2025年高考数学专项复习训练：幂函数与二次函数【七大题型】原卷版+解析版

专题2.3幕函数与二次函数【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1暴函数的定义】...........................................................................2

【题型2比较幕值的大小】........................................................................3

【题型3幕函数的图象与性质的综合应用】.........................................................3

【题型4求二次函数的解析式】....................................................................4

【题型5二次函数的图象问题】....................................................................4

【题型6二次函数的最值问题】....................................................................6

【题型7二次函数的恒成立问题】..................................................................6

►考情分析

1、嘉函数与二次函数

考点要求真题统计考情分析

幕函数与二次函数是常见的重要函

数，在历年的高考中都占据着重要的地

(1)了解募函数的定义，掌位，是高考常考的热点内容，从近几年

握塞函数的图象与性质的高考形势来看，塞函数较少单独考查，

2020年江苏卷：第7题，5分

⑵熟练掌握二次函数的常与指、对数函数结合考查，包括比较

2024年天津卷：第2题，5分

图象与性质(单调性、对指对塞的大小、解不等式等考法，主要

称性与最值等)出现在选择题、填空题中，难度较易；

二次函数常与其他知识相结合，考查二

次函数的图象与性质.

►知识梳理

【知识点1塞函数的解题技巧】

1.嘉函数的解析式

幕函数的形式是y=x“(aeR),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.塞函数的图象与性质

在区间(0,1)上，哥函数中指数越大，函数图象越靠近X轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+8)上，嘉函

数中指数越大，函数图象越远离X轴.

3.比较幕值的大小

在比较塞值的大小时，必须结合塞值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各

个幕函数的图象和性质是解题的关键.

【知识点2求二次函数解析式的方法】

1.二次函数解析式的求法

（1）一般式法：已知三点坐标，选用一般式.

（2）顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.

（3）零点式法：已知与无轴两交点坐标，选用零点式.

【知识点3二次函数的图象与性质】

1.二次函数的图象问题

（1）研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上

关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方

向.

（2）求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.

2.二次函数的单调性与最值

闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一

轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.

3.二次函数的恒成立问题

不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数

图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.

【变式1-1］（23-24高一上•云南西双版纳•期中）下列结论正确的是（）

A.幕函数的图象一定过原点

B.a=1,3,|■时，累函数%都是增函数

C.塞函数的图象会出现在第四象限

D.y=2x2既是二次函数，又是幕函数

【变式1-2］（23-24高一上•山东济宁•期中）下列函数是基函数且在（-8,0）是增函数的是（）

A.y=1B.y=%3+1C.y=x_2D.y=/［五

【变式1-3］（23-24高一上•陕西咸阳•期中）现有下列函数：①丫=久3；②y=4/；@y=x5+1；（4）y=

（x-1）2；@y=x,其中幕函数的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【题型2比较幕值的大小】

【例2】(2023,上海青浦•一模)已知a,beR,则“a>炉是“层>川”的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

h-

【变式2・1】(2024•全国•模拟预测)已知a=log510,b=log48,c=46,则a、6、c的大小关系为

()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【变式2-2](2024•江西宜春•模拟预测)已知幕函数/(%)=(租—1)铲的图象过点(租,8).设。=/(2。・3),

2

&=/(0.3),c=/(log20.3),则a,b,c的大小关系是()

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【变式2-3](2023•湖北孝感•模拟预测)已知"%)为奇函数，当04%<2时，/(%)=2x-x2,当久>2时，

/(%)=|%—3|—1,则()

A.-/(-V26)>/(203)>/(303)B./(203)>/(303)>-/(-V26)

C.-/(-V26)>/(303)>/(203)D./(303)>/(203)>-/(-V26)

【题型3幕函数的图象与性质的综合应用】

【例3】(2024・湖南岳阳•模拟预测)探究累函数当。=2,3[-1时的性质，若该函数在定义域内为

奇函数，且在(0,+8)上单调递增，则&=()

