北京市通州区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 含解析

通州区2024—2025学年第一学期高一年级期中质量检测数学试卷2024年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解一元二次方程解得集合，再求并集即可.【详解】，又，故.故选：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】由解得；由解得；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.命题“存在一个实数，它的绝对值不是正数”的否定是（）A.存在一个实数，它的绝对值是正数B.存在无数个实数，它的绝对值不是正数C.任意一个实数，它的绝对值都不是正数D.任意一个实数，它的绝对值都是正数【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定判断即可.【详解】命题“存在一个实数，它的绝对值不是正数“的否定命题是：“任意一个实数，它的绝对值都是正数”.故选：D4.已知，且，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特殊值以及作差比较法来确定正确答案.【详解】依题意，，且，A选项，若，则，所以A选项错误.B选项，，所以B选项正确.C选项，若，则，所以C选项错误.D选项，若，则，所以D选项错误.故选：B5.已知集合，根据函数定义，下列给出四个对应法则，能构成从到的函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义确定正确答案.【详解】A选项，对于，，，所以A选项错误.B选项，对于，，所以B选项错误.C选项，对于，，所以C选项错误.D选项，对于，集合中任意一个元素，在集合中都有唯一确定的数对应，所以能构成从到的函数.故选：D6.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把分为和两种情况，分类讨论解不等式即可得到结果.【详解】当时，由得，不等式解集为，当时，由得，不等式无解.综上得，的解集为.故选：C.7.若函数fx123321123132则满足的值为（）A.1 B.3 C.1或2 D.2或3【答案】D【解析】【分析】根据表格求函数值，逐项验证进行比较.【详解】根据表格可知，，，，所以满足条件的是或.故选：D8.已知函数的定义域为，则下列说法正确的个数为（）①若，则②若在上单调递增，在上也单调递增，则在上单调递增③若，则在上不可能为增函数④若，则在上不可能为奇函数A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求最小值，可判断①；举出反例可判断②；根据单调性定义可判断③；若，则函数在R上可以为奇函数，可判断④.【详解】对于①：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故，①正确；对于②：若，则满足题目要求，但在R上不增函数，故②错误；对于③：因为，所以由单调性定义可知，在上不可能为增函数，故③正确；对于④：若，则函数在R上可以为奇函数，例如：，满足，且为奇函数，故④错误.综上可知，①③正确.故选：B9.已知不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用判别式列不等式来求得的取值范围.【详解】不等式对一切实数都成立，即不等式对一切实数都成立，所以，解得.故选：A10.设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（）A.12 B.15 C.31 D.32【答案】B【解析】【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果.【详解】∵，∴满足“，则”的的集合是的子集，但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现，∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：.故选：B.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】由，解得，所以的定义域为.故答案为：12.已知函数，当时，则的值为______.【答案】或【解析】【分析】根据已知条件列方程，从而求得的值.【详解】依题意，，则，解得或.故答案为：或13.已知全集，集合为的两个非空子集，且，则______；满足的一个集合为______.【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】【分析】根据补集的定义以及子集定义即可求解.【详解】由于，，故，，则.故答案为：，（答案不唯一）14.设集合、是两个实数集，给出下列三个结论：①若，则，使，且；②若，，则；③若，，且“”的充要条件是“”.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②【解析】【分析】根据交集的定义可判断①的正误；求出集合、，利用交集的定义求出集合，可判断②的正误；对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的包含关系验证或得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围，可判断③的正误.【详解】对于①，若，则，使，且，①对；对于②，，，则，②对；对于③，因为，，当时，则，此时，，当时，则或x>1，此时，，当时，则或，要使得，则，此时，，综上所述，“”的充要条件是“”，③错.