黑龙江省大庆市2025届高三年级上册第一次质量检测数学试题（解析版）

黑龙江省大庆市2025届高三上学期第一次质量检测

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若复数z满足z+25=l+2i,则在复平面内z所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

K答案XD

k解析U设2=。+历(。/eR),则-历,

所以z+25=。+历+2(。一历)=3。一历，又z+25=l+2i,

1

3。=1Cl——

所以《,c，解得《3，

-b=2

b=-2

所以z=；-2i,所以复数z在复平面内所对应的点为2],位于第四象限.

故选：D.

2.已知R上的函数/(x),则""0)=0”是“函数/(x)为奇函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

[答案XB

K解析工取〃x)=MxT)，xeR,则"0)=0,但/⑴=0"(—1)=2,

即/(—1)。—/。)，所以函数/(x)不是奇函数，故充分性不满足；

若函数/(x)为奇函数，则/(0)=—/(-0)，即/(。)=0,故必要性满足；

所以“”0)=0”是“函数/(可为奇函数”的必要不充分条件.

故选：B.

3.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，若%=4,S3=6,则§12=()

A.112B.122C.132D.142

(答案》C

a,=a,+Id=4fa=0

K解析X设等差数列的公差为d,贝|J二'一，，解得4°,

53=3^+3d=6[d=2

所以So=12q+12X（；2—1）4=132.

故选：C.

4.法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕

式.“奥林匹克之父”顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，

重要的不是凯旋，而是拼搏.为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答

题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名

女生的竞赛成绩（满分1。。分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据：

男生82858687889090929496

女生82848587878788889092

则下列说法错误的是（）

A.男生样本数据的25%分位数是86

B.男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数

C.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变

D.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变

K答案XD

（解析》对于A：10x25%-2.5,所以男生样本数据的25%分位数是86,故A正确;

QQ।90

对于B：男生样本数据的中位数为-=--8--9--,男生样本数据的众数为90,故B正确;

^(82+84+85+87x3+88x2+90+92)=87

对于C：女生样本数据的平均数为

女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为

1(84+85+87x3+88x2+90)=87,故C正确;

对于D：女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变,

但是极差变小，所以方差变小，故D错误.

故选：D.

5.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3,母线长为逑，则圆台的体积为（）

3

26届26岳

93

23诟i23相

93

(答案』A

(解析》因为圆台的上、下底面半径分别为1和3,母线长为迪,

3

2百

所以圆台的IWJ/Z二

亍

所以圆台的体积VulTrxV+TrxBZ+TrxlxSk^^"画.

3V>39

故选：A.

2a—3

XH-----x>l

6.已知函数y(x)=<X在R上单调递增，则实数々的取值范围为

(a-l)ex-1x<l

()

A.(1,2]B.C.D.

(答案』A

2。—3

Xd-----x>l

k解析H因为"％)=<X在R上单调递增，所以a—1>0,则。>1；

("l)e'Tx<l

3r\Q

当2a—3<0且a>l,即1<QW—时,函数y=x+———在[1,-8)上单调递增,

2X

(«-l)e°<1+2a-3

要使/(x)在R上单调递增，贝人3，解得

l<a<-2

2

3对勾函数如》在上单调递增,

当2a—3>0,即a>一时,y=X+

2

(0,J2a-3)上单调递减,

(tz-l)e0<l+2tz-3

33

要使/(x)在R上单调递增，则<a>一，解得大<1«2；

22

V2tz-3<1

综上可得实数a的取值范围为2].故选：A.

7.已知0<&</?<兀，且sin(a+6)+cos(a+/)=0,sinasin/?=6cosacos/,则

tan(a-£)=()

111

A.-1B.——C.——D.——

267

K答案』D

K解析U由题意得sin(o+£)=—cos(a+b),贝ijtan(a+/?)=—l,

又因为sinasin力=6cosacos/?,所以tanatan/?=6,tana.tan/3同号，

/八\tana+tan£tana+tan/.

又因为"1-6=-b

则tan6Z+tan/?=5,tan%tan4同正,

jr

所以0<a〈尸<5,则tan(z<tan〃,

所以tana-tan'=—tana+tan"一4tanatan0=-J5。-4x6=-1>

tana-tanJ3tana-tan/3tana-tanJB1

所以tan(a-0~~,故D正确.

1+tan«tanJ31+6—7

故选：D.

