2024-2025学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数单元素养评价含解析苏教版必修第一册

PAGE单元素养评价(三)(第6章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.(2024·荆州高一检测)若幂函数f(x)=xa的图像过点(4,2),则f(a2)=()A.a B.-a C.±a D.|a|【解析】选D.由题意f(4)=4a=2,解得a=QUOTE,所以f(x)=QUOTE,所以f(a2)=(a2QUOTE=|a|.2.设a∈QUOTE,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的全部a的值是()A.1,3 B.-1,1C.-1,3 D.-1,1,3【解析】选A.当a=-1时,y=x-1的定义域是QUOTE,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a=QUOTE时,函数y=QUOTE的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数.当a=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.3.函数y=QUOTE的值域是 ()A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.(0,1] D.[1,+∞)【解析】选D.由于QUOTE≥0,所以函数y=QUOTE≥30=1,故函数的值域为[1,+∞).4.(2024·龙海高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=log2(x+2)-1,则f(-6)= ()A.2 B.4 C.-2 D.-4【解析】选C.由题意可得f(6)=log2(6+2)-1=2,由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以,f(-6)=-f(6)=-2.5.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1【解析】选D.因为函数单调递减,所以0<a<1,当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时loga(x+c)=logac>0,即c<1,即0<c<1.6.已知函数f(x)=QUOTE且f(a)=-3,则f(6-a)= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.由于f(a)=-3,①若a≤1,则2a-1-2=-3整理得2a-1=-1,由于2x>0,所以2a-1=-1无解,②若a>1,则-log2(a+1)=-3,解得a+1=8,a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-QUOTE.7.(2024·三明高一检测)已知函数f(x)=QUOTE的值域为[-8,1],则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,-3] B.[-3,0)C.[-3,-1] D.{-3}【解析】选B.当0≤x≤4时f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以-8≤f(x)≤1;当a≤x<0时,f(x)=-QUOTE,所以-QUOTE≤f(x)<1,因为f(x)的值域为[-8,1],所以QUOTE故-3≤a<0.8.(2024·永清高一检测)函数f(x)的定义域为D,若满意①f(x)在D内是单调函数;②存在[m,n]⊆D使f(x)在[m,n]上的值域为QUOTE,那么就称y=f(x)为“胜利函数”,若函数f(x)=loga(ax+t)(a>0,a≠1)是“胜利函数”,则t的取值范围是、()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为f(x)=loga(ax+t)(a>0,a≠1)是“胜利函数”,当a>1时,f(x)在其定义域内为增函数,当0<a<1时,f(x)在其定义域内为增函数,所以f(x)在其定义域内为增函数,由题意得f(x)=loga(ax+t)=QUOTE,所以ax+t=QUOTE,ax-QUOTE+t=0,令m=QUOTE>0,所以m2-m+t=0有两个不同的正数根,所以QUOTE,解得t∈QUOTE.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列说法正确的是()A.若幂函数的图象经过点QUOTE,则解析式为y=x-3B.若函数f(x)=QUOTE,则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=xα(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f(x)=QUOTE,则对于随意的x1,x2∈[0,+∞)有QUOTE≤fQUOTE【解析】选CD.若幂函数的图象经过点QUOTE,则解析式为y=QUOTE,故A错误;函数f(x)=QUOTE是偶函数且在QUOTE上单调递减,故在QUOTE上单调递增,B错误;幂函数y=xα(α>0)始终经过点QUOTE和QUOTE,C正确;随意的x1,x2∈[0,+∞),要证QUOTE≤fQUOTE,即证QUOTE≤QUOTE,即证QUOTE≤QUOTE,即证(QUOTE-QUOTE)2≥0,易知成立,故D正确.10.对于0<a<1,下列四个不等式中成立的是 ()A.loga(1+a)<logaQUOTEB.loga(1+a)>logaQUOTEC.a1+a<QUOTED.a1+a>QUOTE【解析】选B、D.因为0<a<1,所以a<QUOTE,从而1+a<1+QUOTE.所以loga(1+a)>logaQUOTE.又因为0<a<1,所以a1+a>QUOTE.11.设函数f(x)=2x,对于随意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是 ()A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.QUOTE>0D.fQUOTE<QUOTE【解析】选ACD.QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以A成立,QUOTE×QUOTE≠QUOTE,所以B不成立,函数f(x)=2x,在R上是单调递增函数,若x1>x2则f(x1)>f(x2),则QUOTE>0,若x1<x2则f(x1)<f(x2),则QUOTE>0,故C正确;fQUOTE<QUOTE说明函数是凹函数,而函数f(x)=2x是凹函数,故D正确.12.(2024·滕州高一检测)已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有 ()A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.若0<x1<x2,则QUOTE<fQUOTE【解析】选ACD.由题知2=loga4,a=2,故f(x)=log2x.对A,函数为增函数,正确.对B,f(x)=log2x不为偶函数.对C,当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立.对D,因为f(x)=log2x往上凸,故若0<x1<x2,则QUOTE<fQUOTE成立.三、填空题(每小题5分,共20分)13.(2024·沈阳高一检测)若幂函数f(x)的图象过点(2,QUOTE),则函数y=f(x)+1-x的最大值为.

