)=sin0=0和sin（1-0）=sin1＞0。答案：D3。(2004辽宁高考卷，11)若f(x）=sin（ωx+φ）（部分）如图1-5—4所示,则ω和φ的取值是（）图1-5-4A.ω=1，φ=B.ω=1，φ=-C.ω=,φ=D.ω=,φ=—思路解析：=—（—）=π，∴T=4π,A=1。又T=，∴ω=。∴y=sin(x+φ）.∵图象过（-，0)，∴sin（-+φ）=0。∴-+φ=kπ.由图知k=0,∴φ=。答案：C4.知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(,0），则φ可以是（）A。—B。C.D.思路解析:将点（，0）代入y=tan(2x+φ)，得tan(+φ)=0。∴φ可以是—。答案:A5。(2005天津高考卷，文7）函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，｜φ|＜，x∈R)的部分图象如图1—5-5所示，则函数表达式是(）图1—5-5A.y=-4sin（x+）B.y=4sin(x—)C。y=—4sin（x—)D。y=4sin(x+）思路解析：特殊点法.把(—2，0）、（2,-4）分别代入A、B、C、D的函数表达式检验可知。答案：A6.如图1—5-6,已知正弦函数y=Asin（ωx+φ)(A＞0)的一个周期的图象，则函数y的解析式为________________.图1-5-6思路解析:由图可知，当x=-时，y=0；当x=时，y=A；当x=0时,y=-。∴解得答案：y=2sin（）我综合我发展7。单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm）和时间t(s）的函数关系为s=6sin(2πt+)。请完成（1）—(4）题。（1)作出它的图象；（2）单摆开始摆动（t=0)时，离开平衡位置多少厘米？（3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(4）单摆来回摆动一次需要多少时间?思路分析：本题是与物理相关的题目，要正确理解三角函数f(x)=sin（ωx+φ)的物理意义.解：（1)找出曲线上的五个特殊点,列表如下：t2πt+s………006Π0—62π0………用光滑的曲线连接这些点,得函数s=6cos（2πt+)的图象（如下图所示）：（2)当t=0时,s=6sin=3（cm），即单摆开始摆动时,离开平衡位置3cm。（3）s=6sin(2πt+)的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(4）s=6sin（2πt+）周期T==1，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s。8.（2006广东高考卷,15）已知函数f（x)=sinx+sin(x+），x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;（2)求f（x)的最大值和最小值.思路分析：三角函数的性质和三角变换的知识是高考常考的考点，应力争使这类问题全面过关。解:f（x)=sinx+sin（x+)=sinx+cosx=sin(x+).（1）f（x）的最小正周期为T==2π;（2)f(x）的最大值为，最小值为。9.（2005全国高考卷Ⅰ，理17）设函数f(x）=sin(2x＋φ）（—π＜φ＜０)，y=f（x）图象的一条对称轴是x=.(1)求φ;（2)求函数y=f（x）的单调增区间；(3)画出函数y=f（x）在区间［0,π］上的图象。思路分析：先把2x—视作一个整体,当0≤x≤π时,-≤2x-≤.列表时先给2x-取值，应取区间的两个端点值，及区间内的关键点的值，即—、、0、、π、，再求出相应的x的值,最后依据2x-的值求出y.这样才能一次性做出y=f（x）在区间[0，π]上的图象。解：(1）∵x=是函数y=f（x)的图象的对称轴，∴sin(2×+φ)=±1.∴+φ=kπ+，k∈Z.∵-π＜φ＜０,∴φ=—.(2）由(1)知