A.2B.3C.1D.-1

【变式3-1](2023・四川南充•模拟预测)已知事函数f(x)=x：(nuieZ),下列能成为“f(久)是R上的偶函

数”的充分条件的是()

A.m=-3,n=1B.m=l,n=2

C.m=2,n=3D.m=l,n=3

【变式3-2](23-24高三上•上海浦东新•阶段练习)如图所示是函数丫=京(皿九均为正整数且？?VI互质)的

图象，则()

A.m,n是奇数且:V1

B.m是偶数,九是奇数，且?<1

7M

C.m是偶数，n是奇数，且双>1

D.771,71是奇数，且三>1

【变式3-3](2023•山东荷泽•三模)己知函数f(x)=N+(a—2)/+2x+b在[一2c-l,c+3]上为奇函数,

则不等式/(2x+l)+f(a+b+c)＞。的解集满足()

A.(-2,4]B.(-3,5]C.(―|,2〕D.(-2,2]

【题型4求二次函数的解析式】

【例4】(23-24高一上•河北保定•期末)写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数:

f(x)=

①/(%)的最小值为—1;②/(*)的一次项系数为—4；③/(0)=3；©/(X)=/(-%+2).

【变式4-1](2023高三・全国•专题练习)已知二次函数/(无)的两个零点分别是0和5,图象开口向上，且

/(%)在区间[-1,4]上的最大值为12,则函数/(尤)的解析式为.

【变式4-2](23-24高一上•新疆克拉玛依•期中)已知二次函数f(x)=a/+6%+c(a>0,a,瓦ceR),

=对任意久CR,/(x—2)=/(—%),且/(x)Nx恒成立.则二次函数八乂)的完整解析式为.

【变式4-3](23-24高一上•浙江金华•开学考试)已知二次函数/(%)=a/+法+。的对称轴是久=1,且不

等式/(X)<2x的解集为[1,3],则f(x)的解析式是/(久)=.

【题型5二次函数的图象问题】

【例5】(2020•山东•高考真题)已知二次函数y=a久2+6%+c的图像如图所示，则不等式a/+匕刀+c>0

的解集是()

A.(-2,1)B.(-00,-2)U(1,+oo)C.[-2,1]D.(-00-2]U[1,+oo)

【变式5-1](23-24高一上•湖南株洲•阶段练习)不等式c/+ax+6＞0的解集为｛x|—1＜久＜则函数

【变式5-2]（23-24高二下•北京昌平•期末）若不等式a/—x—c>0的解集为3―1<%<当，则函数y="2

—x—a的图象可以为（）

【变式5-3]（2024高一•全国•专题练习）不等式a%2-b%+c>0的解集为{用-2V%<1},则函数y=ax2+bx+c

的图像大致为（）

【例6】(23-24高二下・天津河西・期末)下面关于函数/(尤)=/+3%+4的说法正确的是()

A./(久)>0恒成立B./(%)最大值是5

C.f(x)与y轴无交点D.f(x)没有最小值

【变式6-1](2024高三•全国•专题练习)设二次函数/(x)=(a-2)/+3ax+2在R上有最大值，最大值为

m(a),当m(a)取最小值时，a=()

A.0B.1C.1D.V2

【变式6-2]⑵-24高一上•重庆沙坪坝•阶段练习)f(x)=2017X2-2018X+2019x2020,xG[t,t+2].则当

t变化时，f(X)max-f(X)min的最小值为()

A.2020B.2019C.2018D.2017

【变式6-3](21-22高一上•浙江台州•期末)已知函数/(x)=a/+2x的定义域为区间加，〃],其中

a,m,neR,若/(x)的值域为[-4,4],贝!的取值范围是()

A.[4,4V2]B.[2V2,8V2]C.[4,8V2]D.[4也8]

