安徽省亳州市2025届高三年级上册开学摸底大联考数学试题（含答案）

安徽省亳州市2025届高三上学期开学摸底大联考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在复平面内，复数(l+i)4(l-。对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2

2.已知集合4-{xeN*\x-5x-14<0],B={x\log2(x-2)<2}.则图中阴影部分表示的集合为()

A.{3,4,5}B.{1,2}C.{3,4,5,6}D.[1,2,6}

3.有一组数据，按从小到大排列为：1,2,6,8,9,小，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则m为()

A.9B.10C.11D.12

4.已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个体积为与兀的球面上，该圆柱的侧面积为

()

A.87rB.67rC.57rD.4TT

5.已知aG(0,1),sin3a=5sinacos2a,则tana值为()

A.73B.?C.苧D.1

6.已知双曲线C：a-V=1缶>0),点用在。上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为48,若

|M川•|MB|=[,则双曲线C的离心率为()

y/~6口2V-3„2-/6「=

AA.—B.—C.—D.V3

7.已知函数f(x)的定义域为R,y=/(%)+蜡是偶函数，y=/(%)-3蜡是奇函数，则f(ln3)的值为()

A-lB.3T州

8.数列｛即｝的前71项和为%,满足与+1-=dn6=2,则S1O可能的不同取值的个数为()

A.45B.46C.90D.91

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

□

9.已知随机变量X满足：X〜B(4,p),0<p<l,E(X)=]D(X),贝U()

741122

A.p=jB.E(X)=IC.F(2X+1)=yD.D(2X+1)=等

10.设函数/(x)=(x-a)2(K-4),定义域为R,若关于x的不等式/(%)20的解集为{x|x24或x=1},下

列说法正确的是()

A./Q)的极大值为0

B.点(2,-2)是曲线y=/(久)的对称中心

C.直线y=9x-4与函数f(x)的图象相切

D.若函数f(x)在区间(科4)上存在最小值，则小的取值范围为(0,3)

11.已知曲线C:(%2+y2-2)2=4+8盯，点P(x(),yo)为曲线C上任意一点，贝!]()

A.曲线C的图象由两个圆构成

B.诏+羽的最大值为

D.直线y=x+2与曲线C有且仅有3个交点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量1=(2,3),3=(zn,|),且@+2区)〃落则向量B在向量2上的投影向量坐标是.

13.已知函数/(%)=2sino)x与g(x)=2cos3x(3>0)的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则

0)=.

14.用n个不同的元素组成爪个非空集合(1<根<打，每个元素只能使用一次)，不同的组成方案数记作

S针，且当n>mN2时，S铲=S^i+7nS公1.现有7名同学参加趣味答题活动，参加一次答题，即可随机

获得4B,C,D四种不同卡片中一张，获得每种卡片的概率相同，若每人仅可参加一次，这7名同学获得卡片

后，可集齐全4种卡片的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在△力BC中，内角4所对的边分别为a,瓦c,强=2sin(C—1

COSD、6Z

⑴求8；

(2)若44BC的面积为边上的高为1,求44BC的周长.

16.(本小题12分)

已知椭圆蜷+苴=l(a>6>0)的左、右焦点为&,尸2，离心率为容，点P为椭圆C上任意一点，且回

P&F2的周长为6+4，2

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线=%+门与直线%：y=x-，百分别交椭圆C于4B和C,D两点，求四边形2BCD的面积.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，AB//CD,^ABC=90°,平面PAD1平面力BCD,AB=2CD=2BC=4.

P

(1)证明：PA1FD；

(2)若P4=PD=2,点M为棱AB的中点，求二面角力—PD-M的余弦值.

18.(本小题12分)

已知函数/(%)=x—ln(x—a),a>0.

(1)若x=2为函数/(久)的极值点，求a的值；

(2)若不等式x-/(久)+V9a-4%<Ina+a-ln2恒成立，求a的取值范围.

19.(本小题12分)

已知数列｛aj对于任意的neN*,都有an+an+2>2厮+1，则称数列｛%J为“凹数列”.

(1)判断数列与=2"是否为“凹数列”，请说明理由；

(2)已知等差数列｛%｝,首项为4,公差为d,且｛个｝为“凹数列”，求d的取值范围；

(3)证明：数列｛4｝为“凹数列”的充要条件是“对于任意的neN*,当时，有牢华<

n-m

参考答案

l.B

2.D

3.B

4.A

5.C

6.5

7.D

8.F

9.BCD

10.ABC

11.AC

1Z(1，|)

13字

4

14空

*1024

15.解：(1)由=2sin(C—》得cos/=2cosB(字sinC—gcosC)①,

由A+B+C=7T,得cosZ=-cos(B+C)=—cosBcosf+sinBsinC②，

由①②联立，得sinBsinC=-\A3cosBsinC,

由CG(0,7r),得sinCW0,所以tanB=V3,

又由86(0,兀)，得3=0

(2)因为△ABC的面积为门，

所以2bx1=V_3，得b=2V-3,

由gacsinB=即gacx苧=所以ac=4,

由余弦定理，得炉=a2+c2—2accost,即12=a2+c2—ac,

所以(a+c)2=Sac+12=24,可得a+c=2y/~6,

所以△ABC的周长为a+b+c=2yf6+2/3.

