2024-2025学年云南省昆明某中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省昆明三中高三（上）第一次月考

皿「，、忆\__IX、/A

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，集合力、B均为U的子集，（C〃l）CB表示的区域为（)

A.I

B.II

C.III

D.IV

2.已知等差数列｛a“｝的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式即等于（）

A.2n+1B.2n-1C.2?i—3D.2n—5

0,3

3.若a=O,2,b=0.3%c=log050.3,则a,b,c的大小关系为（）

A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

logi(3-x),(%<0)

4.设函数f（x）=，贝叶（20）=（）

/(x-3)+1,(%>0)

A.3B.4C.5D.Iogil7

2

5.如图：正方体力BCD的棱长为2,E为。必的中点,过点。作正方体截面使其与平面4EG平

C.4<6D.4<3

6.团ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若边上的高为2c,4=%贝UcosUCB=（）

4

A/Ton3AA10c3/5n/5

B.=C.—D-T

7.一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4个球，已知有两

个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为（）

An_n_____________

8.已知正项等比数列｛厮｝的前几项和为Sn，且满足anSn=Tj,设只=9j21og2（S'+l）,将数列｛配｝中的

整数项组成新的数列｛%｝,贝此2024=（）

A.2022B.2023C.4048D.4046

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A-

结伴步行，自行乘车，C—家人接送，。一其他方式.并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统

计图.根据图中信息，下列说法正确的是（）

学生上学方式扇形统计图

学生上学方式条形统计图

方50

Y

D占15%

C占25%

A.扇形统计图中。的占比最小

B.条形统计图中a和c一样高

C.无法计算扇形统计图中力的占比

D.估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送

10.关于“的方程/=一4的复数解为Zi，Z2,贝|J（）

A.-z2=-4

B.Zi与Z2互为共轨复数

C.若zi=2i,则满足z/i=2+i的复数z在复平面内对应的点在第二象限

D.若|z|=l,则|z—z「Z2|的最小值是3

11.已知尸2分别是椭圆C：真+，=l（a>b>0）的左、右焦点，P是椭圆C上一点，贝）

A.当a=Ylb时，满足N&PF2=90。的点P有2个

B.EPaB的周长一定小于4a

2

C.EPF1F2的面积可以大于与n

D.若|PFJ<2b恒成立，贝UC的离心率的取值范围是(0,|]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在△力8C中，E为AC的中点，。是线段BE上的动点，若加=x^+y前，贝U

的最小值为.

13.已知变量％与y的一组样本数据Qi，%),(x2,y2)>■■■>(久6，>6)满足尤1万2支3久4刀5分=e?.,

2y3y4y5y6=e18-3,对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得iny=1+binx,若变量z=

2y-0.5x,则当z的预测值最大时，变量久的取值约为.(e2«7.4,结果保留1位小数)

14.定义在(0,+8)上的函数/1(%)的导函数为广(%),当比>0时，xf'(x)<1,且/(e)=3,则不等式/(/)一

21nx<2的解集为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知函数/'(久)=6cosxsin(x—^)+1.

(1)求/(乃的最小正周期和单调增区间；

(2)若函数y=/(%)-a在久6哈笥存在零点，求实数a的取值范围.

16.(本小题12分)

已知抛物线C：y2=3%的焦点为尸，斜率为|的直线/与C的交点为A,B,与无轴的交点为P.

(1)若|4F|+\BF\=4,求Z的方程；

(2)若丽=3而，求|4B|.

17.(本小题12分)

已知函数/(%)=ax2—Inx+(2a—1)%,其中aGR.

(1)讨论f。)的单调性;

(2)设a>0,若不等式f(%)》0对%€(0,+8)恒成立，求a的取值范围.

18.(本小题12分)

现有外表相同，编号依次为1,2,3,九(n23)的袋子，里面均装有几个除颜色外其他无区别的小球，

第=1,23…，九)个袋中有k个红球，九一々个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个

球.

(1)当九二4时,

①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；

②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率;

1

P<

(2)记第三次取到白球的概率为p,证明:2-

19.(本小题12分)

离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为

1.

0P=1-石QQ1PQ2+NQ2PQ3+…乙Qk—PQk+NQkPQJ，其中Q2=L2,…,k,k>3)为多面体M的所有

与点P相邻的顶点，且平面Q/Q2，平面Q2PQ3，…，平面吸-iPQk和平面QkPQi为多面体M的所有以P为公

共点的面.

(1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和；

(2)如图，已知在三棱锥P一力BC中，PA1平面力BC,AC1BC,AC=BC,三棱锥P-ABC在顶点C处的离

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；

②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面力BC所成的角的最大值.

参考答案

1.D

2.C

3.C

4.C

5.B

6.5

7.C

8.C

9.ABD

10.BD

11.ABD

12.9

13.29.6

+oo)

15.W：(1)/(%)=6cosxsin(x—^)+|=6cos久(苧sinx—|cosx)+|

=3V-3sinxcosx—3cos2x+1=^-^sin2x—3Xl+c：s2"+J=3(空sm2xcos2x)=3sin(2x—7)，

LLLL6

所以函数f(X)的最小正周期为T=y=7T,

令——+2kn<2%——<—+k€Z,则一2+kn<x<—+kn,kE.Z,

Loz2/OT,63

・•・函数f(x)的单调递增区间为［Y+k兀谭+同(keZ).

