2024-2025学年株洲市炎陵县高二数学上学期10月检测试卷及答案解析

炎陵县2024年下期高二素质检测数学卷（10月）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.已知集合'={T°'1'2},8={-2,1.2},则/n”（）

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-2,0,1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】

利用集合的交运算即可求解.

【详解J集合4={-1,0,1,2},5={-2,1,2）,

则幺口5={1,2}.

故选：C

2.已知x>l,则x+一一的最小值为（）

X—1

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本不等式直接求解即可.

【详解】解：因为x>l,所以x—1>0,

所以，x+'=（x—1）+,+122（x—1>,+1=3,当且仅当x—1=二时等号成立，即x=2

x—1x—1vx—1x—1

时等号成立，

所以，X+，的最小值为3

X—1

故选：B

3.函数的定义域是

yjx-3

A.（-8,3）B,（3,+oo）c.D.[3,+co）

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式和根式的要求，得到关于X的不等式，求出答案.

【详解】函数/（"=下

所以％-3>0,得1>3,

所以可得函数/（X）的定义域为（3,+8）,

故选瓦

【点睛】本题考查求具体函数的定义域，属于简单题.

4.化简（1-cos30°）（l+cos30°）得到的结果是（）

31

A.-B.-C.0D.1

44

【答案】B

【解析】

【分析】（方法一）根据同角的三角函数关系求解即可；

（方法二）根据特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】解：（方法一）（1-COS30°）（1+COS30'）=1—cos230°=sin230。

（方法二）（1-cos30。）（1+cos30。）

故选：B.

【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

5.向量；=（1,—2）,6=（2,1）,则（）

A.a11bB.a_Lb

c.&与5的夹角为60。D.&与5的夹角为30。

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意求出两向量的数量积，即可判断两向量的位置关系.

【详解・向量a=（l,—2）,6=（2,1）,

a%=lx2+(-2)xl=0,

-'-aLb-

故选：B.

【点睛】本题考查数量积的坐标表示，属于基础题.

6.甲，乙，丙三个车间生产的某种产品的件数分别为120,80,60.现采用分层抽样的方法从中抽取一个容

量为〃的样本，若从乙车间生产的产品中抽取4件，则〃=（）

A.10B.12C.13D.14

【答案】C

【解析】

【分析】根据抽样比可求〃的值.

48080

【详解】根据分层抽样有一=故〃=13,

n120+80+60260

故选：C.

7.下列条件中，能说明空间中不重合的三点/、B、C共线的是（）

A.AB+BC=ACB.AB-^C=AC

C.|2BH5C|AB=BC

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间中不重合的三点共线的条件，逐一考查所给的选项是否正确即可.

【详解】对于空间中的任意向量，都有AB+BC=AC，说法A错误;

若万一灰=充,则就+就=五，而%+3=万，据此可知配=瓦，即民C两点重合，选项

B错误;

\AB^BC\,则线段48的长度与线段8C的长度相等，不一定有/、B、C三点共线，选项C错误;

~AB=^C，则/、B、C三点共线，选项D正确;

故选：D.

8.已知1=（1一//一/,/）,b=（2,t,t）,贝修万一的最小值为（)

D.叵

R序11

D.-------------C.—

A・竽555

【答案】A

【解析】

【分析】先求出5的坐标，然后由模的坐标运算把模表示为「的函数，利用函数性质可得最小值.

［详解］已知1=(I-//一//),b=,a-b=(-1-1,1-2t,0).

|/一6|=J(1+/)2+(1—2/)2=小5t2-2/+2=/［一+-^>~~~•

当/=g时，团―有最小值挈.

故选：A.

【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查模的坐标运算，属于基础题.

二、多项选择题(每小题6分，3个小题共18分，全部选对得6分，有选错的得0分，部分

选对的得部分分.)

9.给出下列四个条件：①X『〉"2；②x/>"；③x2〉y2；(4)0<-<-.其中能成为X>歹的充分

Xy

条件的是()

A.①B.②C.③D.④

【答案】AD

【解析】

【分析】由不等式的性质和充分必要条件逐一判断，可得选项.

【详解】①由〉"2可知产〉0，所以x>〈,故2nx〉y；

②当，>0时，x>y.当/<0时，x<y,故"〉"，不能推出x>V；

③由—>/，得忖〉3,但不能推出x>九故/〉/不能推出了〉九

④0<—<—

xy

故选：AD.