【题型7二次函数的恒成立问题】

【例7】(2024•辽宁鞍山•二模)已知当x>0时，不等式：久2一小刀+16>0恒成立，则实数m的取值范围是

()

A.(—8,8)B.(—8,8]C.(—8,8)D.(8,+8)

【变式7-1](2023•辽宁鞍山•二模)若对任意的％6(0,+8),%2一m％+1>()恒成立，则加的取值范围是

()

A.(—2,2)B.(2,+8)C.―D.(-8,2]

【变式7-2](2023•辽宁大连•模拟预测)命题臼x>0,a*2+%+1<0”为假命题，则命题成立的充分不必要

条件是（）

1

A.CL>—-B.a>0C.a>1D.a<1

4

【变式7-3］（2024•江西九江•模拟预测）无论x取何值时，不等式2日+4>0恒成立，则k的取值范围

是()

A.(_8,_2)B.(_8,_4)C.(_4,4)D.(_2,2)

►过关测试

一、单选题

1.（2024•广东广州•模拟预测）若幕函数/⑶=（/-爪-1）久2m-3在（0,+8）上单调递增，则实数小的值为

（）

A.2B.1C.-1D.-2

2.（2023・湖南岳阳•模拟预测）如图，已知基函数丫=久。）=/）=产在（0,+8）上的图象分别是下降，急

C.c<a<bD.a<b<c

3.（2023•北京海淀•一模）已知二次函数f（x）,对任意的久GR,有f（2x）<2/（%）,则f（x）的图象可能是

4.（2024・浙江•模拟预测）若不等式kN+（fc_6）x+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是（）

A.2<fc<18B.-18<k<-2

C.2<k<18D.0<fc<2

5.(23-24高一上・浙江•单元测试)设函数/(x)=*2+2(4-a)x+2在区间(-8,3]上是减函数，则实数°的

取值范围是()

A.a>—7B.a>7C.a>3D.a<-7

11

6.(2023•四川泸州•一模)已知点(2,》在塞函数=的图象上，设a=/(log23),h=/(ln3),c=f(3-

),则Q,b,。的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<cC.b〈c<aD.a<c<b

7.(2023•河南•模拟预测)已知幕函数/(x)的图象过g,?)，P(xi,%),Q(x2,y2)(%i<x2)是函数图象上

的任意不同两点，则下列结论中正确的是()

A.>%2/(%2)B.%1/(%2)<^2/(%1)

CD/(巧)</(Q)

・%2%1,X1%2

8.(2023•江西南昌•二模)已知函数/。)=/+£1尤2+以+(;的三个零点分别为1,盯,无2(0<巧<X2)，若

函数f(x+l)为奇函数，则f(2)的取值范围为()

A.[0,1]B.(0,1)C.(0,2)D.[0,2]

二、多选题

9.(2024・全国•模拟预测)下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是()

A./(%)=-3刀5B./(%)=2X

11

c./(%)=-D,f(x)=-2%3

10.(2023•江苏连云港•模拟预测)若对于任意实数x,不等式(a—1)/-2(a—l)x—4<0恒成立，则实数a

可能是()

A.-2B.0C.-4D.1

11.(2024•江苏苏州•模拟预测)已知函数/(无)=x+1,设9i(x)=/(%),gn(x)=/(5n-iW)

(n>l,nGN*).且关于x的函数y=/+S/(吗何eN*).贝！)()

A.g九(%)=%+71或0i(%)=九%+1

cn2+2n.(.*2

B.y=^r^\x+-)

C.当九42时，存在关于％的函数y在区间(-8,-1］上的最小值为6,九=0

D.当71>2时，存在关于x的函数y在区间上的最小值为6,n=4

三、填空题

12.(2024•北京延庆•一模)已知函数/(%)=^(0<戊<1)在区间(—1,0)上单调递减，贝必的一个取值

为.