故答案为：①②.15.已知函数若互不相等的三个实数满足，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】画出的图象，根据对称性求得的取值范围.【详解】画出的图象如下图所示，当时，令，解得，依题意，互不相等的三个实数满足，不妨设，由图可知，而，所以.故答案为：三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知幂函数的图象过点.（1）求的值；（2）求在区间上的最大值；（3）设函数，判断的奇偶性.【答案】（1）（2）（3）为奇函数.【解析】【分析】（1）根据幂函数的知识求得的解析式，进而求得.（2）根据函数的单调性来求得最大值.（3）根据函数的奇偶性的定义进行判断.【小问1详解】设幂函数，因为的图象过点，所以，得.所以.所以.【小问2详解】因为，所以在区间上单调递增.所以在区间上的最大值为.【小问3详解】因为函数，所以.因为的定义域为，所以.所以为奇函数.17.已知全集，集合.（1）求；（2）再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案.（2）结合集合关系及集合运算，根据所选条件列不等式，由此来求得的取值范围.【小问1详解】因为集合，所以或.所以.【小问2详解】选择条件①：因为，所以.所以，或.所以，或.因为，所以.所以的取值范围是.选择条件②：因为，所以.因为，所以.所以.因为，所以.所以的取值范围是.18.已知函数.（1）求的值域；（2）设函数.①当时，求的最小值；②根据定义证明在区间上单调递增.【答案】（1）；（2）①2；②证明见解析.【解析】【分析】（1）对二次三项式配方，即可求得函数值域；（2）①利用基本不等式，即可求得函数的最小值；②根据单调性定义，作差、变形、定号即可证明.【小问1详解】因为函数，所以，所以的值域为.【小问2详解】因为函数，所以.①因为，所以.当且仅当，即时，等号成立.所以当时，取到最小值，最小值为2.②任取，且，那么因为，所以，所以，即.所以在区间上单调递增.19.已知二次函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若在区间上单调递增，求的最小值；（3）求关于的不等式的解集.【答案】（1）（2）2（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.（2）根据单调性、对称轴列不等式，由此求得的范围，进而求得的最小值.（3）化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【小问1详解】因为，不等式为.对于方程，解得.所以不等式的解集为.【小问2详解】因为，所以开口向上.因为在区间上单调递增，所以.解得.所以的最小值为2.【小问3详解】因为，所以，即.当，即时，解得，或；当，即时，解得；当，即时，解得或.综上所述，当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或.20.如图，计划靠一面墙建一个菜园，墙长为20米.用篱笆围成两个相同长方形区域种植蔬菜（1）若每个长方形区域的面积为54平方米，要使篱笆的总长度最小，每个长方形的长和宽分别是多少米？并求篱笆总长度的最小值；（2）若每个长方形的长为米，宽为长的一半.篱笆价格每米为8元，区域的重建费用每平方米为20元.要使总费用不超过360元，求的取值范围.【答案】（1）长和宽分别为9米和6米时，篱笆总长度最小，且最小值为36米（2）.【解析】【分析】（1）列出总长的表达式，直接利用基本不等式即可求解最值，（2）根据题意列出总费用，即可根据不等式求解.【小问1详解】设每个长方形长为米，因为每个长方形区域的面积为54平方米，所以宽为米.所以篱笆总长为当且仅当，即时等号成立，所以每个长方形长和宽分别为9米和6米时，篱笆总长度最小，且最小值为36米.【小问2详解】因为每个长方形的长为米，宽为长的一半，所以每个长方形的宽为米.所以长方形区域的面积为平方米，篱笆的总长度为米.所以总费用为元.因为总费用不超过360元，所以，解得.因为，所以.所以要使总费用不超过360元，的取值范围是.21.已知函数.（1）当时，若对于恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，若对于任意恒成立，求的取值范围；（3）若存在，使得与同时成立，求的取值范围.【答案】（1）或.（2）（3）.【解析】【分析】（1）先求得在区间上的最大值，由此列不等式来求得的取值范围.（2）对进行分类讨论，将问题转化为求在区间1,2的最小值、在区间1,2的最大值，由此来求得的取值范围.（3）对，利用判别式进行判断.对，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.【小问1详解】因为，所以.因为对于恒成立，等价于的最大值.因为在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为.所以，即，解得，或.所以实数的取值范围是或.【小问2详解】因为对于任意恒成立，等价于在区间1,2的最小值在区间1,2的最大值.因为，所以在区间1,2的最大值是0.因为，所以对称轴.①当时，在区间1,2的最小值为.所以，解得.所以的取值范围是0,1.②当时，在区间1,2的最小值为.所以，解得.所以的取值范围是.③当时，在区间1,2的最小值为.所以，解得不符合.由①②③得，的取值范围是0,2.【小问3详解】因为函数的图象开口向上，且存在x∈R，使得gx<0所以方程的判别式，解得，或.①当时，因为存在x∈R，使得成立，所以，即.因为在