中考数学试卷图形的相似与位似（含解析）

图形的相似与位似

一、选择题

1..（2018•枣庄・3分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,AF平分/CAB,交

CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为（）

A.3B.AC.gD.反

2335

【分析】根据三角形的内角和定理得出NCAF+/CFA=90°,NFAD+NAED=90°,根据角平分线和对顶角相

等得出NCEF=NCFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.

【解答】解：过点F作FG_LAB于点G,

VZACB=90°,CD±AB,

.*.ZCDA=90°,

AZCAF+ZCFA=90°,ZFAD+ZAED=90°,

：AF平分/CAB,

ZCAF=ZFAD,

.,.ZCFA=ZAED=ZCEF,

.*.CE=CF,

；AF平分/CAB,NACF=/AGF=90°,

.♦.FC=FG,

VZB=ZB,ZFGB=ZACB=90°,

.,.△BFG^ABAC,

•BF_FG

••--------，

ABAC

VAC=3,AB=5,ZACB=90°,

ABC=4,

•---4---F-C_——FG,

53

VFC=FG,

•.•4-FC一_FC,

53

解得：FC=g

~2

即CE的长2

2

为.故选：A.

【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的

判定与性质等知识，关键是推出/CEF=/CFE.

2.(2018•滨州・3分)在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2),若以

原点0为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的工后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标

2

为()

A.(5,1)B.(4,3)C.(3,4)D.(1,5)

【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标.

【解答】解：•・•以原点0为位似中心，在第一象限内将线段AB1后得到线段CD,

2

...端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，

又,：卜(6,8),

•••端点C的坐标为(3,

4).故选：C.

【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键.

3(2018•江苏扬州・3分)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰RtaABC和等腰RtZ\ADE,CD与

BE>AE分别交于点P,M.对于下列结论：

①△BAEs/\CAD；②MP・MD=MA・ME；③2CB?=CP・CM.其中正确的是()

【分析】(1)由等腰RtZ\ABC和等腰Rt^ADE三边份数关系可证;

(2)通过等积式倒推可知，证明△PAMsaEMD即可；

（3）2cB2转化为AC2,证明△ACPs/XMCA,问题可证.

【解答】解：由已知：AC=&AB,AD=V2AE

•••一ACiAD—

AB-AE

ZBAC=ZEAD

ZBAE=ZCAD

二△BAEs/XCAD

所以①正确

VABAE^ACAD

，ZBEA=ZCDA

ZPME=ZAMD

/.△PME^AAMD

•MPME

.*.MP«MD=MA«ME

所以②正确

ZBEA=ZCDA

ZPME=ZAMD

，P、E、1）、A四点共圆

/.ZAPD=ZEAD=90°

VZCAE=1800-ZBAC-NEAD=90°

ACAP^ACMA

.,.AC=CP<M

VAC=A/2AB

/.2CB2=CP«CM

所以③正确

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断.在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相

似三角形进行证明，进而得到答案.

4（2018•临沂•3分）如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得

AB=1.6m.BC=12.4m.则建筑物CD的高是（）

D

□

□

□

.4Rr

A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m

【分析】先证明.•.△ABESZ\ACD,则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出CD

1.6+12.4CD

即可.

【解答】解：・・・EB〃CD,

AAABE^AACD,

.AB_BEmiL6_1.2

"AC-CD'1.6+12.4-"CD''

.,.CD=10.5

(米).故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直尺测量物体的高度

就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对

应边的比相等的性质求物体的高度.

5(2018•潍坊•3分)在平面直角坐标系中，点P(m,n)是线段AB上一点，以原点0为位似中心把

△A0B放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为()

A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)

C.(—m,—n)L,—n)或(-L,-—n)

222222

【分析】根据位似变换的性质计算即可.

【解答】解：点P(m,n)是线段AB上一点，以原点0为位似中心把aAOB放大到原来的两倍，

则点P的对应点的坐标为(mX2,nX2)或(mX(-2),nX(-2)),即(2m,2n)或(-2m,-2n),

故选:B.

【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位

似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

6.(2018•湖南省永州市・4分)如图，在4ABC中，点D是边AB上的一点，ZADC=ZACB,AD=2,BD=6,

则边AC的长为()

A.2B.4C.6D.8

【分析】只要证明△ADCS/SACB,可得3£=坦，EPAC=AD«AB,由此即可解决问题；

ABAC

【解答】解：VZA=ZA,ZADC=ZACB,

.,.△ADC^AACB,

•AC=AD

"ABAC,

.,.AC2=AD»AB=2X8=16,

VAOO,

.,.AC=4,

故选：B.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考

题型.

