第11讲导数的概念与切线方程（教师版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第11讲导数的概念与切线方程（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)2023年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题2022年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的零2021年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析2020年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分【备考策略】1.理解、掌握导数的定义，能够运用导数求解基本初等函数的导数2.能掌握导数的几何意义与切线的性质3.具备数形结合的思想意识，会求在一点与过一点的切线方程【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数求导数的切线方程。知识讲解知识点一.导数的定义1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率lim∆x→∞fx0+∆x−f(x02.函数y=f(x)的导数：f(x)=3.利用定义求导数的步骤：=1\*GB3①求函数的增量：∆y=fx0+∆x=2\*GB3②求平均变化率：∆y∆x=f=3\*GB3③取极限得导数：fx0=知识点二.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．即k=lim∆x→mfx0+∆x−f(x0)∆x=f'(x0)相应地，切线方程为y－曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点三.导数的运算1.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝sinxy′＝cos_xy＝xα(α为实数)y′＝αxα－1y＝cosxy′＝－sin_xy＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlna特别地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝eq\f(1,xlna)特别地(lnx)′＝eq\f(1,x)2.导数的运算法则（1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）；（2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；3.复合函数的导数复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.规律：从内到外层层求导，乘法链接考点一、导数的定义1.（2025高三·全国·专题练习）设函数f(x)可导，f'(1)=1则lim△x→0【答案】1【分析】运用导数的极限定义计算即得.【详解】lim故答案为：132.（2024·湖北黄石·三模）已知函数fx=log2x【答案】1【分析】借助导数公式与导数定义计算即可得.【详解】f'x=故答案为：121.（2025·四川内江·模拟预测）已知函数fx=−1A．e B．−2 C．−12【答案】D【分析】求出导数，由导数的定义知求f'【详解】因为f'所以f'所以limΔ故选：D2.（23-24高三上·上海青浦·期中）已知a∈R，曲线y=fx经过点1,2且在该点处的切线方程为ax+y−5=0，则limℎ→0【答案】−3【分析】利用导数的几何意义，结合导数的定义计算即得.【详解】由点1,2在直线ax+y−5=0上，得a=3，又曲线y=fx在点1,2处的切线方程为ax+y−5=0则f'(1)=−a=−3，而f(1)=2，所以故答案为：−33.（2024·全国·模拟预测）已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①limx→0sinxx=1；②limx→0(1+x)【答案】1e【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由极限的定义知：①limx→0sinxx因为sinxcosxx=则limx→0又因为(1+sin2x)1sinx所以limx→0故答案为：1；e24.（20-21高三上·北京·期中）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在t1②在t2③在[t④在[t1,其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【解析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.【详解】①在t1时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在t2时刻的切线的斜率不相等，即两人的f't2不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是ft3−ft2t3−t2故答案为：①③④【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是ft+△t考点二、导数的运算与求值1.（2022·全国·高考真题）当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值A．−1 B．−12 C．