【点睛】本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，属于基础题.

10.以下四个命题正确的有()

A.三个平面最多可以把空间分成八部分

B.若直线au平面a,直线6u平面广，贝与b相交”等价于与月相交”

C,若直线au平面a,直线6u平面/，且。口6=尸，a^j3=l,则尸e/

D.若四条直线中任意两条共面，则这四条直线共面

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,三个不同平面可以把空间分成四部分、六部分、七部分、八部分，作图即可判断；对于

B,作图举反例即可淘汰；对于C,直接法证明即可判断；对于D,以正方体为反例淘汰即可.

对于A,由上图可知：三个平面可以把空间分成四部分、六部分、七部分、八部分，最多八部分，所以选

项A正确；

对于B,由上图可知：aC/3=l,kua,k〃l,mu〃I,

直线au平面a,直线bu平面广，且但直线a与直线b并不相交,

所以选项B错误；

对于C,直线au平面a,直线6<z平面/，因为。口6=尸,

所以尸分，又因为所以Pe/,

所以选项C正确；

对于D,如上图，直线42，直线48,直线NC,直线/。任意两条共面，但这四条直线并不共面，所

以选项D错误.

故选：AC.

11.(多选)已知平面a内两向量1=(1,1,1))=(0,2,—1),S.c=ma+nb+(4,-4,l),若己为平面e

的一个法向量，贝I()

A.m--lB.m=lC.n-2D.M=-2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算、数量积运算的坐标形式以及法向量的性质计算求解.

【详解】c=ma+痛+(4,-4,1)=+(4,-4,1)=(m+4,m+2«-4,m-M+l),

c-a=Q,

由"为平面a的一个法向量，得｛-

[c-Z?=0,

m+4+m+2n-4+m-n+l=0,

得4

+2/?-/?+1)=0,

m=-1,

解得〈c故B，D错误.

n=2.

故选：AC.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12,若函数/(X)=310g.(x+4)是定义域内的增函数，且函数g(x)=/—8x+6在区间(-co,a]上单调

递减，则实数。的取值范围是

【答案】(1,4]

【解析】

【分析】因为函数/(x)=31og〃(x+4)是定义域内的增函数，由复合函数的性质得：a>l,

又因为函数g(x)=V-8x+6在区间(-叫刈上单调递减，结合二次函数图像及对称轴得出

«<--=4,最后求出实数。的取值范围即可.

2

【详解】因为函数/(x)=31og〃(x+4)是定义域内的增函数，由复合函数的性质得：a>l,

又因为函数g(x)=V-8x+6在区间(-*a]上单调递减，所以a<-^=4,

所以ae(l,4].

故答案为：(1,4].

13.袋中共有5个球，其中3个白球，2个黑球.从袋中任意抽取2个球，其中恰有一个白球的概率为

3

【答案】-##0.6

5

【解析】

【分析】利用组合数的知识，结合古典概型概率公式可得结果.

【详解】从袋中任取2个球，共有C；=10种取法；其中恰有一个白球的取法有C；C；=6种,

A2

则所求概率/?=—=—.

,3

故答案为：—.

5

14.若向量Z=(l,/,2)1=(—2,1,1),且cos(Z,靖=L则』的值为,

【答案】1

【解析】

【分析】利用空间向量的夹角公式即可得出.

【详解】因为向量Z=("2)花=(—2,1,1),

所以〃•3=-2+，+2=/,

|tz|=Vl2+^2+22=15+产,W=不(—2)2+仔+仔_a,

又COS(Q,B)=',

a-bt1,、

所以雨=忑』"1

解得/=1.

故答案为：1.

四、解答题(本大题共5小题，共15分，解答应写出过程)

15.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调查了100位职员的早餐日平均费用(单位：元),

得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注。的数字模糊不清.

o246s1012早餐日平均费用(元)

(1)试根据频率分布直方图求。的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数和平均数；

(2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？

【答案】(1)。=0.15,众数为5,平均数5.6

(2)200人

【解析】

【分析】(1)由频率和为1得到。的值，频率最高组的中间数即是众数，用每组数据的中间数乘以频率所

得结果即为平均数；

(2)找到满足题意的频率乘以总数即得频数.

