第21讲 平面向量基本定理及坐标表示（教师版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第21讲平面向量基本定理及坐标表示（4类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第14题,5分平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示2023年天津卷，第14题,5分余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值2022年天津卷，第14题,5分用基底表示向量向量夹角的计算2021年天津卷，第15题,5分数量积的运算律2020年天津卷，第15题,5分已知向量共线(平行)求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握平面向量的基本定理2.能掌握空间直角坐标系的点坐标的运算3.具备数形结合的思想意识，会建立空间直角坐标系，利用点坐标解决向量共线问题4.会利用向量点坐标的公式求解向量共线以及加减数乘问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，求解向量的线性表示与模长数量积问题。知识讲解知识点一．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．知识点二．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．知识点三．平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).2.向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知识点四．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0知识点五．平面向量基本定理的推论1.设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.2.若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.平面向量基本定理的推论：①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得eq\o(OP,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(OB,\s\up15(→)).特别地，当t＝eq\f(1,2)时，点P是线段AB的中点．②对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得eq\o(OP,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))＋μeq\o(OB,\s\up15(→))，且λ＋μ＝1.4.常用结论：已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，△ABC的重心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).考点一、平面向量基本定理的应用1.（2022·天津·高考真题）在△ABC中，点D为AC的中点，点E满足CB=2BE.记CA=a,CB=b，用a,b表示【答案】32b【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以a,b为基底，表示出AB,DE，由法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得点A的轨迹为以M(−1,0)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+1)2+y2=4，即可根据几何性质可知，当且仅当CA【详解】方法一：DE=CE−CD3b2+a2=4a⋅b故答案为：32b−方法二：如图所示，建立坐标系：E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE=(−x+3DE⊥AB⇒(x+32)(x−1)+y22=0⇒(x+1)2+y2故答案为：32b−2.（2024·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足CE=2EA，若AB=λA．12 B．14 C．−1【答案】D【分析】利用平面向量基本定理根据题意将AB用AD,BE表示出来，从而可求出【详解】因为点D为线段BC的中点，点E满足CE=2所以AD=12消去AC，得2AD所以AB=所以λ=12，μ=−3故选：D．1.（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量e1、eA．2e1+e2和eC．3e1−e2和2【答案】C【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】对A：不存在实数λ，使得2e故2e1+对B：不存在实数λ，使得e1故e1+3e对C：对3e1−e2且存在实数−2，使得2e故3e1−对D：不存在实数λ，使得e1=λe1+故选：C.2.（2024·江苏扬州·模拟预测）在△ABC中，DC=2BD,M为线段AD的中点，过M的直线分别与线段AB､AC交于P､QA．16 B．13 C．12【答案】B【分析】作出图形，由DC=2BD,可推得AD=2【详解】如图，因DC=2BD,则AC又AM=12AD,AP=即AM=12AP+16λ故选：B.3.（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为△ABC的重心，AC=λOA+μA．−3 B．−2 C．1 D．6【答案】A【分析】作出图形，将OA,OB作为基底，先把AC用OA,OB,BC表示，再将BC也用【详解】根据向量加法三角形运算法知AC=AB+F为BC中点，则BC=2BF=2(BO点O为△ABC的重心，则OF=代入（∗∗）得到，BC=2(代入（∗）得到，AC=结合AC=λOA+μOB，可得故选：A.4.（23-24高三上·天津武清·阶段练习）在△ABC中，BD=13BC，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设A．10 B．4 C．7 D．13【答案】D【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得x+32y=1，x>0,y>0【详解】因为BD=13因为CE=xCA+y因为A,D,E三点共线，所以x+32y=12x+3y+xy=2x当且仅当2xy=9y故选：D.5.（23-24高三上·江苏南京·期中）在△ABC中，已知点D满足BC=λCD，若AD=3AC【答案】12/【分析】先根据BC=λCD得AD与AB、【详解】由题可得AD=因为AD=3所以−1λ=−2且故答案为：126.（23-24高三上·天津和平·期末）如图，在△ABC中，BO=3OC，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N，记AB=a,AC=b，用a,b表示AO=【答案】14a【分析】利用平面向量的线性运算、用基底表示向量，结合基本不等式即可求解.【详解】由题知，AO=AB即AO=由AO=34所以AO=因为M、N、O三点共线，所以m4所以2=1当且仅当m4n=3n故答案为：14a考点二、平面向量的坐标运算1.（2024·河南·模拟预测）已知向量AB=2,−1，AC=A．−2,−1 B．0,5 C．2,−5 D．2,−1【答案】A【分析】由向量坐标的线性运算求解即可.【详解】由题意得，CB=设点B的坐标为(x,y)，则CB=(x+1,y−2)=(−1,−3)，所以点B的坐标为(−2,−1)故选：A.2.（22-23高三·全国·对口高考）已知向量a=(3,1),b=(0,−2)．若实数k与向量cA．(3,−1) C．(−3,−1) 【答案】D【分析】设c=x,y，先求出a+2b的坐标，利用【详解】设c=因为向量a=(所以a+2又a+2所以3,−3k=0时不成立，所以k≠0，所以y=−3选项A，c=(3,−1)选项B，c=(−1,−3)选项C，c=(−3,−1)选项D，c=(−1,3)故选：D.1.（2024·湖北武汉·二模）已知点A,B,C,D为平面内不同的四点，若BD=2DA−3DC，且【答案】(−6,3)【分析】利用向量的线性运算，即可得解.【详解】由BD=2DA−3DC得：又因为AC=(−2,1)，所以AB故答案为：−6,3.2.（2024·福建泉州·模拟预测）菱形ABCD中，AB=1,t，BD=2,2，则【答案】-3【分析】根据菱形的对角线互相垂直，向量的数量积为0，列方程求出t的值．【详解】由题意，在菱形ABCD中，AB=1,t，可得BC=AC=∴AC⋅解得：t=−3．故答案为：-3．3.（2023·内蒙古赤峰·三模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=120°，∠DAC=30°，AB=1，AC=3，AD=2，AC=xAB+y