13.(2024・四川宜宾•模拟预测)已知函数y=a(久一4)+2(a>0,且aK1)的图像恒过定点尸，且尸在幕函

数/'(%)的图像上，则f(久)=.

14.(2024•河南•模拟预测)已知函数/'(x)=|久2一6%+7］在>1)上的最大值为4在［?n,2ni—1］上的

最大值为B,若422B,则实数小的取值范围是.

四、解答题

15.(2024•山东•二模)已知f(x)是二次函数，且/'(1)=4/(0)=1/(3)=4.

(1)求/(%)的解析式;

(2)若久€求函数/(X)的最小值和最大值.

16.(2023•山东•一模)己知二次函数/(x)满足/(0)=—1,顶点为(1,—2).

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若函数/(%)在区间［a-1,4］上单调递增，求实数a的取值范围.

17.(23-24高一下•上海•期中)己知幕函数/■(久)=%*-2力-3(^Z)为奇函数，且在区间(0,+8)上是严格

减函数.

(1)求函数y=/(久)的表达式；

(2)对任意实数xe［|,i］,不等式/(x)<t+4,恒成立，求实数t的取值范围.

18.(23-24高一上•辽宁•阶段练习)已知累函数/(%)=(m2+2zn—2Am2—(mGZ)的定义域为R,且在[0,+8)

上单调递增.

⑴求加的值；

(2)vxe[1,2],不等式a/O)—3光+2>0恒成立，求实数。的取值范围.

19.(23-24高一上•江苏•阶段练习)设函数/(X)=口必+(1-a)x+a-2.

(1)若关于％的不等式久支)N-2有实数解，求实数a的取值范围；

(2)若不等式f(x)>-2对于实数a£[-1,1]时恒成立，求实数x的取值范围;

(3)解关于x的不等式：/(%)<a-l,(a£/?).

专题2.3幕函数与二次函数【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1暴函数的定义】...........................................................................2

【题型2比较幕值的大小】........................................................................3

【题型3幕函数的图象与性质的综合应用】.........................................................5

【题型4求二次函数的解析式】....................................................................7

【题型5二次函数的图象问题】....................................................................9

【题型6二次函数的最值问题】...................................................................12

【题型7二次函数的恒成立问题】.................................................................14

►考情分析

1、嘉函数与二次函数

考点要求真题统计考情分析

幕函数与二次函数是常见的重要函

数，在历年的高考中都占据着重要的地

(1)了解募函数的定义，掌位，是高考常考的热点内容，从近几年

握塞函数的图象与性质的高考形势来看，塞函数较少单独考查，

2020年江苏卷：第7题，5分

⑵熟练掌握二次函数的常与指、对数函数结合考查，包括比较

2024年天津卷：第2题，5分

图象与性质(单调性、对指对塞的大小、解不等式等考法，主要

称性与最值等)出现在选择题、填空题中，难度较易；

二次函数常与其他知识相结合，考查二

次函数的图象与性质.

►知识梳理

【知识点1塞函数的解题技巧】

1.嘉函数的解析式

幕函数的形式是y=x“(aeR),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.塞函数的图象与性质

在区间(0,1)上，哥函数中指数越大，函数图象越靠近X轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+8)上，嘉函

数中指数越大，函数图象越远离X轴.

3.比较幕值的大小

在比较塞值的大小时，必须结合塞值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各

个幕函数的图象和性质是解题的关键.

【知识点2求二次函数解析式的方法】

1.二次函数解析式的求法

(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.

(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大(小)值，选用顶点式.

(3)零点式法：已知与无轴两交点坐标，选用零点式.

【知识点3二次函数的图象与性质】

1.二次函数的图象问题

(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上

关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方

向.

(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.

2.二次函数的单调性与最值

闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一

轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.

3.二次函数的恒成立问题

不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数

图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.