1【答案】B【分析】根据题意可知f1=−2，f'1=0【详解】因为函数fx定义域为0,+∞，所以依题可知，f1=−2，f'1=0，而f'x=ax−bx2，所以故选：B.2.（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=exx+a．若f【答案】1【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：f'则：f'1=整理可得：a2−2a+1=0，解得：故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=2f'3x−29【答案】169/【分析】对fx求导，代入x=3，解得f'(3)=1【详解】由fx=2f代入x=3，可得f'(3)=2f则有，f(x)=2x−29x故答案为：1692.（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数fx=lnx+ax，若f【答案】−1【分析】求出导函数，利用f'【详解】由fx=lnx+ax得f故答案为：−13.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列an中，a1013=2，若函数fA．−22024 B．22024 C．−【答案】A【分析】设gx=x−a1x−a2⋯【详解】设gx则fx=1所以，f'因为an是等比数列，且a1013=2于是，a故g0=0−所以，f'故选：A.4.（2025高三·全国·专题练习）已知三次函数fx=x3+2x−1，若【答案】−2【分析】利用三次函数的对称中心公式求解.【详解】解：由题意得，f'令gx=3x令g'x=6x=0，解得x=0故fx=x故当x1+x故答案为：−2考点三、在一点处的切线方程1.（2023·全国·高考真题）曲线y=exx+1A．y=e4x B．y=e2x【答案】C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线y=exx+1在点1,因为y=e所以y'所以k=所以y−所以曲线y=exx+1在点1,故选：C2.（2020·全国·高考真题）函数f(x)=x4−2A．y=−2x−1 B．y=−2x+1C．y=2x−3 D．y=2x+1【答案】B【分析】求得函数y=fx的导数f'x，计算出f【详解】∵fx=x4−2x3因此，所求切线的方程为y+1=−2x−1，即y=−2x+1故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题1．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知fx=x3+A．y=x+2 B．y=−4x+1 C．y=−x+4 D．y=4x−1【答案】D【分析】先求导，可得k=f'(1)=4【详解】由题意f'故k=f'(1)=3+2−1=4故切线方程为：y−3=4(x−1)，即y=4x−1.故选：D2．（21-22高三上·天津·期中）曲线y=xexA．y=x−1 B．y=x C．y=0 D．y=【答案】D【分析】设fx=xex【详解】设fx=xex，则f因此，曲线y=xex在点1,故选：D.3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知f(x)=x2−lnx在x=1处的切线与圆C:【答案】22或【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程x−y=0，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数f(x)=x2−lnx，可得f所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y−1=x−1，即x−y=0，又由圆C:(x−a)2+y2因为x−y=0与圆C相切，可得a2=2，解得故答案为：±224．（23-24高三上·天津滨海新·期中）函数y=lnx−2x的导数为，曲线y=【答案】1x+【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程.【详解】设f(x)=lnx−2则f'所以f'(1)=3，且即直线斜率k=3，过点(1,−2)，故曲线y=lnx−2x在即3x−y−5=0，故答案为：1x+2考点四、过一点的切线方程1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx(1)求fx在区间2023,2024(2)求曲线y=fx在点2,f(3)求曲线y=fx过点2,0【答案】(1)4047；(2)y=4x−4；(3)y=0或y=8x−16【分析】（1）由平均变化率的公式即可求解；（2）依次求出f2（3）首先设出切点坐标，利用f'【详解】（1）fx在区间2023,2024f2024（2）由fx=x2，有f'则切点坐标为2,4，切线斜率为4，所以曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为y−4=4x−2（3）易知直线x=2与曲线y=fx故设切点为x0则由f'x0=x02−0x当x0=0时，切点为(0,0)，此时满足题意的切线方程为y=0，显然它过点(2,0)，当x0=4时，切点为4,16，此时满足题意的切线方程为y−16=8x−4，即y=8x−16，显然它过点(2,0)综上所述，满足题意的切线方程为y=0或y=8x−16．2.（2021·全国·高考真题）若过点a,b可以作曲线y=eA．eb<a C．0<a<eb 【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线y=ex的图象，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和【详解】在曲线y=ex上任取一点Pt,et所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为y−e由题意可知，点a,b在直线y=etx+令ft=a+1−t当t<a时，f't>0当t>a时，f't<0所以，ft由题意可知，直线y=b与曲线y=ft的图象有两个交点，则b<f当t<a+1时，ft>0，当t>a+1时，ft