(2)令y=f(x)—a=0,即3sin(2x—*)—a=0,则sin

y=f(x)-a在xe层涔］存在零点，则方程sin(2x-弓)=掾在无€限上有解，

若xe居,1时,则2%—旨［0,用,Wsin(2x-g6［0,1］,

0<I<1,得0WaW3

故实数a的取值范围是[0,3].

16.解：(1)设直线y=-x+t,4(xi，为)，B(,x2ly2),

由题意，可得尸信0)，故|4F|+|B得=)+X2+|,

因为MF|+\BF\=4,

=

所以X1+x2

，3

=x+t

联立y2,整理得9/+12(t-1)X+4t2=0,

y2=3x

可知：Z1>0,

由韦达定理可知，/+不=一若工，

从而—譬2=1,解得t=_,

所以直线I的方程为3/='万一卷.

Lo

(2)设直线〃y=-X+m,4(%i，yi),B(x2,y2^

由/P=3PB,可得力=-3y2f

联立卜=2x+m,整理得于一2y+27n=0,

\y2=3x

可知：4>0,

由韦达定理可知，丫1+丫2=2，

又为=-3y2，解得yi-3,y2=-1,

1

--3

代入抛物线C方程得，%1=3,%2

即4(3,3),

故|4B|二J(3一,+(3+1)2=苧.

17廨：⑴

由题意可知：f(x)的定义域为(0,+8),且f'(x)=+2Q—1=(2g一；)(计1),

当a<0时,f'(x)<0恒成立,则f(x)在(0,+8)上单调递减;

当a>0时，令尸。)<0,解得0<x<；

令广(久)>0,解得%>=-1；

则f(久)在(0,不上单调递减，在点+8)上单调递增；

综上所述：当aWO时，"X)的单调减区间为(0+8),无单调增区间；

当a>0时，/(久)的单调减区间为(0,点)，单调增区间为点+8).

(2)

当a>0时，由(1)可知f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

故"》)的最小值为/忌)=ax(3―1喘+(2a—1)x/=ln(2a)-2+L

因为不等式/(%)+1》0对xG(0,+8)恒成立，

所以ln(2a)—2+1+^20.

设g(x)=lnx-^+1+l,

11

则g(%)的定义域为(0+8),且“(%)=-+^2>0恒成立，

可知g(%)在(0+8)上单调递增.

因为g(5)=0,

所以ln(2a)-T-+l+^>0,

4az

即g(2a)>g(一)，可得2a>—>即a2.

\c✓eze

综上所述a的取值范围是七+8).

18.解：(1)①记“已知选中的恰为2号袋子，第三次取出的是白球”为事件4

故已知选中的恰为2号袋子，第三次取出的是白球的概率为卷

②记“选中的是第k个袋子”为事件为(k=123,4),

1

则取两两互斥，且P(BQ="

记“第三次取出的是白球”为事件C,

则P(2C)=P(8i)P(C|8i)=[X第

一44

=1x3x3x2_3_

44x3x216’

1CoAo

P(BzC)=P(S2)P(C|B2)=%x餐

4^4

12x3x21

=-X------=

44x3x28

1AI

P(殳……3)〒公

13x21

-X------=—，

44x3x216

1

P(BC)=P(84)P(C|B4)=；x0=0,

44

所以在第三次取出的是白球的条件下,

恰好选的是3号袋子的概率为

IP(BQP(BQ

「(DJIG=p(3c)=P(BiC)+P(B2G+3P(B3(J)+P(B4C)

一年一1

K+'o6,

故在第三次取出的是白球的条件下，恰好选中的是3号袋子的概率%

(2)证明：记”选中的是第k个袋子”为事件B/k=1,2,3,-,n),

则取两两互斥，且P(BQ=3.

记“第三次取出的是白球”为事件C,

则P(C|BQ=%*!=1，

所以p=2kp(CBQ=HUP(BQP(C|BQ

1l\^n—k

=nAP(™=nZ^r

fc=lfc=l

1(n-l)+(n-2)+--+0

——X--------------------------------------------------------

nn

111d

1-(n5-—l)n1n—111_1

——X-----=-X--——————〈―,得证.

nnn222n2

19.解：(1)由离散曲率的定义得：%=1一机(乙4PB+ABPC+NCP/1),

B=1一((zSXP+^CAP+ABAC),

=1-("BP+乙CBP+N4BC),

1

%=1—-(4ACB+乙BCP+NACP)，

1

四个式子相加得：①p+B+1PB+④c=4——X4兀=2.

如图，分别取4C,BC,4P的中点，及F,^AE,DE,DF,EF,显然有PC〃。凡

所以NFDE为异面直线4B与PC的夹角或其补角，设力C=BC=2,

因为乙4cB=90。，所以AB=20,AE=/5,

因为尸41平面ABC,AB,AC,AE,BCc^®X5C,

所以PA1AB,PALAC,PALAE,PA1BC,

因为ACIBC,PACtAC=A,PA,ACu平面PAC,所以BC1平面P力C,

又因为PCu平面PAC,所以BC1PC,

1_1