(2a+2c=6+4<2

16.解：(1)由题意知I。？=^+c2,

lc_2/2

\a-

解得Q=3,b=l,c=2V~2,

则椭圆C的方程为卷+y2=1;

(2)易知四边形力BCD为平行四边形，

设4。21)8(如、2)，

y=x+V-3—

联立直线k与椭圆C:1%2,消去y并整理得5/+973%+9=0,

(§+y2=i

由韦达定理得%1+%2=—―,%i%2=

\AB|=V1+fc2,4(%i+汽2/一4%I%2=3[14,

因为与CO平行，所以这两条直线的距离4=恒穿到=混，

V2

则平行四边形力BCD的面积S=|4B|•d=?X*=等.

17.解：⑴

证明：因为力B〃C，N48C=90。，所以N8CD=90。，

所以BD=VBC2+CD2=272,ZCBD=45°,所以乙28。=45",

所以加=BD2+AB2_2BD-AB-cos45"

=8+16-2x2AA2x4x苧=8,

所以AB2=BO2+4/)2,所以NADB=90。，即4D1BD,

又因为面PAD1面ABC。，面PADn面4BCD=AD,BDu面ABC。,

所以BD1面PAD,

又因为PHu面PAD,所以B。1PA;

(2)

解：取4D的中点。，连接PO,MO,

由(1)知=因为P2=PD=2,易知P。14D,P。=逅，

因为M为的中点，。为2。的中点，所以。M=2Bn=，2,0M〃BD,

所以。M_L平面PAD,所以。P,OM,OD两两垂直，

以。为坐标原点，OM,OD,OP所在直线分别为居y,z轴，建立空间直角坐标系,

则4(0,0),P(0,0,遍),。(0,您,0),M(^2,0,0),

则丽=(0,42,-A<2),PM=[42,0,-4T),

平面力PD的法向量为记=(1,0,0),

设平面PDM的法向量为元=(x,y,z),

贝1(记-~PD-(x,y,z)■(0,-V_2)=y[2y-=0

'in-PM=(x,y,z)■(72,0,-72)=-g=0'

令z=1,则％=y=l,故元=(1,1,1),

L—>一、m-n1AT3

故+c°sz〈a，n〉=而而=方=可,

设二面角a-PD-M的大小为0,由图形可知，。为锐角,

故二面角4—PD—M的余弦值为早.

18.解：(1)由题/0)=1—4，故((2)=1—3=0,解得a=l,

此时/'(%)=比一ln(x-1)，故定义域为(1,+8),((乂)=1一六=冷,

所以当x€(1,2)时尸Q)<0,x6(2,+8)时，/(%)>0,

所以久=2为函数的极值点，故a=l.

(2)

设九(%)=ln(x一a)+V9a-4%,定义域为(口号］

元(%)=J__2=79a-4-a),

lx—aV9a—4%(%—a)V9a-4x'

设g(%)—V9a—4%一2(%-a)(a<%<当)，

所以“⑺=焉|叁—2<0,所以g(x)在(a片)上单调递减，

又g(a)=/5a>0,g(•=-y<o,g(x)在(a,等上连续,

所以存在%oe(a,彳)使g(%0)=yj9a—4x0—2(x0—a)—0,

当％£(a,%o)时，g(x)>0,即“(%)〉0,函数h(%)单调递增，

当％E(%(),竽］时，g(x)<0,即"(%)V0,函数h(%)单调递减，

所以函数八(%)的最大值为

/i(x)max=h(x0)=ln(x0—a)+J9a—4%。=ln(x0—a)+2(x0—a),

因为％—/(%)+V9a-4%<Ina+a—ln2恒成立，

即ln(%°—a)+2(%Q—CL)<In卷+2x，［旦成立，

设m(%)=Inx+2x(x>0),则M(%)=-+2>0,所以？n(%)单调递增，

所以Xo—a/即XoW竽恒成立，

因为gO)在(a,苧)上单调递减，且g(%o)=0,

所以只需9管)<0恒成立，即/宝—aWO,

解得a>3.

故a的取值范围是［3,+8).

19.解：(1)

nn+2n+1n+1n+1nn

因为tin=2,则an+2—an+1=2-2=2,an+1—an=2—2=2,

n

又2"+i>2,故即+2-an+1>an+1-an,即厮+an+2>2an+1,数列｛20是“凹数列

(2)

因为等差数列｛g｝的公差为d,bi=4,

所以6n=&+(7i—l)d=4+(n—l)d,

所以吗+喑>2X组对任意n>2,neN*恒成立,

n—1n+1n

4+(九一2)d+4+nd

即>?X4+(nT)d

n—1n+1n

所以"甘+d+W>2(d+F),

ii