【解析】设f(x)=xα,因为f(x)的图象过点(2,QUOTE),所以f(2)=2α=QUOTE,所以α=QUOTE,则f(x)=QUOTE,y=QUOTE+1-x=-QUOTE+QUOTE,故其最大值为QUOTE.答案:QUOTE14.(2024·石嘴山高一检测)不等式QUOTE>1的解集是.

【解析】QUOTE>1⇔x2-2x-3<0⇔-1<x<3.答案:QUOTE15.设f(x)=QUOTE则f(f(2))=.

【解析】因为f(2)=log3(22-1)=1,所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.答案:216.已知函数f(x)=QUOTE为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=,fQUOTE=.

【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,因为函数f(x)=QUOTE为奇函数,所以f(-x)=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,即b·2x-1=-b+2x,所以b=1,所以fQUOTE=QUOTE,所以fQUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE-3.答案:12QUOTE-3四、解答题(共70分)17.(10分)(2024·南昌高一检测)已知函数f(x)=2x-4x.(1)求y=f(x)在[-1,1]上的值域;(2)解不等式f(x)>16-9×2x;(3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在[-1,1]上有解,求m的取值范围.【解析】(1)设t=2x,因为x∈[-1,1],所以t∈QUOTE,y=t-t2=-QUOTE+QUOTE,所以t=QUOTE时,f(x)max=QUOTE,t=2时,f(x)min=-2.所以f(x)的值域为QUOTE.(2)设t=2x,由f(x)>16-9×2x,得t-t2>16-9t,即t2-10t+16<0,所以2<t<8,即2<2x<8,所以1<x<3,所以不等式的解集为{x|1<x<3}.(3)方程有解等价于m在1-f(x)的值域内,所以m的取值范围为QUOTE.18.(12分)若函数y=f(x)=QUOTE为奇函数.(1)求a的值;(2)求函数的定义域;(3)求函数的值域.【解析】因为函数y=f(x)=QUOTE=a-QUOTE,(1)由奇函数的定义,可得f(-x)+f(x)=0,即2a-QUOTE-QUOTE=0,所以a=-QUOTE.(2)因为y=-QUOTE-QUOTE,所以3x-1≠0,即x≠0.所以函数y=-QUOTE-QUOTE的定义域为{x|x≠0}.(3)因为x≠0,所以3x-1>-1.因为3x-1≠0,所以-1<3x-1<0或3x-1>0.所以-QUOTE-QUOTE>QUOTE或-QUOTE-QUOTE<-QUOTE.即函数的值域为QUOTE.19.(12分)已知a>2,函数f(x)=log4(x-2)-log4(a-x).(1)求f(x)的定义域;(2)当a=4时,求不等式f(2x-5)≤f(3)的解集.【解析】(1)由题意得:QUOTE解得QUOTE因为a>2,所以2<x<a,故f(x)的定义域为QUOTE.(2)因为a=4,所以f(2x-5)=log4(2x-7)-log4(9-2x),f(3)=log41-log41=0,因为f(2x-5)≤f(3),所以log4(2x-7)-log4(9-2x)≤0,即log4(2x-7)≤log4(9-2x),从而QUOTE解得QUOTE<x≤4,故不等式f(2x-5)≤f(3)的解集为QUOTE.20.(12分)对年利率为r的连续复利,要在x年后达到本利和A,则现在投资值为B=Ae-rx,e是自然对数的底数.假如项目P的投资年利率为r=6%的连续复利.(1)现在投资5万元,写出满n年的本利和,并求满10年的本利和.(精确到0.1万元)(2)一个家庭为刚诞生的孩子设立创业基金,若每年初一次性给项目P投资2万元,那么,至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?(精确到1年)【解析】(1)由题意可得5=A·e-0.06n,所以A=5·e0.06n;当n=10时,A=5·e0.6≈9.1万元.(2)n年后的本利和为A=2·e0.06n+2·e0.06(n-1)+2·e0.06(n-2)+…+2·e0.06=2·QUOTE,令2·QUOTE>100,可得n>22.7.所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.21.(12分)已知函数f(x)=log2QUOTE.(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围.(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,求得a=0.又此时f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0为所求.(2)函数f(x)的定义域是一切实数,则QUOTE+a>0恒成立.即a>-QUOTE恒成立,由于-QUOTE∈(-∞,0).故只要a≥0即可.(3)由已知函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2QUOTE.由题设log2(1+a)-log2QUOTE≥2⇒QUO