数学自主训练：空间中的平行关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.下列命题中正确命题的个数为(）①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行②如果一条直线与一平面相交,那么这条直线与平面内的无数条直线垂直③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行④一条直线上有两点到一个平面的距离相等,则这条直线平行于这个平面A。0B。1C。2思路解析:对于①，直线与平面平行,只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线其位置关系除了平行之外，还有异面，如图.正方体ABCD-A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCD,A1B1与BC的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A1B1对于③，如图，图1—2—2—3∵A1B1∥AB，A1D1∥AD且AD、AB平面ABCD,A1D1、A1B1平面ABCD，∴A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条，可以想象，经过面A1B1C1D1内一点A1因此,命题③也是错误的.对于④，我们可以继续借助正方体ABCD—A1B1C1D1来举反例,如图，取AD、BC的中点分别为E、F,A1D1、B1C图1—2—2—4∵E、F、G、H分别为AD、BC、A1D1、B1C1∴可以证明EFHG为平行四边形,且该截面恰好把正方体一分为二，A、D两个点到该截面的距离相等，但AD∩平面EFHG=E,因此命题④也是错误的.对于②,把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交.可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直。∴正确命题的个数只有一个。答案：B2。平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上,且.求证：EF∥β.思路分析:构造过EF的平面平行于β，利用面面平行的性质，因题设中四点A、B、D、C没有说明是否共面，所以需要分类讨论,以免解答不完整。图1—2-2—5证明:（1）当AB、CD异面时,过A作AH∥CD交β于H,则四边形AHCD为平行四边形，在平面AHDC内作FG∥AC交AH于G,连结EG，则，又，∴.∴EG∥β.又EGβ,BHβ,∴EG∥β.又FG∥AC∥HD，FGβ,DHβ,∴FG∥β。又EG∩FG=G.∴平面EFG∥平面β。又EF平面EFG，∴EF∥β。（2）当AB、CD共面时,∵α∥β,∴AC∥BD。∴四边形ABCD为平行四边形或梯形。由于，得到EF∥BD，BDβ，EFβ,∴EF∥β。3。如图1—2—2-6，a∥α，A是α另一侧的点,B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG。图1-2-2-6思路分析：首先根据平行证明三角形相似,再利用相似比求值。解：Aa，∴A、a确定一个平面，设为b.∵B∈a,∴B∈b,又A∈b，∴ABb。同理，ACb，ADb。∵点A与直线a在α的异侧，∴b与α相交。∴面ABD与面α相交，交线为EG。∵BD∥α,BD面BAD，面BAD∩α=EG.∴BD∥EG。∴△AEG∽△ABD.∴(相似三角形对应线段成比例)。∴EG=。4.证明若一条直线与一个平面平行，则经过此平面内的一点与这条直线平行的直线在这个平面内.已知:如图1-2-2-7，a∥α,A∈α，A∈b，a∥b.求证:bα。图1—2-2-7图1—2-2—8思路分析：由直线和平面平行，可以得出此直线和平面内无数条直线平行,但并不是和平面内所有直线都平行。利用性质定理,要作辅助平面寻求α内与a平行的直线.过α内一点作某直线与a平行的说法是不妥当的。证明:如图1-2—2—8，假设bα，∵A∈α，A∈b,∴b和α相交。∵a∥α,A∈α，∴Aa,过直线a与直线外一点A确定平面β,α∩β=b′,则a∥b′。∵a∥b，∴b′∥b与b∩b′=A矛盾。∴bα。我综合我发展5.如图1-2—2-9，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.图1—2—2—9（1）求证：AB∥平面EFGH;CD∥平面EFGH；（2)若AB=4，CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围。思路分析：(1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明，判定与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去，我们可称为平行链，即:线线平行线面平行线线平行；（2)利用相似性质来求边长。（1）证明：∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG平面ABD,∴EF∥平面ABD.∵EF平面ABC.平面ABD∩平面ABC=AB，∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH。同理,∵CD∥EH,∴CD∥平面EFGH。（2）解:设EF=x(0<x<4），由于四边形EFGH为平行四边形,∴.故.从而FG=6—x.于是四边形EFGH的周长为l=2（x+6—x)=12—x。又0<x〈4,知8<l<12,故答案为(8，12）。6。若α∥β，β∥γ，则α∥γ.思路分析：可以利用两个平面平行的性质定理和判定定理进行证明.证明：在平面α内取两条相交直线a、b,分别过a、b作平面φ、δ，使它们分别与平面β交于两相交直线α′、b′.∵α∥β，∴a∥a′，b∥b′.又∵β∥γ，同理在平面γ内存在两相交直线a″、b″,使得a′∥a″，b′∥b″.∴a∥a″，b∥b″。∴α∥γ.7.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，点E在PD上,且PE∶ED=2∶1.试在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论。图1-2-2-10思路分析：探索性问题是以考查创新意识、创新精神为目标的一种题型，这类问题常以新颖的形式出现，解题入口宽，而且往往有比较隐蔽的条件，解这类题目必须通过分析判断、演绎推理、联想转化、尝试探索等多种思维形式去寻求