8.已知函数/'(力=211«;—m:+》一l,若对任意的尤e(0,+co),/(x)<0,则万一2。的最

大值为()

A.21n2-lB.3-21n2

C.l-21n2D.21n2-3

［答案XC

k解析U因为/(九)=21nx—a¥+b—l,xe(0,+co),所以/，(％)=——a=———,

XX

当aWO时，/(x)>0恒成立，所以/(%)在(0,+8)上单调递增，且当xf+co时

/(力—+8,不符合题意；

22

当〃>0时，则当0<%<一时尸(%)>0,当％〉一时/'(%)<0,

aa

所以/(x)在［o,宁］上单调递增，在仔，+8J上单调递减，

「2、22

所以/(x)max=7|—|=21ntzx—+Z?-l<0,则)<3-21n2+21na,

kajaci

所以〃一2a<3—21n2+21na—2a,

11_r

令g(x)=lnx-x,贝ijg[x)=——l=----,

JCX

所以当0<x<1时g'(x)>0,当工>1时g'(%)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

所以g(x)wg⑴=-L

所以Ina—a<—1,

则》—2a<3—21n2+21na—2a<l—21n2,

即》—2a的最大值为1—21n2.

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知/(x)=sinx+cosx,则下列说法正确的是()

A./(x+7i)=/(x)B./(%)=/仁—xj

C.Vxe„，r(x)〉0D.3xe^0,-|^,/(x)=0

k答案1BC

k解析U因为/(%)=5血+(：05%=忘5呵%+；),

则/(x+7t)=^2sinx+7t+—j=-V2sinIx+-j/(x),

故A错误;

兀71兀

&sin|--xd■--二夜sin二夜sin|%+一=/(%),故B

24兀一1x+：4

正确;

又尸(x)=V^cos[x+：],当…兀

，则％;£

4

、

所以cos1%+：

e0万

7

所以/"(x)〉。，即Vxe0,：,r(x)>o,故c正确;

当则%+所以sin[冗+1）£

所以故不Hxe[o,^|使得/（无）=0,故D错误.

故选：BC.

10.某学校足球社团进行传球训练，甲、乙、丙三名成员为一组，训练内容是从某人开始随

机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人.现

假定每次传球都能被接到，开始传球的人为第一次触球者，记第〃次触球者是甲的概率为

匕.已知甲为本次训练的第一次触球者，即4=1,则下列说法正确的是（）

A.6=0B.6=；

=-+

CPn+\2^"2D，鸟>片。

K答案XACD

K解析XA：甲传球给乙或丙，故鸟=0,故A正确；

B：乙或丙传球给其他两个人，故6=5,故B错误；

C.D：由题意得：要想第〃次触球者是甲，则第（八-1）次触球的不能是甲，

且第（"-I）次触球的人，有巳的概率将球传给甲，

故月=g（i_/Lj=g—g匕…则与M=—ge.+g，故c正确；

因为与匕T，设与+丸=_;（5-1+彳），

解得：2=-1,所以匕匕T—g]

因为所以[匕-是以|为首项，公比是的等比数列，

33I3J2

故忆>?〔一1，所以kj〔一J+5

2<1V143311

故+-=—，则々。一月二—彳月+彳=—=<0，

3I2）312822256

故故D正确.

故选：ACD.

11.已知抛物线C：V=2px（夕＞0）的焦点为尸，准线交工轴于点。，直线/经过厂且与

C交于A,8两点，其中点A在第一象限，线段”的中点M在V轴上的射影为点N.若

阿川=|阳，则（）

A./的斜率为6

B.△A的是锐角三角形

四边形肠VD尸的面积是百02

D.忸司.|芯4|习ED/

（答案IABD

k解析』由题意可知：抛物线的焦点为歹看,01准线为x=-言,即4—,

设A（菁,＞0,%＜。，

2+TT，N*,可得,

因为|aw|=|NF|,BP|ACV|=|A^F|=|MF|,

可知&MNF等边三角形，即ZNMF=60°,

且跖V〃无轴，可知直线/的倾斜角为60°,斜率为k=tan60°=G，故A正确;

则直线/：＞=

3PX_L

%=

y二6

联立方程《解得＜2或＜

G，

y2=2px6P

、y=F、

_p石A/3旦

即A,BP，则MP，P,N0,p，

7~T7\7

可得=p,\AD\=^p,\BD\=/p,\FA\=2p,\FB\=|p,\AB\=^p，

在中，忸£>|<|明S.\BDf+\ADf-\ABf<0,

可知NADS为最大角，且为锐角，所以△ABD是锐角三角形，故B正确；

四边形跖VD尸的面积为

SMNDF=S&BDF+S&MNF=；X°X当p+；X*故C错误;

因为怛郎|网=：仇怛口="2,所以忸斗|网>|ED|2,故D正确；

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知向量1=（2,3）,b=（x,l）,a1（a-b）,则尤的值为.

