2024-2025学年河北省邯郸市魏县高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省邯郸市魏县高三(上)开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设集合4={M，<旬，B={-1,0,2},则2UB=()

A.{x|-2<%<2}B.{%|-2<%<2}C.{x\x<3}D.{-2,0,2}

2.已知复数Zi=1-23复数z满足|z+zi|=2,则()

A.Zi•ZI=[2+

B.复数兀在复平面内所对应的点的坐标是(-1,2)

C.<5-2<|z|</5+2

D.复数z在复平面内所对应的点为ZQ,y),则(x+1/+(y-2/=2

3.已知向量落3满足@=2,\b\=3,a-(a-b)=-1,则|五一2方|=()

A.5B.<5C.2<5D.20

4.若sin(a+0)=cos2asin(a—£)*则tan(a+£)的最大值为()

5.用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，

则该几何体体积的最大值为()

A苧X

B.2737T\

C.4TT

D.473TT

6.若Q=2025sin^匕=c=tan2025°,贝南，b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

7.已知(1,2)为角a终边上一点，关于％的函数f(%)=cos2%cosa—sin2%sina有对称轴％=m,则

tan2m=()

1i

A.-2B.2C.-jD.i

8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一八

格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构

成，如从1移动到11：I->2—>3->5—>7—>8—>9—>10—>11就是一1条移动

路线.从1移动到数字混n=2,3,…11)的不同路线条数记为7,从1移动到11的事件中，跳过数字几何=

2,3,...10)的概率记为pg则下列结论正确的是()

①「9=34,@rn+i>rn,®p5=募@p9>pw-

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的有()

A.若一组数据的，%2,久„的方差为0.2,则5%,5X2,5久兀的方差为1

B.68,60,62,78,70,84,74,46,73,82这组数据的第80百分位数是80

C.样本相关系数可以用来判断成对样本数据正相关还是负相关

D.若变量f=N(172R2),P(172<f<180)=0.4,则<164)=0.1

10.已知函数f(久)=久"久+ax在x=1处的切线方程为y=x+6,则下列说法正确的有()

A.a+b=1

B.f(%)在区间［；,e］上的最大值和最小值之和为e

C.£为/(%)的极小值点

D.方程/(久)=e有两个不同的根(e为自然对数的底)

11.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布・伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，

把到定点K(-a,0),尸2(a，0)距离之积等于a?(a>0)的点的轨迹称为双纽线.已知点P(x0,%)是双纽线C上任

意一点，当双纽线C过点(22,0)时，下列说法中正确的有()

A.a=2

11

B.--<y0<-

C.伊。|的最大值为

D.当网>1时，y=依与曲线C只有一个交点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知双曲线胃-3=l(a>0">0)的两条渐近线分别为直线i12,经过右焦点F且垂直于匕的直线1

分别交i%于4B两点，且丽=3万，则该双曲线的离心率为.

O1

13.已知2a+6=l(a>0,6>0),则3+六的最小值为

'/a+1b+1

14.若直线/与曲线*=4%和/都相切，则直线1的方程为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且26+c—2acosC=0.

(1)求4

(2)如图，射线力B绕点力旋转'后交线段BC于点E,且2E=2,求△48C的面积的最小值.

16.(本小题12分)

已知7是。力：(久+1产=16上的动点，点B(l,0),线段TB的中垂线交直线兀4于点P.

(1)求点P的轨迹厂的方程；

(2)已知直线/的方程为x=4,过点B的直线(不与x轴重合)与曲线「相交于M,N两点，过点M作

垂足为。.证明：直线ND过定点E,并求出定点E的坐标.

17.(本小题12分)

如图，在平行四边形48CD中，AB=/2,BC=2,^ABC=p四边形2CEF为矩形，平面2C£T_L平面

ABCD,4尸=1,点M在线段EF上运动.

(1)当月E1DM时，求点M的位置；(2)在(1)的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值.

18.(本小题12分)

已知函数/'(x)=aex—x—a.

(1)若/Q)>0,求a的值；

(2)证明：当a>1时，/(%)>xlnx—sbix成立.

19.(本小题12分)

在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂(每次分裂都是一个细胞分

裂成两个)和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率

是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为P,则从一个细胞

开始，它有2的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p,两个细胞最终都走向

灭绝的概率就是p2,于是我们得到P=2+:P2,计算可得p=l；我们也可以设一个种群由一个细胞开

始，最终繁衍下去的概率为P，那么从一个细胞开始，它有:的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每

个细胞繁衍下去的概率都是P，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是(l-p)2,于是我们得到

(1-PA],计算可得p=0.根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点P(n,o)(neN*)

处，他每步走动都会有P*的概率向左移动1个单位，有1-P*的概率向右移动一个单位，原点(0,0)处有一个

陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以Pn代表当这个人由P(7l,0)开始，最终掉入陷阱的概率.

(1)若这个人开始时位于点P(l,0)处，且P*=*

(I)求他在5步内(包括5步)掉入陷阱的概率；

(II)求他最终掉入陷阱的概率Pi(0<pi<1)；

(III)已知pn=-pn^+-pn+1(n€N*),若Po=1,求pg

(2)已知pi是关于p*的连续函数.

