变量与函数教案

变量与函数学习目标：1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量；3、结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义；在理解掌握函数概念的基础上，确定函数关系式；4、会根据函数解析式和实际意义确定自变量的取值范围。学习重点：了解常量与变量的意义；理解函数概念和自变量的意义；确定函数关系式。学习难点：函数概念的理解；函数关系式的确定学习过程： 提出问题，创设情景问题一：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．１．请同学们根据题意填写下表：t/时12345ts/千米２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含t的式子表示s．__s=_________________t的取值范围是这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．深入探究，得出结论（一）问题探究：问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?１．请同学们根据题意填写下表：售出票数（张）早场150午场206晚场310x收入y(元)2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含x的式子表示y．__y=_________________x的取值范围是这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为Lcm,怎样用含m的式子表示L？1．请同学们根据题意填写下表：所挂重物（kg）12345m受力后的弹簧长度L（cm）2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含m的式子表示L．__L=_________________m的取值范围是这个问题反映了_________随_________的变化过程．问题四：圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30cm2呢?怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？关系式：________１．请同学们根据题意填写下表：面积s（cm2）102030s半径r(cm)２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含s的式子表示r．__r=_________________s的取值范围是这个问题反映了____随___的变化过程．问题五：用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。设矩形的长为xm，面积为Ｓm2，怎样用含有x的式子表示Ｓ呢？１．请同学们根据题意填写下表：长x（m）1234x面积s（m2）２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含x的式子表示s．_______________x的取值范围是这个问题反映了矩形的____随___的变化过程．小结：以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的（如……），有些量的数值是始终不变的（如……）。（二）得出结论：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为________；在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为________；三、问题引申，探索概念（一）观察探究：1、在前面研究的每个问题中，都出现了______个变量，它们之间是相互影响，相互制约的．2、同一个问题中的变量之间有什么联系？（请同学们自己分析“问题一”中两个变量之间的关系，进而再分析上述所有实例中的两个变量之间是否有类似的关系．）归纳：上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有________确定的值与其对应。3、其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间有上述这样的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？中国人口数统计表年份中国人口数统计表年份人口数／亿198410．34198911．06199411．76199912．52可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？中国人口数统计表（二）归纳概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是_________，y是x的________．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的_________．举例说明：问题一问题二问题三问题四问题五自变量自变量的函数函数解析式四、课堂练习，巩固概念1、若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝Ｒ3．其中变量是_______、_______，常量是________．自变量是，是的函数，R的取值范围是2、校园里栽下一棵小树高1．8米，以后每年长0．