7（2018•四川宜宾•3分）如图，将4ABC沿BC边上的中线AD平移到AA'B'C的位置，已知aABC

的面积为9,阴影部分三角形的面积为4.若AA'=1,则A'D等于（）

B'

A.2B.32D.

32

【考点】Q2：平移的性质.

【分析】由SAABC=9>SA#卜产4且AD为BC边的中线知—SAA1所=2,SAABD=-^-SAABC=—>根据ADA'Esa

222

DABAU.）2=Sqy匹,据此求解可得.

加S△皿D

【解答】解：如图，

VSA*BC=9>SAA-EF=4,且AD为BC边的中线,

SAA'DE=_LSAA，即=2,SAABD=11_S&ABC^.,

222

•.•将AABC沿BC边上的中线AD平移得到4A'B'C',

:.A'E〃AB,

.♦.△DA'E^ADAB,

则（或必2_S—，DEA，D）2=_2.；

'ADSAABDA'D+l1

2

解得A'D=2或A'D=-2（舍），

5

故选：A.

【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形

的判定与性质等知识点.

8（2018•四川自贡•4分）如图，在AABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若AADE的面积为4,则4

ABC的面积为（）

【分析】直接利用三角形中位线定理得出工BC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.

2

【解答】解：•••在AABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，

，DE〃BC,DE=LBC,

2

/.△ADE^AABC,

.・.-D-E-_--1，

BC2

.SAADE1

••------—,

^AABC4

VAADE的面积为4,

.,.△ABC的面积为：16,

故选:D.

【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADEs^ABC是解题关

键.

9（2018•台湾•分）小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6,小柔榨完

果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4,已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外

两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（）

A.只使用苹果

B.只使用芭乐

C.使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多

D.使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多

【分析】根据三种水果的颗数的关系，设出三种水果的颗数，再根据榨果汁后的颗数的关系，求出榨果汁

后，苹果和芭乐的颗数，进而求出苹果，芭乐的用量，即可得出结论.

【解答】解：\•苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6,

；•设苹果为9x颗，芭乐7x颗，钏钉6x颗（x是正整数），

•••小柔榨果汁时没有使用柳丁，

♦,•设小柔榨完果汁后，单果a颗，芭乐b颗，

•••小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4,

-_a___b__

••菽W菽二’

/.a=9x,b=—x,

2

苹果的用量为9x-a=9x-9x=0,

芭乐的用量为2x="x>0,

22

她榨果汁时，只用了芭乐，

故选：B.

【点评】此题是推理与论证题目，主要考查了根据比例的关系，比例的性质，求出榨汁后苹果和芭乐的数

量是解本题的关键.

10（2018•台湾•分）如图，△ABC、AFGH中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在

BC上，且DE〃BC,FG〃AB,FH〃AC,若BG：GH：HC=4：6：5,则aADE与AFGH的面积比为何？（）

A.2：1B.3：2C.5：2D.9：4

【分析】只要证明△ADES/SFGH,可得也迦=（DE）2,由此即可解决问题;

2AFGHGH

【解答】解：VBG：GII：HC=4：6：5,可以假设BG=4k,GH=6k,HC=5k,

VDEZ/BC,FG//AB,FH〃AC,

四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，

ADF=BG=4k,EF=HC=5k,DE=DF+EF=9k,ZFGH=ZB=ZADE,ZFI1G=ZC=ZAED,

AAADE^AFGH,

S

.AADEDE>2=（9k）2=_9故

S/kFGHGH6k4

选：D.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参

数解决问题，属于中考常考题型.

11.（2018•湖北荆门・3分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE

交于点G,则SaEFG：SAABG=（）

A.1：3B.3：1C.1：9D.9：1

【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题;

【解答】解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

；・CD=AB,CD//AB,

VDE=EF=FC,

AEF：AB=1：3,

/.△EFG^ABAG,

.SAEFG（至）2=

^ABAG皿

1,故选：C.

9

【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，属于中考常考题型.

12.（2018•湖北恩施・3分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长

线于E点，对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为（）

AB〃CD,进而可得出△ABFSAGDF,根据相似三角形的性质可得出

AF=AB=2,结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG〃AB、AB=2CG可得出CG为AEAB的中位线，再利

GFGD

用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解.