(1)分别写出当「*=0和「*=1时，pi的值(直接写出即可，不必说明理由)；

(II)求Pi关于p*的表达式.

参考答案

l.B

2.C

3.C

4.0

5.4

6.D

7.4

8.A

9.BCD

10.BC

U.ACD

12.竽

13.7(7+2<6)

4

14.y=%+1或y=-x—1

15.解：(1)因为2b+c—lacosC=0,由正弦定理可得2sin8+sinC—2sinAcosC=0,

在△ABC中，sinB=sin(i4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinC+2cosAsinC=0,

又因为s讥C>0,

可得cos/=——>

而AG(0,7T),

所以4=等

(2)AE=2,

因为SMBC=^LABE+S*EC=2C'4E+/，AEsinZ-CAE=c+/，

BP|bcsin与=c+gb，

所以V3bc=4Q+为)之4x2I£bc,当且仅当。=£8，即。=^^,5="^时取等号,

'2，\2233

即3bc>32,

所以比N善,

匚匚［、ic1j..1327-38V-3

所以SAABC=5bcsnM>-x—x—=——

即该三角形的面积的最小值为多.

16.解:⑴由中垂线的性质得|PB|=|PT|,

所以|PB|+\PA\=\PA\+\PT\=4>\AB\=2,

所以动点P的轨迹是以4、B为焦点，长轴长为4的椭圆，

则a-2,b=V-3>

所以P点轨迹「为£+4=1；

(2)由对称性，若直线ND过定点E,则该定点E必在无轴上，

设直线MN的方程为％=my+1,

'%=my+1

由x2y2，得(3血2+4)y2+6my—9=0.(1)

—+—=1

43

设N(工2»丫2),D(4,y1),

%+先=芸2，y，2=盛值，且2nly1%=3(乃+%)■

二直线ND的方程为y-%="(久—4),

%2—4

令y=0,得久=4—^^=4—^^2=4—™……(

丫2一丫1及一百及一丫1

将2nly垃=3(%+%)•代入⑵，则工=4—触廿'2fl=4-|=|­

y7-yi22

故直线ND过定点(|,0),即定点E(|,0).

17.解：(1)AB=72,BC=AD=2,^ABC=p

・•.AC=V-2,

•••AB2+AC2=BC2,

AB1AC,

又；4CEF为矩形，

AF1AC,

•平面4CEF_L平面ABC。，平面ACEFCl平面48CD=AC,AFu平面ACEF,

AF_L平面ABC。，

ABu平面力BCD,

AF1AB,

故可建立如图空间直角坐标系，

4(0,0,0),B(72,0,0)，C(0,72,0)，E(0,"l)，F(0,0,l),

设M(0,y,1),0<y<

则通=(0,瓶,1)，两=(YI,y—

vAE1DM,

.•.荏・丽=<2(y-<2)+1=0,

解得y=¥，

/2

,FM_1

"'FE~2'

故当4E1DM时，点M为EF的中点.

(2)由⑴，丽=(—，1,年,1),BC=(-/2,72,0)，

设平面M8C的一个法向量为沅=Qi，yi，zi),

则m-~BM=一+苧y1+z1=0

m-BC=—\Z-2Xi+V_2yi=0

取为=2,则沅=(2,2,，1),

由(1)知;281AC,AF1AC.

・•,平行四边形ABC。，矩形4CEF.

•••AB11CD,AFIICE.

故AC1CD,AC1CE.

CDHCE=C,CD,CEu平面CDE,

AC_L平面CDE.

故平面EC。的一个法向量为元=(0,1,0),

令平面MBC与平面ECD所成锐二面角为。，

则cosH=|cos(记,记>|=|系|=舄*=争'

平面MBC与平面ECD所成二面角的余弦值为号I

18.解：(1)由/(久)=ae*—x—a,得/(0)=0,又/''(x)=ae*—1,

当aW0时，有尸(久)<0恒成立，所以/(久)在R上单调递减，

又由f(0)=0,则f(久)>0不成立；

1

当a>0时，令/'(%)=0,得％=In-,

11

则x>ln(时，有/'Q)>0,x<ln即寸，有

即/(X)在(一8,山单调递减，在(In；,+8)单调递增，

所以f(In；)是/⑴的极小值，

1

又因为/(%)>0,且/(0)=0,故ln£=0,即a=1,经验证成立，

所以Q=1.

(2)证明：当a21,%>0时，/(%)=aex—x—a=a{ex—1)—%>exx—1,

设<?(%)=ex—x—xlnx+sinx—1,

当0V%41时，—xlnx>0,sinx>0,

又由(1)知e*—x—1>0,故g(%)>0,

当久>1时，/(X)=ex—2—Inx+cosx,

设九(%)=ex—2—Inx+cosx,

则A'(%)=ex——sinx,=e—1—sinl>0,

则h(%)在(1,+8)单调递增，

h(x)>/i(l)=e—2+cosl>0,

所以g'Q)>0,

则g(%)在(1,+8)单调递增,g(x)>g(l)=e-2+sinl>0,

综上，(%)>0,

即当a>1时，/(%)>xlnx—sinx.

19.解：(1)(I)设事件/表示这个人第1步掉入陷阱，事件B表示这个人第3步掉入陷阱，事件