3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式__________．其中变量是_______、_______，常量是________．自变量是，是的函数,n的取值范围是3、在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度v=，则这个关系式中变量是_______、_______，常量是________．自变量是，是的函数,自变量的取值范围是4、已知2x-3y=1，若把y看成x的函数，则可以表示为___________．其中变量是_____、_____，常量是________．自变量是，是的函数,x的取值范围是5、等腰△ABC中，AB=AC，则顶角y与底角x之间的函数关系式为_____________．其中变量是_______、_______，常量是________．自变量是，是的函数,x的取值范围是6、汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Ｑ升与行驶时间t小时的关系是_____________．其中变量是_______、_______，常量是________．自变量是，是的函数,t的取值范围是例．求下列函数中自变量x的取值范围(1)y=3x－l(2)y＝2x＋7(3)y=eq\f(1,x＋2)(4)y=eq\r(x－2)课堂反馈写出下列函数自变量的取值范围.(1)y=3X-2(2)y=（3）（4）14.1.3函数的图象（一）学习目标：1.了解函数的三种表示方法，初步领会他们之间的区别与联系2.学会观察函数图象，从中获取信息.学习过程：活动一、复习旧知识1．油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1小时流完，求油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（分钟）间的函数关系式为__________________，自变量的范围是_____________．当Q=10kg时，t=_______________．2．x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．3．已知三角形底边长为4，高为x，三角形的面积为y，则y与x的函数关系式为_______________．4．下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（）A．y=2x2中，x取全体实数B．y=中，x取x≠-1的实数C．y=中，x取x≥2的实数D．y=中，x取x≥-3的实数5．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A．S=120-30t（0≤t≤4）B．S=30t（0≤t≤4）C．S=120-30t（t>0）D．S=30t（t=4）活动二：探究新知1.正方形的边长X与面积S的函数关系为S＝，自变量X的取值范围是2.也可以用在坐标系中画图的方法表示S与X的关系：（1）填表X00.511.522.533.54S（2）当x＝2时，s＝4，可确定一个点（2，4）。然后利用表中数据确定其它点，在坐标系中将上表中各对数值所对应的点画出；（3）实际上x与s的对应关系的点有无数个。但是实际上我们只能描出有限个点，同时想象出其它点的位置，连接这些点。想一想：这条曲线包括原点吗？应该怎样表示？归纳总结：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的_________。活动三：1、下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？（1）纵坐标是横坐标的函数（2）该图像描述的是某天从时到时的气温变化情况（3）看图像，这一天中时气温最高，时气温最低。（4）从时至时气温随时间的增长而上升。从时至时和时到时温度随时间的增长而下降。（5）大约时的气温是0ºC。2、下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．（1）横轴X表示，纵轴Y表示（2）反映的过程是其中红折线中下降的斜线表示（3）小明家离菜地千米，小明从家到菜地用时分（4）小明浇菜用时分（5）菜地离玉米地千米，小明从菜地到玉米地用时分（6）小明在玉米地锄草分（7）玉米地离小明家千米，从玉米地到家用时分，平均速度为（8）图像上升表示离家越来越，下降则表示活动四：课堂练习x/分y/x/分y/米150010005001020304050D．Oy/米C．O102030405015001000500x/分Oy/米B．x/分150010005001020304050y/米150010005001020304050x/分A．O时间／时时间／时0481216200.81.0水位／米2．近一个月来漳州市遭受暴雨袭击，九龙江水位上涨．小明以警戒水位为原点，用折线统计图表示某一天江水水位情况．请你结合折线统计图判断下列叙述不正确的是（）A．8时水位最高 B．这一天水位均高于警戒水位C．8时到16时水位都在下降D．P点表示12时水位高于警戒水位0.6米3、王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．看上面问题的图，回答下列问题（1）图中有一个直角坐标系，它的横轴（x轴）和纵轴（y轴）各表示什么？（2）如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？(3)小强让爷爷先上多少米？(4)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？