►举一反三

【题型1嘉函数的定义】

【例1】(23-24高一下•湖北•阶段练习)下列函数是事函数的是()

A.y=~iB.y=2xC.y=2x2D.y=-%-1

【解题思路】由寨函数的定义可判断各选项.

【解答过程】由事函数的定义，形如y=aCR叫幕函数，

对A,y=^=x-3,故A正确；B,C,D均不符合.

故选：A.

【变式1-1](23-24高一上•云南西双版纳•期中)下列结论正确的是()

A.累函数的图象一定过原点

B.a=时，嘉函数y=廿是增函数

C.幕函数的图象会出现在第四象限

D.y=2/既是二次函数，又是幕函数

【解题思路】利用幕函数的简单性质判断即可.

【解答过程】解：暴函数图象不一定过原点，例如y=》T,函数的图象不经过原点，故A不正确；

-11

当。=1,3万时，幕函数y=x,y-x3,y=位=正在定义域内均为增函数，故B正确；

由函数的定义及嘉函数在第一象限均有图象可知，嘉函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；

函数y=2*2是二次函数，但是不是募函数，幕函数得形如y=/（aeR）,故D不正确.

故选：B.

【变式1-2］（23-24高一上•山东济宁・期中）下列函数是幕函数且在（-8,0）是增函数的是（）

A.y=1B.y=x3+lC.y=x~2D.y=y［\x\

【解题思路】由幕函数的概念和单调性可得选项C正确.

【解答过程】由幕函数的概念可以排除B、D选项，

而y=:在（一8,0）是减函数，y=久V在（_8,o）是增函数，

故选：C.

【变式1-3］（23-24高一上•陕西咸阳•期中）现有下列函数：①y=X3；②y=4/；（3）y=x5+1；④y=

（久-1）2；（5）y-x,其中基函数的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【解题思路】由事函数的定义即可求解.

【解答过程】由于基函数的一般表达式为：y=xa,（a^0）；

逐一对比可知题述中的幕函数有①y=好；⑤丫=%共两个.

故选：C.

【题型2比较塞值的大小】

【例2】（2023•上海青浦・一模）已知a,hGR,则“a>b”是“cP>〃”的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【解题思路】

直接根据充分性和必要性的定义判断即可.

【解答过程】因为函数y=/在R上单调递增，

所以a>b^a3>b3,

即“a>b”是七3>〃，，的充要条件.

故选：c.

,7

【变式2-1](2024•全国•模拟预测)已知a=log510,b=log48,c=4-6,则a、b、c的大小关系为

()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

33

【解题思路】化简Q=1+log52,b=1+log5V5=I，所以aVb,再化简c=4§,c=(43)>(|)=b,

故可得出答案.

【解答过程】va=log5(5x2)=log55+log52=1+log52,

b=log4(4x2)=log44+log42=1+1=l+log5V5=|,：.a<b,

c=42-6=43,vc3=(4§)=4>0=b3,

且y=%3在R上为增函数，...c>b,gpc>h>a,

故选：C.

【变式2-2](2024•江西宜春•模拟预测)已知幕函数/(%)=(租—1)廿的图象过点(租,8).设。=/(2口3),

2

b=/(0.3),c=/(log20.3),则a,b,c的大小关系是()

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【解题思路】根据基函数的定义求出函数/(、)解析式，再利用幕函数的单调性比较大小而得解.

【解答过程】因幕函数/(%)=(血一1)廿的图象过点(血,8),贝!]6一1=1,且W=8,

于是得m=2,九=3,函数f(%)=%3,函数/(%)是火上的增函数，

203203

Mlog20.3<0<0,3<1<2-,则有f(log20.3)</(0.3)</(2),

所以c<b<a,

故选：D.

