上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海实验学校高一期中数学试卷2024.11一.填空题1.已知集合，，则______.2.不等式的解集为_____.3.若，，则的取值范围是_____.4.已知，，且，则的最小值为_____.5.若存在，使得成立，则的取值范围是6.已知对于任意，，则实数的取值范围为_____.7.已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是_____.8.关于的不等式的解集为_____.9.若实数、、满足，，则的最小值是_____.10.将在区间上的最大值记为，则的最小值为_____.二.选择题11.以下选项中，是集合的元素的是（）A. B. C. D.12.如果、、满足且，那么下列选项中不一定成立的是（）A. B. C. D.13.大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为、两地的大气压强分别为、.若测得某地的大气压强为，则该地的海拔约为（）A.2415 B.2653 C.2871 D.302514.已知：集合或集合，，则是的（）条件A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要三.解答题15.（1）已知，，试用、表示；（2）已知，求的值.16.解关于的不等式：.17.集合，，.（1）若，求；（2）若，求的取值范围；（3）若，求的取值范围.18.对给定的正整数，令.对任意、，定义与的距离，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征值，记作.（1）设，，直接写出集合、的特征值；（2）当时，求证：存在集合满足对任意，都存在唯一的，使得，且中不同元素之间的距离为4049；（3）当时，且，求中元素个数的最大值（用表示）.四.附加题19.已知集合中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对任意的、，且，都有.（1）求证：；（2）求集合中元素个数的最大值，并说明理由.20.已知，，、、、，满足：对任意，则，如果，则的最小元素不等于中的最大元素，也不等于中的最大元素.（1）当时，列出，，；（2）当时，求出的最大值并说明理由.

参考答案一.填空题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.二.选择题11.A12.B13.C16.C三.解答题15.【详解】（1）（2），16.【详解】①时，解集为②时，解集为③，解集为④时，解集为⑤时，解集为17.（1）由，得或，则{或}.若，则，，所以{或}.（2）①时，，此时，解得②时，，此时恒成立.因此（3）①时，，若，，恒成立.②时，，若，，无实数解③时，，则，无实数解综上所述，18.【详解】（1）由题意可知：对任意，，且，均有，对于集合：对任意，，且，均有，所以；集合取或或，可得，所以.所以，.（2）对任意，，则，且，，对任意，定义，则，且对任意，则，令集合，由可知满足中不同元素之间的距离为4049，由题意可知：对任意，且，均有，若，则令，即满足；若，则令，则，即满足综上所述：存在集合满足对任意，都存在唯一的，使得，且中不同元素之间的距离为4049.（3）由题意可知：对任意，，且，均有，对任意的，即，则，故，即对任意，均能对应一个元素，令集合，则，则且和的元素个数相同，又因为中共有个元素，其中至多一半属于，故中至多有个元素；设是偶数，此时{是奇数}，都有中的元素个数为，易得与奇偶性相同，可知为偶数，又，则，所以，注意到，且它们的距离为2，故此时满足题意；综上所述：中元素个数的最大值为.四.附加题19.【详解】（1）依题意有：，又，可得：，所以有：，即.；得证；（2）取集合符合要求，猜想最大值为7.假设，首先，由得，即，其次，，此时矛盾.故假设不成立，最大值为7.20.1），，2）一方面，考虑为的非空子集，令，显然满足要求，.