【解答】解：；四边形ABCD为正方形，

，AB=CD,AB〃CD,

/.ZABF=ZGDF,/BAF=NDGF,

.•.△ABFS/XGDF,

.AF_AB_9

GFGD

AAF=2GF=4,

・・・AG=6.

VCG//AB,AB=2CG,

・・・CG为4EAB的中位线,

AAE=2AG=12.

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性

质求出AF的长度是解题的关键.

13.（2018•浙江临安•3分）如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与4ABC

相似的是（)

B

AC

【考点】相似三角形的判定，

【分析】根据正方形的性质求出/ACB,根据相似三角形的判定定理判断即可.

【解答】解：由正方形的性质可知，ZACB=180°-45°=135°,

A、C、D图形中的钝角都不等于135°,

由勾股定理得，BC=V2-AC=2,

对应的图形B中的边长分别为1如,

..1_V2

•孤丁’

...图B中的三角形（阴影部分）与AABC相似，

故选：B.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是

解题的关键.

14（2018•浙江临安•3分）如图，在AABC中，DE〃BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,

DB=2,则DE：BC的值为（）

A.ZB.kC.芭D.3

3245

【考点】相似三角形的判定和相似三角形的性质

【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三

角形的对应边成比例解则可.

【解答】解：：DE〃BC,

AAADE^AABC,

DE_AD=AD=4=2.

BC^ABAD+DBW飞

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错.

15（2018•重庆（A）-4分）要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5CM,6cm

和9。加，另一个三角形的最短边长为2.5c〃z,则它的最长边为

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

【考点】相似三角形的性质

【解析】利用相似三角形三边对应成比例解出即可。

【解答】解：设所求最长边为xcm1•两三角形相似，.•.至=：.=x=4.5故选C

59

【点评】此题主要考查相似三角形的性质一一相似三角形的三边对应成比例，该题属于中考当中的基

础题。

16（2018•广东•3分）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则与AABC的面积之比为（）

A.2B.2C.工D.工

2346

【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为AABC的中位线，进而可得出DE〃BC及aADEs

△ABC,再利用相似三角形的性质即可求出aADE与AABC的面积之比.

【解答】解：•••点D、E分别为边AB、AC的中点，

...DE为4ABC的中位线，

.\DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

.SAADE_（DE）2_

S/kABCBC

—.故选：C.

4

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE〃

BC是解题的关键.

17.（2018年四川省内江市）已知△ABC与△ABG相似，且相似比为1：3,则AABC与△ABC的面积比为

()

A.1：1B.1：3C.1：6D.1：9

【考点】S7：相似三角形的性质.

【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可.

【解答】解：已知aABC与△ABG相似，且相似比为1：3,

则AABC与△ABG的面积比为1：9,

故选：D.

【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键.

二.填空题

1（2018年四川省南充市）如图，在4叔中，DE〃BC,BF平分/ABC,交DE的延长线于点F.若AD=1,BD=2,

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质.

【分析】由DE〃BC可得出△ADEsaABC,根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可.

【解答】解：；DE〃BC,

：.ZF=ZFBC,

；BF平分NABC,

.♦.NDBF=/FBC,

.♦.NF=NDBF,

，DB=DF,

•；DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

4

...仙=DEEp解得：DE=g,

AD+DBBC1+24

VDF=DB=2,

499

；.EF=DF-DE=2-£4，故答案为：《

333

【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE〃BC可得出△ADEsaABC.

2（2018四川省绵阳市）如图，在aABC中，AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于点0,则

AB=.

【考点】勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：连接DE,

VAD.BE为三角形中线,

1

；.DE〃AB,DE=2AB,

/.△DOE^-AAOB,

DOOEDE1

OA=OB=AB=2,

设0D=x,OE=y,

/.0A=2x,0B=2y,

在RtABOD中，

x2+4y2=4①，

在RtAAOE中，

9

4x2+y2=4②，

.•.①+②得：

25

5x2+5y2=4,

5

：.x2+y2=4,在

RtAAOB中，

5

.*.AB2=4x2+4y=4(x2+y2)=4X4,

即AB=V）.

故答案为：S

1

【分析】连接DE,根据三角形中位线性质得DE〃AB,DE=2AB,从而得△DOEsaAOB,根据相似三角形的

DOOEDE1

性质可得=OB-AB=2；设OD=x,OE=y,从而可知OA=2x,OB=2y,根据勾股定理可得x2+4y2=4,

9.51-

4x2+y2=4,两式相加可得x?+y2=4,在Rtz^AOB中，由股股定理可得AB=V5.