［答案X5

K解析H因为商=（2,3）,1=（尤,1）,

所以万_B=（2,3）—（X,1）=（2—X,2）,

又4_!_（〃一B）,所以4一（a-5）=2（2—％）+3*2=0,解得%=5.

22

13.己知F是椭圆C:t+［=l（a〉Z?〉O）的左焦点，直线丁=辰（左#0）交椭圆C于

ab

2JE

监N两点.若|根|=3\FN\,ZMFN=y,则椭圆C的离心率为.

［答案工立

4

（解析》设工是椭圆C的右焦点，连接MF?,NF2,

由对称性可知：|QW|=|ON|,|C町=|o闾，则月叫N为平行四边形,

^\\MF2\=\FN\,ZFMF2=^,^\FM\^3\MF2\,

13

因|引0|+||词=4|晒|=2a,贝,儿阅=±a,但叫=三a,

22

在△Eg中，由余弦定理可得|%「=\MF2f+\FMf-2\MF2\-\FM\-cosZFMF2,

1,9,131

即4c9=——a~H—a——2x—ax——ax——,解得

44222~^~16

所以椭圆C的离心率为e=±=

a/一4

14.已知a>0且awl,函数/（x）=x“—a"在（0,+8）上有且仅有两个零点，则a的取值

范围是.

k答案U且awe

K解析》因为函数〃%）=犬-优在（0,+8）上有且仅有两个零点,

所以/=/有两个交点，

即四=u竺有两个交点，

ax

令/（力=电3，则/（同=/（。）有两个交点，

X

•…=学，

X

所以在区间（O,e）上，/'（无）>0,y=b（x）单调递增，

在区间（e,+8）上，F（x）<0,丁二/⑺单调递减且―了）〉。，

••/（x）a=*e）=：,

C

,.1F（x）=尸（a）有两个交点,

Ina1

/.0<---<-,

ae

所以且awe.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并发布了

《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理

中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收

集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有）的

4

学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为工；而每天饮用含糖饮料低

3

于500毫升的学生的肥胖率为2.

9

（1）若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；

（2）现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X

的分布列和数学期望.

1_O

解：（1）设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件4则P（A）=z，P（Z）=z，

设“学生的肥胖”为事件B,则P（B|A）=|,P（B|A）=|,

由全概率公式可得P（3）=P（3|A）P⑷+P⑻可P㈤-1/+2、3—1

334944

所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为］

（2）由题意可知：X~3,—,且X的可能取值为0，1，2,3,则有:

3

P（x=o）=1-1

P（X=2）=C；

所以X的分布列为

X0123

272791

r

64646464

13

X的期望E（X）=3xw=1.

16.如图，在平面四边形A5CD中，ABHDC,△A5D是边长为2的正三角形,

。。=3,0为的中点，将沿OD折到的位置，PC=屈.

（1）求证：PO±BD；

（2）若E为PC的中点，求直线班与平面？DC所成角的正弦值.

（I）证明：依题意△ABD是边长为2的正三角形，。为AB的中点，所以

所以ODLPO,ODLBO,PD=2,CD=3,PC=岳,

则PZ）2+/）2=,所以？CD,又ABHDC,即05〃。。，所以O5LPD,

又ODcPD=D,0D,PDu平面POD,所以O3_L平面POD,

因为OPu平面POD,所以OBLOP,

又05。。。=。，08,0Du平面BODC,所以OP,平面3ODC,

又瓦）u平面3ODC,所以

（2）解：如图建立空间直角坐标系，则B（1,O,O）,P（O,O,1）,D（0,73,0）,

C（3,A0）,E

2，~T，2'

\7

所以说=,OC=（3,0,0）,DP=（O,-^,1）,

〈乙乙）

.、n-DC=3x=0

设平面PDC的法向量为为=（x,y,z）,贝叫_.令元=（0,1，石卜

n-DP=-J3y+z=0

\BE-n\

sin0=r——n--=

设直线族与平面PDC所成角为e,则网■同

所以直线班与平面PDC所成角的正弦值为巫.