【变式2-3](2023•湖北孝感•模拟预测)已知/(%)为奇函数，当时，/(%)=2x-x2,当久>2时，

/(%)=|%-3|-1,则()

A.-/(-V26)>/(203)>/(303)B./(203)>/(303)>-/(-V26)

C.-/(-V26)>/(303)>/(203)D.f(303)>/(20-3)>-/(-V26)

【解题思路】利用题给条件求得/(%)在[1,3]上单调性，利用/(%)为奇函数求得-/(-师/⑴的大小关系,

再利用塞函数性质比较3。汽2。-3的大小关系，进而得到了(3。-3),/(2。-3),-/(-京)三者间的大小关系.

【解答过程】因为当0WxW2时，/(%)=2x-x2,

则久支)在(0,1)上单调递增，在［1,2］上单调递减，

当x>2时，/(%)-|x—3|-1,

则f(尤)在(2,3)上单调递减，在［3,+8)上单调递增.

且/(2)=0=|2—3|—1,所以/'(%)在(0,1)上单调递增,

在［1,3］上单调递减，在(3,+8)上单调递增.

因为—/(—师=/(V26)>/(5)=1=/(1),1<20-3<30-3<3,

则/■(1)>/'(2。3)>/(3。3)

所以一/'(一属)>/(20-3)>/(30-3).

【题型3嘉函数的图象与性质的综合应用】

【例3】(2024・湖南岳阳•模拟预测)探究事函数/(幻=^当a=2,3a—1时的性质，若该函数在定义域内为

奇函数，且在(0,+8)上单调递增，则。=()

1

A.2B.3C.-D.-1

【解题思路】根据幕函数的性质即可得解.

【解答过程】由题意可得a>0且a为奇数，

所以a=3.

故选：B.

【变式3-1］(2023•四川南充•模拟预测)已知事函数/(x)=/(wieZ),下列能成为“f(久)是R上的偶函

数”的充分条件的是()

A.m=-3,n=1B.m=l,n=2

C.m=2,n=3D.m=l,n=3

【解题思路】根据幕函数的性质，结合充分条件的定义进行判断即可.

【解答过程】当m=-3,九=1时，/(%)=x-3=

111

因为函数/(%)=或的定义域(一8,0)U(0,+8),关于原点对称，且/(一%)=1矛=一行=一/(%),

所以/(》)=*为奇函数，不合题意，故A错误；

1

当血=1,九=2时，/(X)=%2=7%,因为/(%)=y函数的定义域[o,+8),不关于原点对称，

所以/(%)=«为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；

当m=2,n=3时，/⑴=蓝=V迈，定义域为R,关于原点对称，且f(―%)=在不=疹=/⑺，

3

所以『0)=应为偶函数，符合题意，故C正确；

111

当m=l,n=3时，/(X)=必，定义域为R,关于原点对称，且/'(-》)=(一%户=一疝=-f(x),

1

所以/(%)=疝为奇函数，不合题意，故D错误.

故选：C.

【变式3-2](23-24高三上•上海浦东新•阶段练习)如图所示是函数丫=瑞(机刀均为正整数且小刀互质)的

A.爪,几是奇数且?<1

B.爪是偶数，几是奇数，且:<1

C.zn是偶数，n是奇数，且:>1

D.机,71是奇数，且胃>1

__771___m

【解题思路】由哥函数性质及0<x<l时两图象的位置关系可知7r<1；由图象可知丫=瑞为偶函数，进而

确定小,九的特征.

【解答过程】由哥函数性质可知：了=/与丫=》恒过点(1,1),即在第一象限的交点为(1,1),

当0<久<1时，>X,则:<1；

又y=京图象关于y轴对称，y=京为偶函数，(一%)三=(-%)m=京=也和

又m,n互质,・•.m为偶数,几为奇数.

故选：B.

