2024-2025学年河北省邯郸市某中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省邯郸市永年二中高三(上)开学数学试卷

一、选择题：本题共U小题，第1-8小题每小题5分，第971小题每小题6分，共58分。

1.已知集合2={%|%2—久—4W0},则4CN=()

A.{0}C.{0,1,2)D.{1,2}

2.若正数久，y满足/—久y+2=0,贝1k+y的最小值是()

A.242B.2<3C.4D.6

73

3.已知cosacosS=jcos(a—S)=『则cos(a+夕)=()

4

A]BC-D

l5l

4.函数/(%)的部分图象如图所示，则/(%)可以为()

(ex—l)sinx

A.

ex+l

(ex—l)cosx

B.

ex+l

0-1)第3

ex+l

(ex-l-l)cosx

D.

ex-l

5.下列函数中，其图象与函数y的图象关于直线1=1对称的是()

A.y=ln(l—%)B.y=ln(2—%)C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+%)

6.设/•(%)是定义在R上的奇函数,且f(2+x)=/(-%),当一1<久<0时,/(x)=log2(-6x+2),则/(等)

的值为()

A.2B.1D.-2

7.已知(%2，、2)是函数y=2%的图象上两个不同的点，贝1()

A」。出中<警B」。死空〉等

c.log2上署<x1+x2D.log2玄爰>Xi+x2

8.已知定义域为R的函数/(%),其导函数为/'(%),且满足/'(%)-2/(%)<0,f(0)=1,则()

A.e2/(-l)<1>e2D"⑴

9.设5=(1—i)z-L其中9为z的共软复数，贝|()

A.z的实部为2B.W的虚部是-2

D.在复平面内，F对应的点在第二象限

10.下列论述正确的有()

A.若4B两组成对数据的样本相关系数分别为以=0.97,丐=-099,贝必组数据比B组数据的相关性较

强

B.数据49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位数为38

C.若随机变量X〜N(7R2),且P(X>9)=0.12,则P(5<X<7)=0.38

D.若样本数据与，K2，…，见的方差为1，则数据2久2-1，…，2久6-1的方差为4

11.已知函数f(x)=—X+1,则()

A./O)有三个极值点B./O)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(%)的切线

二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数/(久)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是.

13.某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在4道四选一的单选题中，有3道有思路，有1道完全没有思路，

有思路的题每道做对的概率均为|,没有思路的题只好任意猜一个答案.若从这4道题中任选2题作答，则该

同学2道题都做对的概率为.

14.已知定义在R上的函数/(©满足2/(x)=/(-x)+3ex,则曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为

三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

1

15.(13分)已知函数%%与函数g(%)=e。%—%,其中a>0.

(1)求/(X)的单调区间;

(2)若gQ)>0,求a的取值范围.

16.(15分)增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事.某高中为了解本校高

一年级学生体育锻炼情况，随机抽取体育锻炼时间在［20,80］(单位：分钟)的50名学生，统计他们每天体育

锻炼的时间作为样本并绘制成如图的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时间在［60,70)的有5名学生.

(1)求a,6的值;

(2)若从样本中体育锻炼时间在［60,80］的学生中随机抽取4人，设X表示在［70,80］的人数，求X的分布列和

均值.频率

17.(15分)如图，在三棱柱—中，。为底面的重心，点D,G分别在棱CG，/Q上,

且BiG：GCi=CD：DC】=1：2

(1)求证：&C〃平面DOG；

(2)若44i1底面4B1Q,且三棱柱4BC-&B1C1的各棱长均相等，求平面441cle与平面DOG的夹角的余

弦值.

18.(17分)已知函数/'(%)=加久—a/+ax.

(1)当a=2时，求曲线y=/(X)在点(14(1))处的切线方程.

(2)若函数g(x)=/(%)-a久有两个零点，求实数a的取值范围.

19.(17分)已知函数/(久)=ln//+ax+6Q—1>.

(1)若/(x)>一2当且仅当1<x<2,求a的值.

(2)若6=0,且求a的最小值；

(3)证明：曲线y=/(%)是中心对称图形.