4、一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是()．5、周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里．他离开家后的距离S（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据这个图象回答下列问题：(1)小李到达离家最远的地方是什么时间？(2)小李何时第一次休息？(3)10时到13时，小骑了多少千米？(4)返回时，小李的平均车速是多少？14.1.2函数的图象（二）学习目标：1、学会运用描点法画函数的图象，并认识自变量的取值范围和函数值的内在联系.2、了解三种表示方法的优缺点．３、会根据具体情况选择适当方法学习过程活动一：在函数y＝x+0.5中（1）自变量X的取值范围是（2）填表X…-3-2-10123…Y0.5（3）根据表中数值描点（X、y）.（4）利用平滑的曲线连接这些点.（5）观察图象可知：①函数y＝X+0.5的图像是一条线②图像从左到右在，当图像上点的纵坐标Y随横坐标x的增大而③图像与Y轴交点的纵坐标，恰好是，这时横坐标是活动二：在函数y＝（x＞0）中（1）自变量x的取值范围是（2）填表X…0.511.522.533.5456…Y(3)描点并用平滑曲线连接这些点.(4)观察图像①函数y＝（x＞0）的图像是一条线②图像从左到右在，当图像上点的横坐标x增大时,纵坐标Y在③图像会不会与坐标轴相交?为什么?活动三：【小结】归纳一下描点法画函数图像的一般步骤:第一步：（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）第二步：（在直角坐标系中，以的值为横坐标，相应的函数值为，描出表格中数值对应的点）第三步：（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用的曲线或线段连接起来）活动四：在课本103页的思考题中问题(1):①在“漏壶”示意图中x表示,y表示,随时间X的变化,壶底到水面的高度y在,而图像和在下降.②在暂不考虑水量变化对压力的影响时,水面下降速度一样吗?③哪个图像更能表示水面到水底的高度y随时间x变化的函数关系?问题(2):①什么叫做函数?②在左图中当x=a时，y的值唯一吗？右图呢？③所以图表示y是x的函数。练习、1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（）2．下面函数中，自变量的取值范围不是全体实数的是（）A．B．C．D．活动五：1、函数有三种表示方法，它们分别是(1)(2)(3)2、阅读课本105页例题4体会函数三种表示方法的优缺点从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点．从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．活动六：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．t/时012345…y/米1010．0510．1010．1510．2010．25…（1）水位在上涨还是下落？每小时上涨米，t小时上涨米，开始水位高米，所以水位高度y与时间t函数解析式；（2）据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？（3）自变量t的取值范围是：；画出函数图象。活动七：课时小结活动八：课时检测1．某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压，生产3h后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量y是时间t的函数，下面能表示这个函数的图象是（）s（千米）s（千米）s（千米）s（千米）2、一辆客车从襄樊出发开往武汉，设客车出发t小时后与武汉的距离为s千米，下列图像能大致反映s（千米）s（千米）s（千米）s（千米）O（D）OO（D）O（D）O（D）t（小时）t（小时）O（D）t（小时）tt（小时）t（小时）O（D）t（小时）t（小时）ABCD3．某自来水公司为加强居民节水意识，制定了每户每月用水4t以内（含4t）及4t以上两种收费标准，如图所示．（1）公司收费标准如何?（2）某用户该月交费12．8元，实际用水多少吨?14.2.1正比例函数学习目标：1.会在具体问题中体会和理解正比例函数的意义.2.能写出简单问题中正比例函数的解析式，理解并记住正比例函数的性质3.知道正比例函数的图象是一条直线，会画出正比例函数的图象.学习过程：活动一：预习课本110页1.（1）燕鸥的飞行路程是千米，时间是天，飞行速度是千米/天。（2）假设这只燕鸥每天飞行200千米，那么它飞行x天的行程为即燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行时间（单位：天）之间的关系为：。（3）当这只燕鸥飞行两个月，即X=60天时的行程y==2.（1）圆的周长L随半径R的变化而变化，则L=。（2）铁的密度是7.8g/cm³,铁块的质量M（单位：g）要随它的体积V（单位：cm³）的变化而变化；则M=。（3）每个练习本厚0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）要随这些练习本的本数n的变化而变化，则h=。（4）冷冻一个0ºC的物体，使它每分下降2ºC，物体的温度T（单位：ºC）要随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化，则T=。