山东省2024-2025学年高三年级上册第一次备考监测联考（10月）数学试题

山东省第一次备考监测联考

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形，

平面向量.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合加={—3,—1,1,3,5},N={HX2+X—620卜则MnN=()

A.{-3}B.{3,5}C.{-3,3}D.{-3,3,5}

2.已知函数/(x)=e*—则()

A-7⑴=-]B-/⑵='—eC./”)=—■!D-r(2)=e2-e

3.已知函数/(x)=(x—2)",〃eN*,贝广九=1”是"/(x)是增函数”的(

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

已知函数/（%）=；1211（5-0）（69〉0,0<0<兀）的部分图象如图所示,

4.贝IJ侬9=(

71

D.

6

5.若对任意的x,yeR,函数/（%）满足+，则〃4）=（）

A.0B.2C.4D.6

6.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s（单位：百万元）与新设备运行

的时间单位：年，teN*）满足s=1—：厂+50/-98,/<8,当新设备生产的产品可获得的年平均利润最

-?+10?2-2?J>8,

大时，新设备运行的时间/=（）

A.5B.6C.7D.8

7.如图，在ZXABC中，N8AC=120。,A3=2,AC=1,0是靠近5点的三等分点，E是边5C上的动点，

则赤•①的取值范围为（）

8.已知函数/（X）=%3+3X+1,若关于x的方程/侬11。+/（m+（208^）=2有实数解，则他的取值范围

为（）

A.[-B.[-C.[-1,1]D.[。,1]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是（）

A.“ic>0,lnx—x<0”的否定为“V尤>0,lnx—x20”

B.在Z\ABC中，若6C>AC,则sinA>sin（A+B）

C.若tan[。+：]=—3,则tan。=2

D.若。=工，则4+4Z?2>4

b

10.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，

用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无

理”的时代.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集E与尸，且满足

EUb=Q,En^=0,E中的每个元素都小于厂中的每个元素，称（£,尸）为戴德金分割.下列结论正确

的是（）

A.E={尤eQ|尤<1},R={xeQ|尤>1}是一个戴德金分割

B.存在一个戴德金分割（E,尸），使得E有一个最大元素，/没有最小元素

C.存在一个戴德金分割（£尸），使得£有一个最大元素，厂有一个最小元素

D.存在一个戴德金分割（瓦尸），使得£没有最大元素，厂也没有最小元素

11.已知。=2I叫而,b=lnW,c=W,贝U（）

930

A.a>bB.c>aC.c>bD.b>a

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知非零向量万万满足,卜—万]万=0,则乙与B的夹角为.

13.若•"且cos2a=cos[a-则二=.

14.已知正实数。力满足加+38=2,则J。——的最大值为_________.

-a2+2b+4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知向量。=(&,J5sinx),函数/(冗)=a-b+—.

（1）求/（%）的单调递减区间;

（2）若/（x）在区间-加上的最大值为3,求7〃的最小值.

16.（15分）

记AABC的内角A,8,C所对的边分别为a,b,c,已知小sinB+cosB=包也.

C

（1）求C；

（2）若C。是ZWC的中线，且CD=J7,AABC的面积为2退，求"BC的周长.

17.（15分）

已知函数/(x)=^x-(2a+3)e'+3ax.

(1)当a=3时，求曲线y=/(x)在(O,/(O))处的切线方程；

(2)求函数y=/(x)的极大值.

18.(17分)

在ZXABC中，设内角A8,C所对的边分别为瓦c.

(1)若b=a+2,c=a+4,是否存在正整数。，使得N*,且AABC为针角三角形?若存在，求出

a；若不存在，说明理由.

(2)若a=b=c=4,D为的中点，£,歹分别在线段AB,AC上,且

ZEDF=90°,ZCDF=6>(0°<0<90°),求ADEF面积S的最小值及此时对应的0的值.

19.(17分)

当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量x与之对应时，可以把这个函数的函数值y作

为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函

数.例如，由y=3x,xeR,得工=^»611,通常用x表示自变量，则写成y=3，xeR,我们称

y=3x,xeR与yU'l.xeR互为反函数.已知函数/(%)与g(x)互为反函数，若两点在曲线

y=/(x)±,C,。两点在曲线y=g(x)上，以AB，四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形

的其中一条边与直线y=x垂直，则我们称这个矩形为〃尤)与g(x)的“关联矩形”.

(1)若函数=且点在曲线y=/(x)上.

(i)求曲线y=/(x)在点A处的切线方程；

(ii)求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积.