参考答案

l.c

2.C

3.A

4.A

5.B

6.D

7.B

8.D

9.AC

10.BCD

11.C

12.(4,4-00)

14.y—x+3

15.解：(l)y=/(x)的定义域为(0,+8),

又已知a>0,f(x)=1--=

'axax

令f'(x)<0,得0<x<；,即/(久)的单调减区间为(0,$,

令f'Q)>0,则x>%即f(%)的单调增区间为(1+8)；

(2)由题意得gQ)=eax—%>0,即e。％>x,

若x<0,不等式恒成立，若x>0,即a>啊,

X

令人(x)=¥(x>。)，"。)=等

当X6(0,e)时，h'(%)>0,h(%)单调递增,

当％G(e,+8)时，"(%)<0,九(%)单调递减,

11

故八(X)ma久=?故。的取值范围为弓,+8).

16.解：(1)因为体育锻炼时间在［60,70)的频率为言=0.1,

所以b=m=0.01,

又因为(0.006+0.01+0.018+0.022+0.024+a)X10=1,

所以a=0.02；

(2)样本中体育锻炼时间在［60,70)的有5名学生，在［70,80］的有3名学生,

则X=0,1,2,3,

所以P(x=o)=S=2p(x=l)=等

c8c8

P(X=2)=等*2侬=3)=等=2，

所以X的分布列为：

X0123

1331

P

147714

1QO10

所以E(X)=—x0+-x1+-X2+—x3=

J.4//Z

17.(1)证明：如图，连接G。并延长，交A声1于E,延长线段GO,交4G于H,连接。H,

因为。为底面为B】Ci的重心，所以EO：0cl=1：2,

又BjG：GG=1：2,

所以E。：OCi=B】G：GCi，所以。G〃4Bi，

所以&H：HCi=1：2,

因为CD：DC】=1：2,所以力中：HCr=CD：

所以DH//&C,

因为&CC平面DOG,DHu平面DOG,

所以&C〃平面。。G；

(2)解：取4B的中点为F,连接EF,

因为441，底面4/iG，且三棱柱力BC-4/iG的各棱长均相等，

所以直线EBi，EC「EF两两互相垂直，

以E为坐标原点，EBi，ECrEF所在直线分别为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

z

3,

E

设三棱柱ABC-&B1Q的棱长为6,

则0(0,<3,0),£>(0,3<3,4),%(3,0,0),G(2,<3,0),

所以说=(0,273,4),OG=(2,0,0)，

设平面DOC的一个法向量为元=Q,y,z),

则2%Q

f2/37+47=0,可取元=(0，—2,6)，

由题意，△为B1G为正三角形，。为其重心，则有08114G，

又4Ali底面4曲的,故A411OB1，

又ClAiG=故。Bi_L平面4&CC

即平面441GC的一个法向量为西=(3,-<3,0)，

设平面441cle与平面OOG的夹角为。，

即平面力4QC与平面DOG的夹角的余弦值为学.

18.解：(1)当a=2时，/(x)=Inx—2x2+2x,所以/''(x)=：-4x+2,

/⑴=1-4+2=-1,/(I)=-2+2=0,

所以曲线，=/(久)在点(l,f(l))处的切线方程为y=-(%-1),

即久+y-1=0；

(2)g(x)=/(x)—ax=Inx—ax2(x>0),

由g(X)=0得a=

y=a,y=臀的图象有2个交点，

令%0)=臀(久>0)，

"(x)=,产,当o<X<，^时，〃(x)>0,h(x)单调递增，

当x>，W,»(x)<0,h(x)单调递减，所以八(久)Wh(、0=白

且x>1时，h(x)>0,/i(l)=0,

所以0<x<l时，h(x)<0,所以八(x)的大致图象如下，

所以若函数g(x)=f(x)-ax有两个零点，

则0<a

2e

所以实数a的取值范围为(0,*).

19.解：(1)因为/(久)=ln£+ax+b(x-1尸，

所以好一>0,解得0<%<2,

2-x

所以/(%)的定义域为(0,2),

/(%)>一2当且仅当1V%V2,

由于/(%)=Ina+ax+b{x-的图象是连续的，

故％=1为/(%)=-2的一个解，

所以/