3（2018•广东广州•3分）如图9,CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点0,CE与DA的

延长线交于点E,连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:

①四边形ACBE是菱形；②/ACD=/BAE

@AF：BE=2：3④S弥：S^cOD=2'3

其中正确的结论有。（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②④

【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三

角形的判定与性质

【解析］【解答】解：①TCE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，...AOBO,NA0E=NB0C=90°,BC〃

AE,AE=BE,CA=CB,

ZOAE=ZOBC,

/.△AOE^ABOC（ASA）,

AAE=BC,

.,.AE=BE=CA=CB,

二四边形ACBE是菱形，

故①正确.

②由①四边形ACBE是菱形，

AAB平分/CAE,

，ZCAO=ZBAE,

又；四边形ABCD是平行四边形，

，BA〃CD,

，ZCAO=ZACD,

ZACD=ZBAE.

故②正确.

③：CE垂直平分线AB,

...0为AB中点，

又•:四边形ABCD是平行四边形，

ABA//CD,A0=)AB=JCD,

.,.△AFO^ACFD,

.JEAOi

,,CF~CD~2,

.,.AF:AC=1:3,

VAC=BE,

，AF:BE=1:3,

故③错误.

@VSJC0D=4-CD-0C,

由③知AF:AC=1:3,

?SMOC=3x2XXOxOC=gx2x2CDxoc=石S」COD，

■:Sjj0E=4'AO'OE=5x-yCD•0C=

,,S.4f0E=S±4OF+Sjj0£=,S」COD+*S」COD=%S」COD=1S」COD,

•*-S.4FOESACOD=~-

故④正确.

故答案为：①②④.

【分析】①根据平行四边形和垂直平分线的性质得AO=BO,ZA0E=ZB0C=90°.BC^AE,AE=BE,CA=CB,根据

ASA得△AOEg^BOC,由全等三角形性质得AE=CB,根据四边相等的四边形是菱形得出①正确.

②由菱形性质得/CAO=NBAE,根据平行四边形的性质得BA〃CD,再由平行线的性质得NCAO/ACD,等量

代换得NACD=NBAE；故②正确.

③根据平行四边形和垂直平分线的性质得BA〃CD,A0=)AB=1CD,从而得△AFOSACFD,由相似三角形

性质得从而得出AF:AC=1:3,即AF:BE=1:3,故③错误.

④由三角形面积公式得SJQQJ)=g,CD,OC,从③知AF:AC=1:3,所以S肝=SJJQF+S_UOE=

得S」cOI)+4S」C0D='S」C0D=1S」c0D从而得出S"0E-SACOD=2.3故④正确.

4(2018•广东深圳•3分)在RtAABC中/C=90°,AD平分/CAB,BE平分/CBA,AD、BE相交于点F,且

AF=4,EF=V2,则AC=.CDB

8阿

【答案】~T-

【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：作EGJ_AF,连接CF,

VZC=90°,

.,.ZCAB+ZCBA=90°,

又；AD平分NCAB,BE平分/CBA,

，/FAB+/FBA=45°,/.ZAFE=45°,

在RtAEGF中,

；EF=V2,ZAFE=45",

.♦.EG=FG=1,

又..9=4,

AAG=3,

AAE=M,

VAD平分/CAB,BE平分/CBA,

.\CF平分NACB,

，NACF=45°,

VZAFE=ZACF=45°,ZFAE=ZCAF,

AAAEF^AAFC,

AF_AE

：.AC~AF,

J__叵

即AC~~,

8场

.♦.AO5.

故答案为：-5~.

【分析】作EG1AF,连接CF,根据三角形内角和和角平分线定义得/FAB+/FBA=45°,再由三角形外角

性质得NAFE=45°,在RtZ\EGF中，根据勾股定理得EG=FG=1,结合已知条件得AG=3,在Rt^AEG中，根

据勾股定理得AE=M；由己知得F是三角形角平分线的交点，所以CF平分/ACB,/ACF=45°,根据相似

三角

4V10

形的判定和性质得1C,从而求出AC的长.

5（2018•四川宜宾•3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点，将沿

CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）

①当E为线段AB中点时，AF〃CE；

②当E为线段AB1；

5

132

③当A、F、C-VT3.