3.【分析比较】以上问题所列函数关系式都是与的形式。活动二：解析定义掌握正比例函数的定义要注意以下几点：（1）形如的函数，叫做正比例函数.（2）它是自变量与常数的（填：积或商）的形式.（3）其中K是，对常数的要求是：（4）自变量的次数是（5）其中K也叫4、练习：（1）、下列函数中哪些是正比例函数？（2）、若是正比例函数，ｍ＝________________（3）、、若是正比例函数，ｍ＝________________（4）、若是关于x的正比例函数,则ｍ＝________________（5）、已知一个正比例函数的比例系数是－5,则它的解析式为____________方法总结：形如y=kx+n是正比例函数的条件活动三在同一坐标系中，画出下列正比例函数的图象.1、回忆：画函数图像的步骤：（1）Y=2X（2）Y=-2X解：（1）根据Y=2X填表X-3-2-10123Y（2）根据Y=-2X填表X-3-2-10123Y2、两图象都是经过的线，函数Y=2X的图象从左向右，经过第象限；函数Y=-2X的图象从左向右，经过第象限.活动四、探究1、做课本112页的练习题x-3-2-10123y=x观察上表，当自变量x增大时，y=x的函数值相应地。x-3-2-10123y=-x观察上表，当自变量x增大时，y=-x的函数值相应地。2、【观察分析】比较正比例函数y=x与y=-x的图像：（1）函数y=x与y=-x的图象都分别是一条线，它们都经过点。（2）函数y=x的图像经过、象限，从左向右在（填上升或下降），当处自变量x的值增大时，函数值y。（3）函数y=-x的图像经过、象限，从左向右在（填上升或下降），当处自变量x的值增大时，函数值y。3、【回顾比较】所画的y=2x与y=-2x的图像也都是经过点线，函数y=2x的图像从左向右，经过象限；函数y=-2x的图像从左向右，经过象限；4、【归纳小结】由以上观察分析可知：一般地，正比例函数y=kx（k是常用数，k0）的图像是一条经过的直线，我们称它为；正比例函数y=kx，当k＞0时，直线y=kx经过第象限，从左向右，即随着x的增大y；当k＜0时，直线y=kx经过第象限，从左向右，即随着x的增大y。活动五待定系数法1、经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？2、正比例函数解析式为y=kx（k是常数，k≠0），要确定其解析式需要几个点？3、（1）已知y是x的正比例函数，当x=2时，y=6，求y与x的函数解析式;当y=-2时，求x的值（2）已知y是x+1成正比例，当x=5时，y=12，求y与x关系式活动六、课时小结（1）定义（2）待定系数法的步骤活动七、课堂检测1、下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A、B、C、D、2、关于函数，下列说法正确的是（）A、函数图像经过点（1，2）B、函数图像经过第二四象限C、y随x的增大而增大D、不论x取何值，总有y＞03、已知点（2，－4）在正比例函数y=kx的图像上（1）求k的值（2）画出该函数图像（3）若A()B（－2，b）C（1，c）都在该函数图像上，是比较a、b、c的大小一次函数（一）学习目标：1.理解一次函数的概念，把握一次函数解析式的特征.2.会画出一次函数的图象.3.初步利用图象探求一次函数的性质.学习过程：活动一1.读课本113页中的问题：（1）海拔每升高1千米，气温下降，当登山队员登高X千米时，气温下降。而开始在大本营时气温是，所以登山队员由大本营向上登高X千米时的气温Y=即Y与X之间的函数解析式为：。（2）当登山队员由大本营向上登上2千米时，即上面解析式中的自变量X=2时，他们所在位置的气温Y==。2.下面问题中变量间的关系可用怎样的函数表示？（1）C的值是T的8倍与36的和，则C=。（2）标准体重G（单位：千克）等于身高h（单位：厘米）与常数105的差，则G=（3）某城市的市内电话月收费额Y（单位：元）包括两部分：一是月租费22元，二是打电话时间x分钟的费用（每分钟收取0.15元），则月收费额y=。（4）一个长方形长是20㎝，宽是15㎝，把长减少x㎝，宽不变，那么长方形的面积y（单位：）要随x值的变化而变化，这时y=。3.以上问题的解析式分别是：（1）（2）（3）（4）它们与y=-6x+5一样，特点都是自变量x的k（常数）倍与另一个常数的。4.一次函数的形式是：，其中是常数，且。正比例函数y=kx是一次函数y=kx+b的一种特殊情况，这时b=。活动二（1）画出函数y=-6x与y=-6x+5的图像

（2）比较分析上面两个函数的相同点与不同点：这两个函数的图像形状都是，并且倾斜程度，函数y=-6x的图像经过原点，函数y=-6x+5的图像与y轴交于点，即它可以看作由直线y=-6x向平移个单位长度而得到。因为自变量的系数相同，所以倾斜度；因为不同，所以图像与Y轴的交点不同。（3）由函数y=-6x+5形如，容易得出：一次函数y=kx+b的图像是一条线，我们称它为线y=kx+b它可以看作由直线y=kx平移单位长度而得到，当b＞0时，向方移动；当b＜0时，向方移动.活动二分别画出下列函数的图像（1）（2）（3）（4）观察上面四个图像，（1）经过_________象限；y随x的增大而_______，函数的图像从左到右________；（2）经过_________象限；y随x的增大而_______，函数的图像从左到右________；（3）经过_________象限；y随x的增大而_______，函数的图像从左到右________；（4）经过_________象限；y随x的增大而_______，函数的图像从左到右________。总结：由此可以得