5

17.设VABC的内角A瓦C所对的边分别为瓦c,已知2a—c=2灰x>sC.

a）求3；

7

（2）若VABC的面积为百,cosAcosC=——，求VABC的周长.

26

解：（1）因为2a—c=2Z?cosC,由正弦定理可得2sinA—sinC=2sin5cosC,

且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,

即2sinBcosC+2cosBsinC—sinC=2sinBcosC,

整理可得2cos5sinC—sinC=0,

且Ce(0,7i),则sinC/0,可得2cos5-1=0,即cos5=g,

且36(0,兀)，所以3=1.

(2)因为VABC的面积为5AAM=LqcsinB=^acx=石，则oc=4,

△ABC222

7i

又因为cos5=—cos(A+C)=—cosAcosC+sinAsinC=----FsinAsinC=—,

262

3

可得sinAsinC=—,

13

nhc一

由正弦定理-----=-----=-----=2R,可得a=2HsinAZ?=2HsinB,c=2RsinC,

sinAsinBsinC

其中尺为VABC的外接圆半径，

,23

贝iJac=(2H)sinAsinC,即4=(2H)x—,

可得2R=^^，则Z?=2EsinB=A，

3

由余弦定理可得。2=a2+c2-2accos3=(a+c)2-2〃c-2accos3,

,1

即13=(a+c)—8—2x4x—,解得a+c=5,

'72

所以VA3C的周长为a+c+b=5+JR.

18.己知函数/==其中aeR.

(1)证明：当无e[0,4w)时，g(x)<0；

(2)若x>0时，/(x)有极小值，求实数。的取值范围；

(3)对任意的％«0,可,2〃力28'(力+2恒成立，求实数”的取值范围.

(1)证明：因为g(x)=sinx—x,则g'(x)=cosxTWO对任意xe[0,+co)恒成立，

可知g(x)在[0,+。)内单调递减,则g(x)Wg(O)=0,

所以当xe[0,+<»)时，g(x)WO.

(2)解：因为/(x)=e*—Hn(x+l),x>0,贝i]/(x)=e*—―,

令/z(x)=(%+l)e*-a,%>0,则”(%)=(%+2)e，>0对任意x>0恒成立，

可知/l(%)在(0,+8)内单调递增，则/z(x)>/l(o)=l—Q,

当1一〃20,即时，则九(%)>0对任意%>0恒成立，即广(%)〉0,

可知/(%)在(0,+8)内单调递增，无极值，不合题意；

当1—a<0,即a>l时，则九(%)在(0,+8)内存在唯一零点%>0,

当0<%<%0时，h(x)<0,即r(%)V0；当%时，h(x)>0,即尸(%)>0；

可知〃力在(0,%)内单调递减，在(%,+。)内单调递增，

可知/(%)存在极小值/(%)，符合题意；

综上所述：实数，的取值范围为(L+8).

(3)解：令尸(x)=2/(x)-g1x)-2=2e，—2Qln(x+l)-cosx-l,x£[0,7r],

贝UF'(x)=2ex—三+sinx,

原题意等价于“对任意xe[0,兀卜恒成立，

且/(0)=0,则E'(O)=2—2a»0,解得a<l,

若。<1,因为]£[0,兀],则2/22,..->-2,sinx>0,

%+1

r\

则/'(x)=2ex---+sin%>0,

可知?(久)在[0,兀]内单调递增，则/(犬)之/(0)=0,即a<l符合题意；

综上所述：实数a的取值范围为

19.已知双曲线E的中心为坐标原点，左焦点为卜6,0),渐近线方程为y=士当x.

(1)求E的方程；

(2)若互相垂直的两条直线/"均过点P(P“，O)(P">拒，且"eN*),直线4交E于

A3两点，直线4交E于两点，M,N分别为弦A3和C£>的中点，直线MN交x

轴于点Q(。⑼(〃eN*),设。"=2”.

①求乙；

2n

②记%=|PQ|，%=2"—l(〃eN*),求(T)比人

攵=1

2

V、，2

解：（1）依题意设双曲线方程为，-

a

b

则渐近线方程为y=±—x,

a

a2a=A/2

2

则<c=#>解得9=1所以E的方程为r土->2=1；

2222-

a+b=cc