(2)若函数/(x)=lnx,且〃尤)与g(x)的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证

明：S>2[五—g].(参考数据：V^-l-ln2<0)

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数学参考答案

1.D因为N={xX+x-620},所以N={x|xV—3时22},又M={—3,—1,1,3,5},所以

"AN={-3,3,5}.

2.B因为/(月=3—所以/'(x)=e、—/'⑴，则/''⑴=e—/'⑴，所以(⑴=]，则

f(x}=e-x,所以"I)=|/(2)=e2—,(2)=e2—e.

3.B由〃x)=(x—2)",得r(x)=〃(x—2产，则当”=2左+1,左eN时，/(x)=(x-2)”是增函数,

故“〃=1”是“/(%)是增函数”的充分不必要条件.

JI'\I)JIJI

4.C由图可知，“X)的最小正周期T=—=—,则0=2,——夕=—+E,左eZ,由0<°<兀，得

co232

兀E兀

(p=—,则09=一.

63

5.A令y=0,则由";y)=〃x)+〃y)，可得〃x)=—2/(0)为常数函数，令x=y=o,可得

/(0)=0,故"4)=0.

f98

c-2/--+50r<8

6.C由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润y=)=t''

t[-『+10”2/28.

Q8Q8

当/<8时，2t+型228,当且仅当£=7时，等号成立，贝U—2f—B+50<22.当时，—/+

tt

10f-2=-«-5)2+23<14,当且仅当t=8时，等号成立.故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最

大时，新设备运行的时间£=7.

7.DAE-CD=|CD|-|AE|COS^,其中e为衣与C万的夹角，且|AE|COS6»是正在丽方向上的投影

向量的模.如图，过A点作的垂线，垂足为尸.由向量的投影可知，当E点与3点重合时，AECD

取得最大值，最大值为丽诙，当E点与。点重合时，乐•①取得最小值，最小值为

73AB|2+AC|2-|BC|21

-FCCD.ACsinl20(>=-mAF]=cosABAC=J--------......=——，

2111122ABAC2

历

解得5C=V7,贝|AF=—.因为。是靠近8点的三等分点，所以

幽=¥，|网=小网2_冏2=第,从而颔E的最大值

同回=浮乂节=与.由=网_|网=手，则AECD的最小值

-四斗-斗、斗=4

3

8.A令g(x)=/(x)—l=/+3x,则g'(x)=3f+3>0恒成立，则g(x)在R上单调递增，且g(x)

是奇函数.由f(sinx)+/(m+cosx)=2,得f(sinx)-l=-(/(m+cosx)-1),即

g(sinx)=g(-m-cosx),从而sinx=-7n-cosx,即加=-sinx-cosx=-0sin[%+；)£[—0,虚].

9.ACDA显然正确.对于B,设JBC=Q,AC=5,因为〃>/?,所以sinA>sinB=sin(A+C),不一定

有sinA>sin(A+5)成立，B错误.

对于C,由tan[，+4]=tan)+l=_3,可得tan6=2,C正确.

I4)1-tan。

对于D,因为。=工，所以ab=l,所以a?+4b222a-2Z?=4,D正确.

b

10.BD对于A,因为EUb={xeQ|"l}wQ,所以A错误.

对于B,设石=卜6(2,41},F={xeQ|x>l},满足戴德金分割，则£有一个最大元素1,厂没有最小

元素，所以B正确.

对于C,若E有一个最大元素，厂有一个最小元素，则不能同时满足EU歹=Q,En歹=0，所以C错误.

对于D,设石=,€(3,<逐},F={XGQ|X>A/3},满足戴德金分割，此时E中没有最大元素，尸中

也没有最小元素，所以D正确.

c"g4点1.11019(.1\,1(.11.

11.BCDa-2100=210=一,/?=In一=-In一=-1In1---\,a-b-----l-1ln1-.令

1091010J10I10j

1—丫

/(x)=x+ln(l-x),xG(0,l),贝ijy'(x)=l--------==一<0,〃x)在(0,1)上单调递减，所以

1—X1—X

109,,,,10109

</(0)=0,即a<b.因为c=一，所cr以b-c=ln-----.令

130V91099\10

2

A(x)=]nx-y[x+—^,XG(l,+oo),贝()"(%)=L112^fx-x-1-(Vx-I)

33

y/Xx2222

10

在（1,内）上单调递减，所以〃</z(l)=0,即Z?vc.