由图可知，当0<b<ea时，直线y=b与曲线故选：D.解法二：画出函数曲线y=ex的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知

故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.1.（2025·四川内江·模拟预测）若过点m,n(m>0)可以作两条直线与曲线y=A．2n<lnm C．2m>lnn>0 【答案】B【分析】设切点Px0,12lnx0，根据切线经过点(m,n)，得到【详解】设切点Px因为y=12ln所以点P处的切线方程为y−1又因为切线经过点(m,n)，所以n−12ln令fx则y=2n+1与fxf'当m≤0时，f'x>0当m>0时，当0<x<m时，f'x<0，当x>m所以fxmin=fm=故选：B2.（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线y=x2−3lnxA．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】D【分析】根据切线的斜率的几何意义可知y'|x=【详解】设切点为(因为切线y=−x+m，所以y'解得x0代入曲线y=x2−3所以切点为1,1代入切线方程可得1=−1+m，解得m=2.故选：D.3.（2024高三·全国·专题练习）过点3,0作曲线fx=xex的两条切线，切点分别为x1A．−3 B．−3 C．3 【答案】D【分析】利用切线方程过定点来求切点的横坐标，从而得到一元二次方程根与系数关系求解.【详解】因为fx=xex，所以所以f'x0由切线方程过点3,0，则−x0e依题意得：关于x0的方程−x0即关于x0的一元二次方程−x0所以x1故选：D.考点五、切线的倾斜角与斜率1.（全国·高考真题）曲线y=x3−2x+4A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】B【分析】利用导数的几何意义求解即可．【详解】∵y'∴曲线y=x3−2x+4在点(1,3)处的切线的斜率k=故选：B．2.（重庆·高考真题）曲线y=2−12x2与【答案】π【分析】联立曲线方程求出交点坐标，利用导数分别求出两切线斜率，再由夹角公式求解即可.【详解】由y=2−12x2y=所以两曲线只有一个交点P(2,0),由y=2−12x2可得由y=14x3−2由直线的夹角公式可得tanα=|由α∈[0,π2]故答案为：π1.（23-24高三上·云南·阶段练习）已知函数f(x)=x3−f'(1)x2【答案】1【分析】利用导数的运算法则，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】因为f(x)=x所以f'(x)=3x解得f'所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.故答案为：12.（23-24高三上·天津·阶段练习）曲线y=2x−lnx在x=1处的切线的倾斜角为α【答案】−35【分析】先求导数，从而求得切线斜率，即可求得tanα【详解】由y=2x−所以tanα=所以cos故答案为：−33.（2024高三下·全国·专题练习）已知三次函数fx有三个零点x1，x2，x3，且在点xi【答案】0【分析】令fx=ax−x1x−x2x−x3【详解】令fx=ax−x1x−x2x−则f'1=x故答案为：0.4.（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数y=−xA．0,π4 B．0,π4∪3π【答案】C【分析】根据导数的几何意义及直线的倾斜角与斜率的关系即可求解．【详解】设以P点为切点的切线的倾斜角为θ，因为函数f(x)=−x所以f'当且仅当3x=1又因为θ∈[0,π所以tanθ≤−所以θ∈(π故选：C.5.（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知直线y=a与函数fx=ex，gx=lnx的图象分别相交于A，B两点.设k1为曲线y=fA．1 B．e C．ea D．【答案】D【分析】首先求点A,B的横坐标，再利用导数求k1和k2，最后根据【详解】由题意可得ex=a，得xA=lnf'x=则k1=f所以k1设ℎx=xℎ'x=当x∈−∞,1，ℎ'x当x∈1,+∞，ℎ'x<0所以当x=1时，ℎx取得最大值ℎ所以k1k2故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解导数的几何意义，并正确求解点A,B的坐标，即可求得k1考点六、公切线1.（2024·全国·高考真题）若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a【答案】ln【分析】先求出曲线y=ex+x在0,1的切线方程，再设曲线y=lnx+1+a的切点为【详解】由y=ex+x得y故曲线y=ex+x在0,1由y=lnx+1+a设切线与曲线y=lnx+1+a由两曲线有公切线得y'=1x0切线方程为y=2x+根据两切线重合,所以a−ln2=0，解得故答案为：ln2.（2022·全国·高考真题）已知函数f(x)=x3−x,g(x)=x2+a，曲线(1)若x1(2)求a的取值范围．