高教版中职数学（基础模块）下册7平面向量的内积

成都市技师学院

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7.3平面向

课程名称数学课题名称量的内积课时2

授课日期任课教师谢春霞

目标群体14级五高汽车工程系2,3,4班教学环境理论课堂

知识目标：

(1)了解平面向量内积的概念及其几何意义.

(2)了解平面向量内积的计算公式.利用向量的内积研究有关问题奠定基础.

职业通用能力目标：

培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法.

学习目标

制造业通用能力目标：

通过把实际问题向数学问题的转化,渗透数学建模的思想,提高学生用数学的

意识,及学习数学的爱好.

平面向量数量积的概念及计算公式.

学习重点

数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角.

学习难点

教法：讲授为主，学生自主预习为辅。

学法：直观学习法、练习、讨论

课件，教材

教学媒体

教师：准备课件、学生练习的资料

教学.

学习准备学生：教材、练习册

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教学教师学生

教学内容时间

环节活动活动

情景创设情境兴趣导入提问思考

引入

分析分析

讲解

理解

强调

掌握10

图7—21

如图7—21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力,

朝着与水平线成30。角的方向拉小车，使小车前进了100m.那么，

这个人做了多少功？

【新知识】

新知

我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘

探索

积.如图7—22所示，设水平方向的单位向量为i,垂直方向的单

位向量为j，则

F=xi+yj=|F|sin30-i+|F|cos30-j,

即力厂是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生讲解

强调

位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s,即

思考

F1cos30°-1s1=100X10=500V3(J)

w=|分析

2

板书理解

10

------司丁)

/3掌握

/；

/I

/•分析

'/i

/

讲解

Oix

图7—22

这里，力产与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于

由两个向量尸，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量尸

与向量s的内积，它是一个数

量，又叫做数量积./A

如图7—23,设有两个非/

oZl________b_____.B

零向量a,b,作。4=a,OB

图7—23

=上由射线OA与。8所形成

的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a力〉.

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量

b的内积，记作a•b,即

a•b=1a仙|cos〈a力〉(7.10)

上面的问题中，人所做的功可以记作W=F・s.10

由内积的定义可知a•0=0,0•a=0.思考

由内积的定义可以得到下面几个重要结果：板书分析

1当.<。力>=0时，a•b=\a\\b\；当<a,b>=180时，a•b=-\a\\b\.理解

分析

c,ab

2.cos<a,p>=--------.掌握

\a\\b\

讲解

力=〃时，有<a,a>=0,所以a•a=|a||a|=|aF，即⑷=a.

<a,b>=90时，aA.b9因此，a•b=|a|-|Z>|cos90=0,因此对非零

向量a,b,有a•力=0Oa_L儿

可以验证，向量的内积满足下面的运算律：

(1)a•b=b•a.思考10

(2)(Aa)•b=A(a•b)=a•(Ab).分析

(3)(a+b)•c=a,c+b•c.理解

例题例1己知|a|=3M=2,<a,b>=60°,求a•h.板书

掌握

解a•b=\a\\b\cos<a,b>=3X2Xcos60°=3.

分析

例2已知|a|=|〃|=V2,a•b=一^^,求<。力>.

讲解

Ag,a-b—V2A/2

解cos<a,b>=-----=—j=~；==-----.

\a\\b\V2-V22

由于0WS>W180P,

所以<a,b>—135.

巡视练习10

练习*运用知识强化练习

设平面向量a=(xi,yi)力=(*2,竺)，i，j分别为x轴，y轴上的单

新知识

位向量，由于i_Lj,故=0,又|i|=l/l=l，所以板书

思考

a•Z>=(JCIi+yif)•(x2i+y2f)

分析

=xixii•/+xiy2i>7+xiy\i,j+yi”J'j分析

22理解

=xix21/|+y\yi[/I

讲解

=x\x+y\yi.

2掌握

这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即

a•b=x\M+y\yi(7.11)

利用公式(7.11)可以计算向量的模.设a=(x,y),则

\a\=={x2+y2，即|a|=Jx2+y2

由平面向量内积的定义可以得到，当。、)是非零向量时，

10

-ab_用—+2为

cos<ab>.(7.13)

"QI也广+才&2+为2

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.

板书

由于a_L〃Oa=0,由公式(7.11河知

a,/>=0ox\X2+y\y2=0.

分析

因此a_LbOx\X2+yiJ2—0.(7.14)思考10

例3求下列向量的内积：讲解分析

例题

(1)a=(2,-3),5=(1,3)；理解

(2)a=(2,-1),/>=(1,2)；

掌握

(3)a=(4,2),b=(-2,-3).

解(1)。•力=2Xl+(-3)X3=-7；

(2)a•Z>=2Xl+(-l)X2=0；

(3)a•ft=2X(-2)+2X(-3)=-14.

例4已知a=(T,2),Z>=(-3,l).求a,b,|a|,|Z>|,<a,b>.

解a•*=(-1)(-3)+2Xl=5；板书

思考

|a|=y/a^a-J(-l)2+22=；

分析

分析

|fe|=VT*=7(-3)2+12=Vio；

理解

讲解

_ah_5V2

COS<Q,Lb>.-,——,掌握

\a\\b\M亚2

所以<a,b>=45.

例5判断下列各组向量是否互相垂直：

(1)。=(-2,3),)=(6,4)；

(2)a=(0,-l),〃=(1,-2).

解(1)因为a•。=(-2)义6+3*4=0,所以aJ_b.

(2)因为a•6=0Xl+(-l)X(-2)=2,所以a与b不垂直.10

巡视练习

*运用知识强化练习

练习

*归纳小结强化思想

小结