因为I；之一5）•万=0,所以万.5二

12.-设n与B的夹角为e,则

6

a-b_i7T

cosd=X------------，解得。=二

wrIK坪6

2

71(z-sintz=^-(cos(z+sin(z).因为所以

13.—由cos2a=costa—：)，得cos21

12

V2—.由ae10,71兀3兀

cosa+sinawO,则cosa—sina=——,则cos]：，得a+色e,则

244?T

兀兀ATIZC3兀

a+—=—,解得a=一

4312

1ababab

14.—因为2a+3Z?=2,所以

26-a2+2Z?+4-a2+Z?(2tz+3/?)+(2a+3b)23a2+12b2+14ab

13aVLbic421

.又a>0,Z?>0,所以——।----22.----------12,当且仅当a=—力7二一时，春A节成

3a12b1baba77

——+——+14

ba

ab

立，则的最大值为

-a2+2b+426

15.解：（1）因为西=sin2x,cosx,5=isinx，

1-cos2x+V3sin2x

所以4B=sin2%+百sinxcosx==sin|2%T-C-I+-,

2262

则/(%)=sin12%-£)+2.

7T7T37r71Sir

由2+2E«2x—乃+2E,左eZ,得乙+EKX«H+E,左6Z,

26236

jr5兀

所以/(%)的单调递减区间为-+k7t,—+k7i,keZ.

JI//j[JIJI

(2)因为——<x<m,所以----<2x——<2m——.

4366

71上的最大值为3,所以sin[2x—V1+2W3,即sin12x—<1,

因为/(x)在区间一工，加

TTTTIf

所以2根—生之2,解得加之2,

623

7T

即机的最小值为一.

3

16.解：(1)因为也sinB+cosB=":,

c

所以gsinBsinC+cosBsinC=sin(B+C)+sinB,

即由sinBsinC+cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC+sinB.

因为sinBwO,所以J§sinC=cosC+l,

即2V3sin—cos—=2cos2—.

222

因为0<一<一,cos一〉0,所以tan—=—^―,解得C=―.

222233

(2)因为ZXABC的面积为2石，所以工。左由。=L。匕义且=26,解得ab=8.

222

因为是ZXABC的中线，豆CD=币,所以2①=瓦+瓦，

两边平方得4同2=同+同+2国环

即28=/+/+2〃灰(九三，化简得28=(〃+力2一"，解得〃+/?=6.

由余弦定理得c2=a2+b2—2abcos^=((2+Z?)2—3ab-12,解得c=2^3.

所以人钻。的周长为6+2月.

17.解：(1)当a=3时，f(x)=e2j-9er+9x,f(0)=-8,

又因为/'(x)=2e2x-9ex+9,所以/'(0)=2,

所以曲线y=/(x)在(0,/(0))处的切线方程为y+8=2x,即2x—y—8=0.

(2)因为〃x)=e2x-(24+3烂+3-,

所以尸(x)=2e2x—(2a+3)e*+3a=(eA-fl)(2er-3).

①当a>|■时，y=/(x)在^-co,ln-1^上单调递增，在^ln|-,lna^上单调递减，在(lna,+w)上单调递增，

所以y=/(%)的极大值为f［in.J=3flln|-3a-1.

②当a=1时，/'(x)20恒成立，无极大值.

③当0<。时，y=/(%)在(-co,lna)上单调递增，在］lna,ln|J上单调递减，在［ln|>+oo］上单调

递增，所以丁=/(%)的极大值为/(Ina)=e2111a-(2a+3)elnfl+3alna=-a2-3a+3alna

④当aWO时，/(x)=2e2，—(2a+3)e*+3a=2(e，—a)卜—其符号与e*―：的符号一致，所以

)=/(#在［-8,1113上单调递减，在「ng,上单调递增，无极大值.

3393

综上，当a>］时，y=/(x)的极大值为3aln1—3a—当0<a<1时，y=/(x)的极大值为

-a2-3a+3alna.

18.解：(1)假设存在正整数a满足题设.

因为a<〃<c,所以C为钝角，

由_］<cosC—+(。+2)-(a+4)<0,得〃一44一i2<0,解得—2<a<6.

2a(a+2)

因为aeN*,&eN*,所以。=1或。=4,当。=1时，AABC不存在，故存在a=4满足题设.

A

cDB

（2）如图，因为NED9=90°,NCDP=e（0°<6><90°），所以N5£>E=90°—8.

DF2石

在△CD/中，因为------=—%-------,所以。尸二—

sin60°sin（6+60。7）sin（0+60°）

DE2出

在△fiDE中，因为------=-7----------7，所以。E

sin60°sin（150。—。）sin（150。-£）•

1QA

诉V-_V________________________________>

（e+60o）sin（150。一e）―6+2sin26

当8=45°时，S取得最小值12—66.

19.(1)解：(i)因为点A1；，yj在曲线/(%)=&上,所以％=£=?

由〃%)=石，得/。)=上，则/(j=l，

则曲线y=/(x)