2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.2.2向量的减法课时素养评价含解析北师大版必修4

PAGE课时素养评价十六向量的减法(15分钟30分)1.如图,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为 ()A.a+b-c B.a-b+cC.b-a+c D.b-a-c【解析】选C.依题意=-=+-,即=b-a+c.2.在四边形ABCD中,若=,且|+|=|-|,则四边形ABCD的形态是 ()A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形【解析】选B.由=知,四边形ABCD是平行四边形,又因为|+|=|-|,所以两对角线长度相等,故四边形ABCD是矩形.3.已知△OAB中,=a,=b,满意|a|=|b|=|a-b|=2,则|a+b|与△OAB的面积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.3【解析】选A.由已知得||=||,以,为邻边作平行四边形OACB,则可知其为菱形,且=a+b,=a-b,由于|a|=|b|=|a-b|,则OA=OB=BA,所以△OAB为正三角形,所以|a+b|=||=2×QUOTE=2QUOTE,S△OAB=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE.4.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||=4,|+|=|-|,则||=.

【解析】以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,由向量加减法的几何意义可知,=+,=-.因为|+|=|-|,所以||=||.又因为||=4,M是线段BC的中点,所以||=QUOTE||=QUOTE||=2.答案:25.如图所示,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,分别求出其长度:(1)a+b+c.(2)a-b+c.【解析】(1)由已知得a+b=+==c,所以延长AC到E,使||=||.则a+b+c=,且||=2QUOTE.所以|a+b+c|=2QUOTE.(2)作=,连接CF,则+=,而=-=a-b,所以a-b+c=+=且||=2,所以|a-b+c|=2.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.化简:+-= ()A.0 B. C.2 D.-2【解析】选A.+-=+(-)=+=0.2.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则 ()A.a-b+c-d=0B.a+b+c+d=0C.a+b-c-d=0 D.a+b-c+d=0【解析】选A.因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,-=-,即d-a=c-b,所以a-b+c-d=0.3.平面内有四边形ABCD和点O,若+=+,则四边形ABCD的形态是 ()A.梯形 B.平行四边形C.矩形 D.菱形【解题指南】等式中各向量起点相同,通过移项可把向量的加法转化为向量的减法,从而得到=.【解析】选B.因为+=+,所以-=-,即=.又A,B,C,D四点不共线,所以||=||,且BA∥CD,故四边形ABCD为平行四边形.4.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有 ()A.A,B,C三点必在同始终线上B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC必为等腰直角三角形【解析】选C.如图,作平行四边形ABCD,则+=,-=-=,因为|m|=|n|,所以||=||,所以平行四边形ABCD为矩形,所以△ABC为直角三角形,∠B=90°.【误区警示】本题的易错点有①向量,和与差的化简;②平行四边形的性质:对角线长相等的平行四边形为矩形.5.已知点P在正△ABC所确定的平面上,且满意++=,则△ABP的面积与△ABC的面积之比为 ()A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 【解析】选C.因为++==-,所以=-2,即P点在边AC上,且AP=QUOTEAC,所以P点到AB的距离等于C点到AB距离的QUOTE,故△ABP的面积与△ABC的面积之比为1∶3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知a,b为非零向量,则下列命题中真命题的序号是.

①若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同;②若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反;③若|a|+|b|=|a-b|,则a与b有相等的模;④若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同.【解题指南】结合向量三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|等号成立条件,即可正确推断.【解析】当a,b方向相同时有|a|+|b|=|a+b|,||a|-|b||=|a-b|,当a,b方向相反时有||a|-|b||=|a+b|,|a|+|b|=|a-b|,因此①②④为真命题.答案:①②④7.已知O是边长为6的等边△ABC的中心,则|--|=.

【解析】如图,--=(-)-=+=.因为等边△ABC的边长为6,所以||=QUOTE×6=3QUOTE,所以||=QUOTE×3QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE8.如图所示,用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,则A和B处所受力的大小(绳子的重量忽视不计)分别是.

【解析】如图,反向延长CW至点D,使CD=CW,作DE⊥AC,DF⊥BC,由∠ACW=150°,∠BCW=120°得∠ACD=30°,∠BCD=60°,因为||=10,所以||=5QUOTE,||=5.答案:5QUOTEN,5N三、解答题(每小题10分,共20分)9.若=a+b,=a-b.(1)当a,b满意什么条件时,a+b与a-b垂直?(2)a+b与a-b可能是相等向量吗?【解析】如图,用向量构建平行四边形,其中=a,=b,向量,恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得=a+b,=a-b.由此问题就可转换为:(1)当边AB,AD满意什么条件时,对角线相互垂直?明显|a|=|b|时,a+b与a-b垂直.(2)因为对角线方向不同,所以a+b与a-b不行能是相等向量.10.已知向量a,b满意|a|=1,|b|=2,求|a+b|+|a-b|的最小值和最大值是多少?【解析】如图所示,|a+b|和|a-b|是以|a|,|b|为邻边的平行四边形的两条对角线,则|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=10,A是以O为圆心的单位圆上的一动点,构造2个全等的平行四边形AOBD,平行四边形ECOA.所以|a+b|+|a-b|=|AB|+|AC|.易知当A,B,C三点共线时,|AB|+|AC|最小,此时|AB|+|AC|=|BC|=4;当AO⊥BC时,|AB|+|AC|最大,此时|AB|+|AC|=2|AB|=2QUOTE.1.若向量a,b满意|a|=2,|b|=5,则|a-b|的最大值为.

【解析】|a-b|≤|a|+|b|=2+5=7,故|a-b|的最大值是7.答案:72.在△ABC内有一点O,满意++=0,E为BC边的中点,=QUOTE,设=a,=b,以a、b为基底,试求下列向量表达式:(1).(2).【解析】(1)因为E为BC边的中点,由