A．23 B．2 C．3 【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，根据AC=x【详解】以A为坐标原点，以AD为x轴，过点A作AD的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

则A(0,0),B(−1故AC=(则由AC=xAB+y即33故x+y=23故选：A4.（2023·江西·模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AC⊥CD,AB=BC=CD，若AC=λAB+μA．43 B．2 C．32【答案】B【分析】设AB=2，建立以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y【详解】设AB=2如图，以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(−1,0),B0,−1,C1,0因为AC=λAB+μ所以λ+2μ=2−λ+解得λ=22−2,μ=2−2故选：B5.（2024·北京·三模）已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λ【答案】−4【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后表示出a,b,c的坐标，代入【详解】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则a=(0,4)−(1,6)=(−1,−2)，b=(7,2)−(1,6)=(6,−4)，所以λa因为c=λ所以(−5,−2)=(−λ+6μ,−2λ−4μ)，所以−λ+6μ=−5−2λ−4μ=−2，解得λ=2，μ=−所以λμ故答案为：−4考点三、利用向量共线求参数1.（2024·内蒙古包头·三模）已知向量a=1,−1，b=m+1,2m−4，若A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】结合向量的坐标运算与向量平行定义计算即可得.【详解】由a=1,−1，则a+b=由a+b//即6−6m=0，故m=1.故选：D.2.（2024·陕西渭南·二模）已知向量a=t−3,−1，b=2,t，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量平行的坐标运算得到方程，求出t=1或2，从而结合充分条件、必要条件判断出结论.【详解】若a∥b，则tt−3故“t=2”是“a∥故选：A1.（2024·江西南昌·模拟预测）已知a=(1,2),b=(−1,3)，若(ka+【答案】−2【分析】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.【详解】因为a=(1,2),b=(−1,3)，所以2由(ka+b)//(2a故答案为：−22.（23-24高三上·江西·期中）已知平面向量a→=1,m，b→=−2,1，c→=【答案】−2【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可.【详解】因为a→=1,m因为c→=n,2所以m+n=2−4=−2.故答案为：−2.考点四、利用向量共线求向量与点坐标1.（·上海·高考真题）已知点A1,−2，若向量AB与a=2,3同向，AB=213，则点B的坐标为【答案】（5，4）【分析】设Bx,y，则AB=λa，λ>0，则x−1,y+2=2λ,3λ【详解】设Bx,y，则AB=λa，λ>0，则x−1,y+2AB=λa=λ13=2故答案为：5,4.【点睛】本题考查了向量平行，向量的模，意在考查学生的计算能力和转化能力.2.（2024·全国·模拟预测）已知M4,−2，N−6,−4，且MP=−A．1,1 B．9,−1 C．−2,2 D．2,−1【答案】B【分析】由M,N的坐标得出−12MN，设点Px,y，得出【详解】因为M4,−2，N所以−1设Px,y，则MP又MP=−所以x−4=5y+2=1，解得x=9所以点P的坐标为9,−1．故选：B．1.（2024·陕西宝鸡·三模）已知向量a=(m,2)与b=(−2,−4)共线，则A．(10,8) B．(4,8) C．(0,0) D．(1,2)【答案】B【分析】根据共线向量的坐标表示即可求解【详解】因为a→所以−4m=−4，解得m=1，所以a→所以2a故选：B2.（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线E：y2=4x的焦点为F，直线AB，CD过F分别交抛物线E于点A，B，C，D，且直线AD，BC交x轴于N，M，其中N2,0，则M【答案】(12【分析】设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，用点B的坐标表示点A的坐标，同理用点C的坐标表示点D的坐标，再利用共线向量的坐标表示求解即得.【详解】依题意，F(1,0)，显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=ty+1，由x=ty+1y2=4x消去x得：y2−4ty−4=0，设A(于是点A(4y02,−4y显然NA//ND，则−4y2设M(m,0)，则MB=(y0因此−2y0(y解得m=12，所以M故答案为：(