3

④当A、F、C三点共线时，△CEFgZXAEF.

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质.

【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；

【解答】解：如图1中，当AE=EB时，

D

M

E

图1

VAE=EB=EF,

.,.ZEAF=ZEFA,

VZCEF=ZCEB,ZBEF=ZEAF+ZEFA,

，ZBEC=ZEAF,

；.AF〃EC,故①正确,

作EM_LAF,则AM=FM,

2

在RtZ\ECB中，EC=J2+(-|-)

VZAME=ZB=90°,ZEAM=ZCEB,

.♦.△CEBs/XEAM,

E-C

EB

A5E

A3M-

-=2

2-=-

c

AM

2

.•.AM=2

10

；.AF=2AM得,故②正确,

设AE=x.

则V13-2,在RtAAEF中，

,.,AE2=AF2+EF2,

x2=(V13-2)2+(3-x)2,

3

.•.AE=13~2V13,故③正确，

3

如果，△CEFgaAEF,则NEAF=NECF=NECB=30°,显然不符合题意，故④错误，

故答案为①②③.

【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

6（2018•泰安•3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：

“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”

用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城,

东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到

位于

A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为刎0步.

3

三A

c

【分析】证明△CDKS/XDAH,利用相似三角形的性质得巫=独，然后利用比例性质可求出CK的长.

10015

【解答】解：DH=1OO,DK=100,AH=15,

VAH/7DK,

/.ZCDK=ZA,而

ZCKD=ZAHD,

AACDK^ADAH,

.CK_DKBnCK_100

DHAH10015

.CK=2000_

"3

答：KC型地步.故答

3

案为2000•

3

G

【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的

比相等的性质求物体的高度.

7.（2018•滨州・5分）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上，若旄，/

EAF=45°,则AF的长为夫国.

3

BEC

【分析】取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,则NF=J^x,再利用矩形的性质和已

知条件证明△AMEs^FNA,利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF

中利用勾股定理即可求出AF的长.

【解答】解：取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,

•••四边形ABCI）是矩形，

.,.ZD=ZBAD=ZB=90°,AD=BC=4,

；.NF=MX,AN=4-x,

VAB=2,

；.AM=BM=1,

：AE=&,AB=2,

；.BE=1,

.,.ME=^BH2+BE2=A/2>

VZEAF=45°,

AZMAE+ZNAF=45°,

VZMAE+ZAEM=45°,

二ZMEA=ZNAF,

AAAME^AFNA,

FN-AN

V2x4-x

解得：x=l,

3

AAF=VAD2+DF24^-

故答案为：生叵.

3

【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相

似三角形是解题的关键,

8（2018•荷泽・3分）如图，AOAB与△OCD是以点0为位似中心的位似图形，相似比为3：4,ZOCD=90°,

ZA0B=60°,若点B的坐标是（6,0）,则点C的坐标是（2,2、/^）.

【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质.

【分析】根据题意得出D点坐标，再解直角三角形进而得出答案.

【解答】解：分另IJ过A作AEJ_OB,CFXOB,

VZ0CD=90°,ZA0B=60°,

.,.ZAB0=ZCD0=30°,Z0CF=30°,

•••△OAB与aOCD是以点。为位似中心的位似图形，相似比为3：4,点B的坐标是（6,0）,

AD（8,0）,则

D0=8,故0C=4,

贝ij^^2

2

故点C的坐标是：（2,2

证）.故答案为：依2

）.

【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键.

abc

9(2018•四川成都・3分)已知d=5=4,且a+b-2c=6,则的值为.

【答案】12

【考点】解一元一次方程，比例的性质

abc,

【解析】【解答】解：设石=5=4=«则a=6k,b=5k,c=4k

a+b-2c=6

/.6k+5k-8k=6,解之：k=2

Aa=6X2=12

故答案为：12

abc,

【分析】设％=5=4=K,分别用含k的式子表示出a、b、C的值，再根据a+b-2c=6,建立关于

k的方程，求出k的值，就可得出a的值。

10(2018•四川凉州・3分)已知△ABCs^A'B'C且S,c：SAARC=1：2,则AB：A1B'=1：F.

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可.

【解答】解：,.,AABC-AA,B'C',...S△械：SAA'B，C=AB2：AZB'2M.

【点评】本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方.