【答案】(1)3(2)−1,+【分析】（1）先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a即可；（2）设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.【详解】（1）由题意知，f(−1)=−1−(−1)=0，f'(x)=3x2−1，f'(−1)=3−1=2即y=2x+2，设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x，则g（2）f'(x)=3x2−1，则y=f(x)在点x设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x则3x12令ℎ(x)=94x4−2x3−3令ℎ'(x)<0，解得x<−13或0<x<1，则x−−−00,111,+ℎ−0+0−0+ℎ(x)↘5↗1↘−1↗则ℎ(x)的值域为−1,+∞，故a的取值范围为−1,+1.（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=x的图象与函数y=ax（a>0且【答案】(【详解】设公共点为x0,y0(x0>0)，即可得到a【分析】设公共点为x0,y0(x所以x0lna=由y1'=12x−又在公共点处有相同的切线，所以ax0ln所以lnx0=1，则x所以公共点坐标为(e故答案为：(e2.（2024·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2A．0或2 B．−2或0 C．－1或0 D．0或【答案】A【分析】设直线l的方程为y=x+b，先根据直线和圆相切算出b，在根据导数的几何意义算a.【详解】依题意得，设直线l的方程为y=x+b，由直线和圆x2+y2=当b=1时，y=x+1和y=ln设切点为(m,n)，根据导数的几何意义，1m+a又切点同时在直线和曲线上，即n=m+1n=ln(m+a)即y=x+1和y=lny=x−1和y=lnx仍会保持相切状态，即b=−1时，综上所述，a=2或a=0.故选：A3.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数fx=4ex−2x−2x(x>0)，函数gx=−x【答案】652【分析】设点Px0,4ex0−2x0−2x0x【详解】因为f'设点Px0,4可知kOP=4可得切点P2,−2，切线斜率k=所以l方程y+2=−x−2，即y=−x联立y=−xy=−由Δ=(1+3a)2当a=1时，xQ=2，此时Q2,−2当a=15时，xQ此时PQ=故答案为：654.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ex−1,gx=14A．ex−y=0 B．C．x−y=0 D．x−y−1=0【答案】B【分析】设y=kx+m与y=fx相切于点Ax0,y0，与y=gx相切于点Bx1,y1，利用导数的几何意义，得到ex【详解】设l:y=kx+m与曲线y=fx相切于点Ax0,y由f'x=ex−1，可得l的斜率又由g'x=12ex，可得又因为ex0将②③代入①中，可得12ex1x0−e将④代入③，可得ex12令ℎx=x−1−lnx，则ℎ'当x>1时，ℎ'x>0,ℎx单调递增．所以故12x1=1，可得所以l的方程为y=ex−1，即故选：B．【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．1．（22-23高三上·天津·期中）若fx=xA．0,+∞ B．−∞,−1∪2,+∞【答案】C【分析】先求导，再解不等式即可.【详解】由fx=x2令2x−2−4x>0解得x>2即f'x故选：C.2．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）已知函数fx=2x2A．18,5−2C．14,4−2【答案】A【分析】由fx在−∞,2和2,+∞上的单调性，画出y=fx的图象，分别求得当fx=2x2【详解】fx≥|x−m|恒成立可以转化为函数y=fx∵当x≤2时，fx=e2−x∴fx在−∞,2又∵当x>2时，fx∴fx在2,+∞上单调递增，且画出函数图象如下图所示，gx当y=2x2−8x+10和y=x−m∴f'x1=1，即4x1−8=1∴此时m=18，结合图象可知当y=e2−x+x−1和y=m−x∴f'x2=−1，即−e2−x∴此时m=5−2ln2，结合图象可知则实数m的取值范围为18故选：A.3．（22-23高三上·天津·期中）函数f(x)=log12【答案】−【分析】根据对数函数的求导公式loga【详解】因为f(x)=log12故答案为：−14．（22-23高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数fx的导函数，满足fx=2xf'【答案】−5【分析】求导，令x=1，可解得f'1，进而可得【详解】由fx=2xf令x=1，得f'1=2所以f1故答案为：−5.5．（20-21高三上·天津·期中）设曲线y=ax−ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为3x−y=0，则a=【答案】4【解析】先对函数求导，再由题意可知在x=0处的导数值为3，从而可求得a的值【详解】解：由y=ax−ln(x+1)，得因为曲线y=ax−ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为所以a−10+1=3故答案为：46．（22-23高三上·天津河北·期末）函数fx=xlnx−1，gx=ax+ba,b∈R【答案】−【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切点在切线上求解即可；【详解】当a=1时，g(x)=x+b,f'(x)=因为g(x)=x+b是f(x)的一条切线，所以f'x0所以fx又切点A(e,0)在切线所以0=e+b，得故答案为：−7．