3.（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量a=3，b=1,2，且a//b【答案】355,【分析】设a=(x,y)【详解】设a=(x,y)因为向量a=3，b=1,2所以x2+y2于是a=35故答案为：355,4.（22-23高三·全国·对口高考）已知点A(1,−2)，若AB与a=(2,3)的夹角是180∘，|AB【答案】−3,−8【分析】由向量AB与a=(2,3)的夹角是180∘，知向量AB与a方向相反，设Bx,y，则AB=λa，λ<0，则x−1,y+2【详解】由向量AB与a=(2,3)的夹角是180所以向量AB与a方向相反，设Bx,y，则AB=λa则x−1,y+2=故x=2λ+1y=3λ−2所以AB=故λ=2⇒λ=±2，由λ<0所以λ=−2，故x=−3y=−8故答案为：−3,−8.1．（23-24高三上·天津·期中）与向量a=3,−1和A．255B．55,C．255D．55,−【答案】A【分析】根据题意可得a=b，故所求向量与【详解】设所求向量为c，因为a=10=b，又c与a，b的夹角均相等，由平行四边形法则可得设c=λa+b=λ4,2，则c=2故c=25故选：A.2．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在△ABC中，M是AC边上一点，且AM=2MC，若BM=xA．−13 B．13 C．−【答案】D【分析】根据图形的特征，则向量的线性运算，把BM用BA,BC表示，得到【详解】△ABC中，M是AC边上一点，且AM=2

则BM=所以y的值为23故选：D3．（20-21高三上·天津红桥·期中）设0<θ<π2，向量a=sin2θ,cosθA．1 B．13 C．2 D．【答案】D【解析】由a//b可得sin2θ=cos2【详解】∵a//b，∴∵0<θ<π2，∴2sinθ=cos故选：D.4．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知平面内三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)，若(【答案】−【分析】先表示出a+k【详解】因为a=(3,2)，b=(−1,2)，a+k2b因为(a+kc所以13k+16=0，解得：k=−16故答案为：−5．（21-22高三上·天津·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=2，AC=23，AD=12，∠CAB=π6，AD⋅AB=−12【答案】06【分析】根据题意和余弦定理求得BC=2，利用平面向量的数量积求出∠BAD=2π3，进而可得∠CAD=π2，即AD⋅AC=0；以A为原点，以AB为x轴，y轴⊥AB【详解】因为AB=2，所以BC所以BC=2，又AD⋅所以AD⋅得cos∠BAD=−12所以∠CAD=∠BAD−∠CAB=2π则AD⊥AC，即以A为原点，以AB为x轴，y轴⊥AB建立如图平面直角坐标系，则A(0,0)，所以AB=(2,0)，AC又AC=m所以3=2m−n43=3故答案为：0；6.6．（21-22高三上·全国·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为CD的中点，若EF=2FB，AF=λAB+μ【答案】7【分析】建立如下图的平面直角坐标系，求出各点坐标，由平面向量线性运算的坐标表示可得AF的坐标，由AF=6λ,4μ，列方程组，解方程组可得λ和【详解】建立如下图的平面直角坐标系，