三.解答题

(要求同上一)

1..(2018•四川凉州・7分)如图，ZsABC在方格纸中

(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2,3),C(6,2),并求出B点坐标；

(2)以原点0为位似中心，相似比为2,在第一象限内将AABC放大，画出放大后的图形4A'B'C'；

(3)计算AA'B'C'的面积S.

(3)直接利用(2)中图形求出三角形面积即可.

(3)SANBC'JX4X8=16.

2

【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键.画位似图形

的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和关键点；③根据位似比，确定位似图形的

关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

2.(2018•枣庄分)如图，在RtAACB中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC为直径作。0交AB

于点D.

(1)求线段AD的长度；

(2)点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与。0相切？请说明理由.

【分析】(1)由勾股定理易求得AB的长；可连接CD,由圆周角定理知CD,AB,易知△ACDs/\ABC,可

得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长.

(2)当ED与。0相切时，由切线长定理知EC=ED,则NECD=NEDC,那么NA和/DEC就是等角的余角,

由此可证得AE=DE,即E是AC的中点.在证明时，可连接0D,证ODJ_DE即可.

【解答】解：(1)在RtZXACB中,VAC=3cm,BC=4cm,ZACB=90",/.AB=5cni；

连接CD,；BC为直径，

.,.ZADC=ZBDC=90°；

VZA=ZA,ZADC=ZACB,

ARtAADC^RtAACB：

.ACAD.皿AC29

ABACAB5

(2)当点E是AC的中点时，ED与。0相

切；证明：连接0D,

VDE>RtAADC的中线；

/.ED=EC,

AZEDC=ZECD,

VOC=OD,

:.ZODC=ZOCD；

...ZEDO=ZEDC+ZODC=ZECD+ZOCD=ZACB=90°；

.\ED±OD,

【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识.

3(2018•枣庄・10分)如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作

EG〃CD交AF于点G,连接DG.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由;

(3)若旄，求BE的长.

【分析】(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明NDGF=NDFG,从而得到GD=DF,接下来依据翻折的性

质可证明DG=GE=DF=EF；

(2)连接DE,交AF于点0.由菱形的性质可知GF_LDE,0G=0F=LF,接下来，证明△DOFsaADF,由相

2

似三角形的性质可证明DF2=F0«AF,于是可得到GE、AF、FG的数量关系；

(3)过点G作GH±DC,垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4,然后再AADF中依据勾股定理可求得

AD的长，然后再证明△FGHS^FAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即

可.

【解答】解：⑴证明：•；GE〃DF,

，ZEGF=ZDFG.

♦.•由翻折的性质可知：GD=GE,DF=EF,ZDGF=ZEGF,

NDGF=/DFG.

AGD=DF.

.♦.DG=GE=DF=EF.

四边形EFDG为菱形.

(2)EG2=LF・AF.

2

理由：如图1所示：连接DE,交AF于点0.

•••四边形EFDG为菱形，

.\GF±DE,OG=OF=1-GF.

2

：/D0F=NADF=90°,ZOFD=ZDFA,

/.△DOF^AADF.

/.DF_F0,即DFJFOMF.

AF~DF

VFO=1.GF,DF=EG,

2

/.EG2=1X;F«AF.

2

(3)如图2所示：过点G作GHLDC,垂足为H.

•.•EGJLGF・AF,AG=6,EG=2

2

.•.20=LFG(FG+6),整理得：FG2+6FG-

2

40=0.解得:FG=4,FG=-10(舍去).

：DF=GE=2遥，AF=10,

•*-AD=VAF2-DF2=/1^,

VGH±DC,AD1DC,

，GH〃AD.

.,.△FGII^AFAD.

.GH_FG叩GH=4

'*AD^AF*475Io"

.•.GH=^L

5

Z.BE=AD-GH=4殳叵三匹.

55

【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和

性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF'FOFF是解题答问题（2）

的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键.

4.（2018•四川成都・8分）如图，在RUJBC中，ZC=90°,4D平分ZSHC交5c于点D,O

为上一点，经过点，力的©O分别交AB,4c于点E,F,连接OF交/力于点

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)设4B=x，-函=K试用含的代数式表示线段/力的长;

(3)若BE=8,S1115=B,求ZX?的长.

【答案】（1）如图，链接CD

〈AD为NBAC的角平分线，

・・・NBAD=NCAD.

VOA=OD,

・・・ZODA=ZOAD,

JZODA=ZCAD.

A0D/7AC.