【变式3-3］(2023•山东荷泽•三模)已知函数/(%)=/+(a-2)%2+2%+b在［—2c—l,c+3］上为奇函数，

则不等式“2%+1)+f(a+b+c)>。的解集满足()

A.(-2,4］B.(-3,5］C.(-|,2］D.(-2,2］

【解题思路】根据函数的奇偶性求出参数a、b、c的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调

性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

2

【解答过程】因为函数/(%)=/+(a-2)%+2%+b在|-2c-Lc+3］上为奇函数，

所以—2c—1+c+3=0,解得c=2,又f(—x)=-f(x),

即一+(a—2)x2—2x+b=—x3—(a—2)%2—2x—6,

a-2

得

解

所以2(a-2)/+2b=0,解得b-o

所以/'(x)=7+2%,x6[-5,5],

由y=炉与y=2久在定义域［-5,5］上单调递增，所以f(x)在定义域［-5,5］上单调递增，

则不等式f(2x+l)+f(a+b+c)>0,即f(2x+l)+f(4)>0,等价于f(2x+1)>f(-4),

所以｛一黑普葭5,解得~t<xW2,即不等式的解集为(—羽.

故选：C.

【题型4求二次函数的解析式】

【例4】(23-24高一上•河北保定•期末)写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：

f(x)=

支2—4久+3或2/—4久+1或4/—8%+3或2/—4久±3,_.

①/(%)的最小值为—1;②/(*)的一次项系数为—4；(3)/(0)=3；④/(*)=/(—x+2).

【解题思路】根据二次函数的特征，如顶点、对称轴设函数的解析式即可求解.

【解答过程】第一种情况：/O)具有①②③三个性质，由②③可设/(%)=ax2—4%+3(a力0),则根据①

可得：工*=-1,解得a=l,所以f(x)="—4x+3.

第二种情况：/(x)具有①②④三个性质，由①④可设/Q)=a(x—1)2-l(a>o),则根据②可得:

-2a=—4,解得Q=2,所以/(%)=2(x—l)2—1=2x2—4x+1.

第三种情况：/(%)具有①③④三个性质，由①④可设"%)=。(%-1)2-1(。>0),则根据③可得：

/(0)=a—1=3,解得：a=4,所以/(%)=4(%—1)2—1=4/—8%+3.

第四种情况：f(x)具有②③④三个性质，由②③可设/(x)=aX2-4x+3(a70),则根据④可得：-?

=1,解得a=2,所以/1(解=2%2-4%+3.

故答案为：％2—4%+3或2%2—4%+1或4%2—8%+3或2/—4%+3.(不唯一).

【变式4-1](2023高三・全国・专题练习)已知二次函数/(%)的两个零点分别是。和5,图象开口向上，且

/(%)在区间上的最大值为12,则函数/(%)的解析式为=2%2io%.

【解题思路】根据函数特征设/(%)=ax(x-5),(a>0)然后判断并求解/(-1)=6a=12,a=2从而解得函数

解析式.

【解答过程】设f(x)=a%(x-5),(a>0)其对称轴为直线％=今又f(x)在区间[一1,4]上的最大值为12,

所以/(-1)=6a=12,a=2,所以/(%)=2x2—10%.

故答案为：/(%)=2x2-10x.

【变式4-2](23-24高一上•新疆克拉玛依•期中)已知二次函数/(%)=a/+匕％+。(a>0ta,b,cER),

/⑴=1,对任意久CR,/(x—2)=/(—%),且/(x)Nx恒成立.则二次函数/⑴的完整解析式为_JX%)=|x2

,1,5

土殍土•

【解题思路】根据/(%-2)=/(-%)得至必=2a,结合/'⑴=1得出c=l-3a,根据/'(%)2万恒成立，求出a的

值，即可求出函数解析式.

【解答过程】•••对任意x€R,/(x-2)=/(-%),

二次函数对称轴为x=整=T，

b—2a,

,•"(1)=1,

••・a+b+c=1,

・•・c=1—3a,

又对任意KCR,/(%)之久恒成立，

:.ax2+2ax+(1—3a)>x,BPa%2+(2a—l)x+(1—3a)>0在R上恒成立，

a>0,

A=(2a-l)2-4a(l-3a)=16a2-8a+1=(4a-l)2<0,

1

•1-b=^,c=1,即函数/'(X)=：/+,+3，

故答案为：+

【变式4-3](23-24高一上•浙江金华•开学考试)已知二次函数y(x)=a/+6x+c的对称轴是x=1,且不

等式f(x)<2x的解集为[1,3],则f(x)的解析式是/(久)=_必马土3_.