由已知得B6,0，D0,4，E3,4由EF=2FB得设Fx,y，则x−3,y−4可得x−3=2y−4=−83，解得x=5y=4又因为AF=λ所以4μ=436λ=5，解得λ=56故答案为：767．（20-21高三上·天津·期末）如图，在边长1为正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，则AM⋅AC=，若AC=λ【答案】32【解析】设向量AB=a,AD=b，根据向量的数量积的运算公式，可求得【详解】设向量AB=a,可得AM⋅λAM⃑+μ又因为AC=a+b，可得λ−11．（2024·天津·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=2，AC=5，cos∠CAB=35，D是边BC上一点，且BD=2DC.若BP=34AD，记PD=λAB+μACλ,μ∈R，则【答案】−34/−0.753【分析】把BD=2DC两边用AD,AB,AC表示即可得解；利用共线向量建立BP，【详解】BD=2∴AD−∴AD=则PD=−11又PD=λAB+μAC所以λ+μ=−3∵BP与AD共线，∴可设BP=xAD，∵AD=∴BP=∴PA=−=−xPC=PA+∴PA⋅PC=x∵AB=2,AC=5,cos∴AB2=4，AC2=25把②代入①并整理得：∴PA⋅∵PA⊥∴PA⋅∴1289解得：x1∴BPAD=x=故BPAD的值为34或故答案为：−34；342．（2024·天津·二模）在四边形ABCD中，∠A=120∘，AC=1，AB=2DC，M为AD中点．记AD=a,AB=【答案】12a【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出BM；利用数量积的运算律及定义，余弦定理、基本不等式求出最大值即得.【详解】由M是AD中点，AD=a,在四边形ABCD中，令AD=m,DC=n，由AB=2DC，得由∠BAD=120∘，得∠ADC=60AC2=AD2由AN=14DC，得因此ND=1所以ND⋅BM的最大值为故答案为：12a3．（2024·天津南开·一模）平面四边形ABCD中，AB=2，∠ABC=π3，AC⊥AB，E为BC的中点，用AB和AE表示AC=【答案】2AE⃗【分析】由向量的加减法运算求解第一个空，利用平面向量定理结合数量积运算律求解第二个空.【详解】因为2AE⃗=AB⃗∵AB=2，则AD=2×2cos若ED=2，则D在以E为圆心的圆上且在直线AC的左侧部分运动，ED⃗ED⋅AB=2×2cosED,AB故AD⋅AB的最小值为故答案为：2AE⃗−4．（2024·天津河东·一模）已知△ABC，如图所示，点E为BC中点，点D满足AD=13AB，记CA=a,CB=b，用

【答案】23【分析】根据平面向量的线性运算计算即可得ED；利用转化法求a⋅【详解】ED=由题意，△BCD为等腰三角形，则BC=2BE=2×1tan30所以a=2×23故答案为：235．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，AF=2FE，若设BA=a,BC=b，则BF可用a，b表示为；若【答案】23a【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运算公式，结合基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算法则，可得BF=设a=m,b=n，因为△ADE的面积为32，可得又由BF=49(所以BF的最小值为43故答案为：23a+6．（23-24高三上·天津·阶段练习）如图，在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，E、F分别为BC、CD上的点．CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且满足AM=12AB+56【答案】73[−3736【分析】根据模长公式即可由数量积的运算律求解空1，用基底AB，AD表示AN，MN，然后求数量积，再由函数性质得出取值范围．【详解】由AM=12所以AM=设DN=xDB，x∈[0,AB⋅所以AN=MN=所以AN=x(x−=4x(x−=4x因为x∈[0,1]，所以AN⋅MN∈[−故答案为：73；[−37367．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,AB⋅AC=3，点D是BC的中点，点E在边AC上，3AE=AC,BE交AD于点F，设BF=λAB+μACλ,μ∈R

【答案】−12/−0.5【分析】利用平面向量的基本定理计算即可得空一，利用平面向量数量积的运算律计算即可得空二.【详解】

设AF=m由题意可知AD=12则AF=因为AB、AC不共线，所以有n3此时BF=可设BG=k则BF⃗=当C、G重合时取得等号.故答案为：−12；1.（2022·全国·高考真题）在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，A．3m−2n B．−2m+3n【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即所以CB=3CD−2故选：B．2.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设AB=a，AD=

A．12a+b B．12a【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC，则AC为△ABC的中位线，∴EF=

故选：A3.（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ=；F为线段BE上的动点，【答案】43【分析】解法一：以BA,