又,..2090°,

：.Z0DC=90°,

A0D1BC,

・・・BC是。。的切线.

由（1）可知，BC为切线,

NFDC二NDAF.

・・・ZCDA=ZCFD.

・•・ZAFD=ZADB.

又YNBAD=NDAF,

AAABD^AADF,

AB_AD

・•・AD一”,

AAD2=AB•AF.

/.ADJ=xy,

...AD=Jxy

OP5

在RtABOD中，sinB=OB—13,

r_______5

设圆的半径为「，・,•内=13,

:.r=5.

AAE=10,AB=18.

•・・AE是直径,NAFE=90°,而NC=90°,

・・・EF〃BC,

AZAEF=ZB,

，sinNAEF=j£-13.

550

AAF=AE•sinZAEF=10X13=13.

VAF/70D,

AG,4FB10

，DG-OD~5-13,

13

1.DG=23AD.

•.AD=/心=J18x瑞=瑞反

；DG=君、瑞河=瑞厄

【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形

【解析】【分析】（1）连接0D,根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，去证明/0DC=90°即可。（2）连

接DF,DE,根据圆的切线，可证得/FDC=/DAF,再证/CDA=NCFD=/AED,根据平角的定义可证得NAFD=

ZADB,从而可证得△ABDS^ABF,得出对应边成比例，可得出答案。（3）连接EF,在Rt^BOD中，利用三

角函数的定义求出圆的半径、AE、AB的长，再证明EF〃BC,得出NB=NAEF,利用锐角三角函数的定义求

出AF的长，再根据AF〃OD,得出线段成比例，求出DG的长，然后可求出AD的长，从而可求得DG的长。

5(2018•江西・6△ABC中,48=8,5c=4,AC=6,CD||AB,C中是4BC的平分线,BD交AD于点，求AE的长.

【解析】：BD是NABC的平分线，.\ZABD=ZCBD

；CD〃ABAZABD=ZD

.\ZCBD=ZD.*.CD=BC=4

XVCD//AB.,.△ABE^ACDE

CECD41

=-VCE+AE=AC=6；.AE=4

AEAB82

6.（2018•湖北省宜昌•11分）在矩形ABCD中，AB=12,P是边AB上一点，把APBC沿直线PC折叠，顶点

B的对应点是点G,过点B作BELCG,垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.

（1）如图1,若点E是AD的中点，求证：AAEB好△口£（：；

(2)如图2,①求证:BP=BF；

②当AD=25,且AEVDE时，求cos/PCB的值;

【分析】(1)先判断出/A=ND=90°,AB=DC再判断出AE=DE,即可得出结论；

(2)①利用折叠的性质，得出NPGC=NPBC=90°,ZBPC=ZGPC,进而判断出NGPF=NPFB即可得出结论;

②判断出△ABEs^DEC,得出比例式建立方程求解即可得出AE=9,DE=16,再判断出△ECFs/\GCP,进而

求出PC,即可得出结论；

③判断出△GEFSAEAB,即可得出结论.

【解答】解：(1)在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,AB=DC,

是AD中点,.*.AE=DE,

'AB=DC

在AABE和ADCE中，J/A=ND=90。，­e•△ABE^ADCE(SAS)；

AE=DE

(2)①在矩形ABCD,ZABC=90°,

「△BPC沿PC折叠得到△GPC,.\ZPGC=ZPBC=90°,ZBPC=ZGPC,

VBE1CG,ABE#PG,AZGPF=ZPFB,ZBPF=ZBFP,.\BP=BF；

②当AD=25时，VZBEC=90°,AZAEB+ZCED=90°,

VZAEB+ZABE=90°,/.ZCED=ZABE,

VZA=ZD=90°,.,.△ABE^ADEC,.-.ABJ®,

AECD

设；.x=9或x=16,

x12

：AEVDE,；.AE=9,DE=16,；.CE=20,BE=15,

由折叠得，BP=PG,；.BP=BF=PG,VBE//PG,

/.△ECF^AGCP,/.-CE,设15o=20,.・.y=空，

PGCGy253

.\BP=尊，iSRtAPBC型运c°s/PCB®=@

33PC10

③如图，连接FG,

G

D

---------------

：NGEF=/BAE=90°,

：BF〃PG,BF=PG,，oBPGF是菱形，...BP〃GF,AZGFE=ZABE,

.,.△GEF^AEAB,AEF,.-.BE«EF=AB«GF=12X9=108.

GFBE

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判