【解题思路】由不等式的解集得一元二次方程的两根，由韦达定理得两个关系式，又由对称轴得一关系式,

结合起来可求得a力,c,得函数解析式.

【解答过程】解：/(%)<2x^)ax2+(b-2)x+c<0,其解集为[1,3],则

]c"…,a>0,又函数/'(X)的对称轴是x=1,贝卜小=1,

(-=1X3力

、a

两者结合解得a=l,b=-2,c=3,

所以f(x)=x2-2x+3.

故答案为：%2-2X+3.

【题型5二次函数的图象问题】

【例5】(2020•山东・高考真题)己知二次函数y=a/+c的图像如图所示，则不等式a久2+bx+c>0

A.(—2,1)B.(一oo,—2)U(1,+oo)C.[—2,1]D.(—oo,一2]U[1,+oo)

【解题思路】本题可根据图像得出结果.

【解答过程】结合图像易知，

不等式a/+b%+c>0的解集

故选：A.

【变式5-1](23-24高一上•湖南株洲•阶段练习)不等式=2+3+6>0的解集为{x|—is.},则函数

y=a/一bx—c的图象大致为()

【解题思路】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解a,瓦c的关系，再代入函数y=a/-bx-c,

即可分析函数的图象.

【解答过程】因为ex?+ax+b>0的解集为｛幻—1<x<0,所以方程c/+ax+6=。的两根分别为抑一1,

2c

且cvo,贝*1b,a=-c,b=--c,

—1x-=-z4

2c

故函数y=ax2-bx-c=fx2+fx-c=+2）（x—l）的图象开口向下，且与X轴的交点坐标为（1,0）和（一2,0）,

故A选项的图象符合.

故选：A.

【变式5-2］（23-24高二下•北京昌平•期末）若不等式a/-x-c>0的解集为｛久|-1<久<§,则函数y=c久2

—%—a的图象可以为（）

【解题思路】由题可得-1和是方程ax2-x-c=0的两个根，求出a,c,再根据二次函数的性质即可得出.

【解答过程】由题可得-1和9是方程a/-x-c=0的两个根，且a<0,

则y=cN—x—a=—%2—x+2=—(x+2)(x—1),

则函数图象开口向下，与x轴交于(-2,0),(1,0).

故选：C.

【变式5-3](2024高一•全国•专题练习)不等式a/-6x+c>0的解集为-2<x<l},则函数y=ax2+bx+c

【解题思路】根据题意，可得方程a--bx+c=0的两个根为刀=-2和x=l,且a<0,结合二次方程根与系

数的关系得到a、6、c的关系，再结合二次函数的性质判断即可.

【解答过程】根据题意，+c>。的解集为{x|—2<x<1},则方程a/-bx+c=0的两个根为久=一2

和x=l,且a<0.

'-2+1=2_

则有(-2)x1=?变形可得唐三，

、a<0

2

故函数y=aX2+i)x+c=ax-ax-2a=a(x-2)(x+1)是开口向下的二次函数，且与x轴的交点坐标为

(一1,0)和(2,0).

对照四个选项，只有C符合.

故选：C.

【题型6二次函数的最值问题】

【例6】(23-24高二下•天津河西•期末)下面关于函数/(尤)=/+3%+4的说法正确的是()

A./3)>0恒成立B./(X)最大值是5

C.f(x)与y轴无交点D.f(x)没有最小值

【解题思路】根据二次函数的性质即可判断各选项.

【解答过程】函数/(X)=