（20-21高三上·天津南开·期中）已知函数fx=11−x+1【答案】2【解析】求导后代入x=2即可得到结果.【详解】∵fx=11−x故答案为：2.1．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若曲线y=x3+alnx在点(1,1)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据导数的几何意义有y'|x=1【详解】由题设y'=3x2+所以k=5，故a=k−3=2.故选：B2．（2021·天津宁河·一模）设曲线y=ax−lnx2+1在点0,1【答案】e【分析】求导，根据导数几何意义求出函数y=ax−【详解】∵所以函数y=ax−lnx2故答案为：e3．（22-23高三上·天津武清·阶段练习）已知函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是x-2y【答案】-【分析】首先通过切线方程将f(2)，f'(2)算出，再求出ℎ【详解】将x=2代入切线方程x-2y+1=0，得y=32，故故答案为:-4．（23-24高三下·天津·开学考试）函数fx=log2x+【答案】2ln2【分析】首先求函数的导数，再根据导数的几何意义，即可求解.【详解】由题意可知，f'x=根据导数的几何意义可知，函数的图象在x=1处切线的斜率为2ln故答案为：25．（21-22高三上·天津南开·期中）曲线y=ex在x=0处的切线方程为；若该切线也是曲线y=lnx+b的切线，则【答案】y=x+12【分析】求出函数y=ex在x=0处的导数，再用导数的几何意义即可求解；设该切线与曲线【详解】由y=ex求导得：y'=ex，则曲线y=e所以所求切线方程为y=x+1；设直线y=x+1与曲线y=lnx+b相切的切点为(x0,于是得1x0=1，x0=1，显然有y0=所以b=2.故答案为：y=x+1；26．（2020·天津·一模）设函数fx=x3−1【答案】2【分析】由导数的几何意义、导数的运算可得fx在点Px0【详解】因为函数fx=x所以fx在点Px0由基本不等式可得3x当且仅当x0所以fx在动点Px0故答案为：23【点睛】本题考查了导数的运算及几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用，属于基础题.7．（20-21高三上·天津北辰·期中）若曲线y=lnx+a的一条切线为y=ex+b，其中a,b为正实数，则【答案】[2,+【分析】先根据已知求出b=ae【详解】设切点为x0,所以y'=1所以有：1x因为b>0，所以a>2所以a+e当且仅当a=1故答案为：[2,+∞1.（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A．x−y−π−1=0 B．2x−y−2π−1=0C．2x+y−2π+1=0 D．x+y−π+1=0【答案】C【分析】先判定点(π,−1)是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当x=π时，y=2sinπ+cosπ=−1，即点(π,−1)在曲线y=2sinx+cosx上．∵y'=2【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．2.（2021·全国·高考真题）曲线y=2x−1x+2在点−1,−3【答案】5x−y+2=0【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当x=−1时，y=−3，故点在曲线上．求导得：y'=2故切线方程为5x−y+2=0．故答案为：5x−y+2=0．3.（2019·天津·高考真题）曲线y=cosx−x2在点【答案】x+2y−2=0【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．【详解】y'=−sin当x=0时其值为−1故所求的切线方程为y−1=−12x【点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组y04.（2019·全国·高考真题）曲线y=3(x2+x)ex【答案】3x−y=0.【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：y所以，k=所以，曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5.（2024·全国·高考真题）设函数fx=ex+2A．16 B．13 C．12【答案】A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.【详解】f'则f'即该切线方程为y−1=3x，即y=3x+1，令x=0，则y=1，令y=0，则x=−1故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=1故选：A.6.（2022·全国·高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，【答案】y=1e【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x0,lnx0【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x0,lnx0，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出解：因为y=ln当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0当x<0时y=ln−x，设切点为x1,ln−x又