【小问1详解】

V0.05x2x3+0.10x2x2+2a=1

a=0.15

众数为5,

平均数(lx0.05+3x0.1+5x0.15+7x0.1+9x0.05+11x0.05)x2=5.6

【小问2详解】

由频率分布直方图可知，平均费用不少于8元的频率为：0.05x2+0.05x2=0.2

.-.1000x0,2=200

.•.试估计该公司有200名职员早餐日平均费用不少于8元.

16.在△NBC中，角481c的对边分别为“。，已知4+C=28,a+c=8,ac=15,求△46C的面积

和边b.

【答案】Sa-='^=V19

【解析】

【分析】由已知，8=60。，利用三角形面积公式S△布=gacsin5,即可求得△ABC的面积；利用余弦

定理，即可求出边b.

【详解】在△NBC中，A+C=2B,则8=60。，

3^.cic=15,

。1.n1«615G

"此2224

又Q+C=8,

则b2=a?+/-laccosB=(Q+-3ac=8?-3x15=19，

则

17.已知函数j^Rj^sinxcosx,xeR.

(1)求/[W]的值；

(2)求/(x)的最小正周期和单调递增区间.

【答案】(1)2

7兀7兀7r

(2)71,E--，也+一GZz

_36_

【解析】

TT

【分析】(1)利用三角函数的恒等式变形及辅助角公式，可化为/(X)=2sin(2x+—),即可求出函数的周

6

期；

(2)利用正弦函数的单调区间以及整体思想来求解，即可得函数的单调递增区间.

【小问1详解】

由;^^in2sinxcos2.^/3sinsin2.：^^

jr

-2sin(2x+—)

一兀、(C兀71|八.兀_

可得/(：)=2sm2x-+-=2sm-=2；

6166J2

【小问2详解】

TT2兀

由/(x)=2sin(2x+-)可得/(x)的最小正周期为T=——=71，

62

令2左兀一542%+.<2左兀+],(左eZ),

解得：kn<x<ATTH—，（keZ）,

36

7TIT

所以/（x）的单调递增区间是：[E-一,k7i+-],/ceZ.

36

18.如图，在棱长为2的正方体45CD—481GA中，点£是CG的中点.

（1）求证：“是平面8DG的一个法向量；

（2）求点4到平面BDQ的距离；

（3）求45与平面BDE所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

⑵迪

3

（3）60°

【解析】

【分析】（1）以。为原点，建立空间直角坐标系，由近•丽=0,A^CDQ=0,得4c，平面

BDC],可得“是平面8£>G的一个法向量；

（2）由点到平面的距离向量求法，可求得点4到平面8£>G的距离；

（3）求出平面的一个法向量3=（1,-1,2）,利用线面角的向量求法，即可求得45与平面瓦）£所成

角的大小.

【小问1详解】

如图，以。为原点，建立空间直角坐标系。一孙z,

正方体ABCD-的棱长为2,

则4（2,0,2）,C（O,2,O）,8（2,2,0）,q（0,2,2）,

.•.诟=（一2,2,—2）,砺=（2,2,0）,

.-.DC；=(0,2,2),

:.A^C-BD=0,4CDQ=0,

4C±DB,AXCLDC,,DBcDC、=D,

4c1平面5£>G，则“是平面8£>C］的一个法向量.

【小问2详解】

因为“是平面8£>G的一个法向量，又港=(0,2,—2),

所以点4到平面3DG的距离是：

d=|丽cos(AB,科=冷芈=#=述

11'/M2V33

【小问3详解】

因为点E是CG的中点,则£(0,2,1),反=(0,2,1),丽=(2,2,0),

设平面BDE的一个法向量是n=(x,y,z)，

DE-n=2y+z=0

则<—.,令x=l,则y=T,z=2,

DB-n=2x+2y=Q

则平面8D£的一个法向量7=(1,—1,2),

设48与平面所成角为。,则

..I.一|印历I|-2-4|V3

।1Aq同2V2xV62

所以AB与平面BDE所成角的大小60°.

19.已知函数/(x)=log2(x—l).

(1)求函数/(X)的定义域；

(2)设g(x)=/(x)+a,若函数g(x)在(2,3)上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；

(3)设〃(X)=/(X)+7K，是否存在正实数加，使得函数〉=%(%)在［3,9］内的最小值为4?若存在,

/(x)

求出加的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1){x|x>l}；(2)(-