安徽省六安市某中学2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试题（解析版）

昔山中学2023-2024学年第二学期高一年级期末考试

数学试题

一、单选题

1

1.若复数Z在复平面内对应的点是(l'T),则z-1()

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的几何意义可得z=进而利用复数的除法可求得结果.

11-z.

【详解】由复数的几何意义可得z=l-i,因此，一7=-=~^=Z.

z-l-z(-Z)

故选：A.

2.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为。的正方形O'/'B'C',则原平面图形的周长为

()

A.4aB.8aC.6aD.8^2(2

【答案】B

【解析】

【分析】由直观图还原可得原图形，结合斜二测画法求边长，再求其周长即可.

【详解】由直观图可得原图形,

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所以04=5C=a,OB=141a-^BOA=90°,

所以AB=OC=J。/?+OB?=3a，原图形的周长为2x(a+3a)=8a.

故选：B.

3.已知非零向量Z与3同向，则£一刃()

A.必定与［同向

B.必定与否同向

c.必定与£是平行向量

D,与行不可能是平行向量

【答案】c

【解析】

【分析】设B=2>0,则4一1=4一九7=，可判断结果.

【详解】因为非零向量。与6同向，设6=2a，A>0

所以=a-2a=(l-

则必定与Z是平行向量.

故选：C

4.设a、，为两个平面，加、〃为两条直线，且。口，=加.下述四个命题：

①若根〃〃，则，//a或〃//夕②若加J_〃，则〃_Ltz或夕

③若〃//a且〃//，，则也〃〃④若〃与a,/?所成的角相等，则心,〃

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其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当〃ua,因为加〃“，mu[3,则〃///?,

当“U/?,因为加〃〃，niua,则〃//*

当〃既不在a也不在月内，因为掰〃”,m<za,m<z/3,则〃//tz且"//夕，故①正确；

对②，若则〃与名尸不一定垂直，故②错误；

对③，过直线〃分别作两平面与4万分别相交于直线s和直线t,

因为〃//a,过直线〃的平面与平面a的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知〃//s,

同理可得〃/〃，贝Us/〃，因为s<Z平面尸，/<=平面贝Us//平面6，

因为su平面a,aC\/3=m,则s//加，又因为〃//s,则加〃“，故③正确；

对④，若（zc/?=加，〃与a和尸所成的角相等，如果〃//%〃//，，则”?〃〃，故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件2="第一枚硬币正面朝上"，事件8="第二枚硬币反面朝上”，则

下列说法正确的是（）

A.A与3互为对立事件B.尸（Z）=P（3）

C.A与B相等D.A与3互斥

【答案】B

【解析】

【分析】AD选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B选项，求出两事件的概率；C选项，两事

件不是同一事件，C错误.

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【详解】AD选项，事件A与5能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；

B选项，尸（4）=尸（8）=；,故B正确；

C选项，事件A与事件3不是同一个事件，故C错误.

故选：B.

6.一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4,体积为28兀，则它的表面积为（）

A.4171B.42兀C.29百兀D.（18+76）兀

【答案】B

【解析】

【分析】先利用圆台的体积公式求得高〃，再利用圆台的表面积公式即可得解.

【详解】依题意，设圆台的高为〃，贝兀7/（12+42+1x4）=28兀，解得力=4,

所以圆台的母线长为7（4-1）2+42=5，

则圆台的表面积为兀02+42）+兀（1+4卜5=42兀.

故选：B.

7.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔48的高度，在塔的同一侧选择C,。两个观测点，且在C,。

两点测得塔顶的仰角分别为45。，30°,在水平面上测得N8CD=120°，C,。两地相距500m,则电视塔48

的高度是（）

A.21000mB.400mC.200百mD.500m

【答案】D

【解析】

【分析】

设48=x,将用x表示，在△BCD中，由余弦定理得出关于x的方程，求解，即可得到结论.

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【详解】设=在RtZX/BC中，ZACB=45，

所以BC=48=xm.

在中，ZADB=30°，所以=

在△BCD中，ZBCD=120°，CD=500m,

22

由余弦定理得(6x)2=500+x-2x500xcosl20°,

解得x=500(x=—250舍去).

故选:D.

【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，以及计算求解能力，属于中档题.

8.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.如图，在棱长为1的正方体

ABCD-〃中，点瓦尸分别是棱B}B,B©的中点，点G是棱CQ的中点，则过线段AG且平行于

平面4£厂的截面的面积为

8

C

9-

【答案】B

【分析】取8c的中点〃，连接证明平面〃平面小昉，得截面图形，求面积即可

【详解】取8C的中点〃，连接

因为£尸||BG||GH,£F</面AHGDi.G771面AHGDi,EF//面AHGDi,

同理，4石〃面/"GA,又A^EcEF=E,则平面N"G£h〃平面4E尸，

等腰梯形/8GA的上下底分别为也，、历，

2

腰长为在，故梯形的高为逆，则梯形面积为2,

248

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故选B.

【点睛】此题考查了几何体截面问题，灵活运用面面平行的判定是关键，考查空间想象与推理能力，是中

档题.

二、多选题

9.有一组样本数据：1,1，2,4,1,4,1,2,贝!!()

A.这组数据的众数为4B.这组数据的极差为3

C.这组数据的平均数为2D.这组数据的50%分位数为1

【答案】BC

【解析】

【分析】根据众数、极差的定义可得众数为1,极差为3；经计算可得平均数为2,根据百分位数的定义可

知第50%分位数为H工=L5，即可得出结果.

2

【详解】对A,该组数据众数为1,故A错误；

对B,极差为4—1=3,故B正确；

,十IniL,M1+1+2+4+1+4+1+2,,丁

对C,平均数为------------------------=2,故C正确H；

8

对D,数据从小到大排列为1,1,1,1,2,2,4,4,因为8x50%=4,所以这组数据的50%分位数为巨2=1.5,

2

故D错误.

故选：BC.

10.设的内角A,B,。所对的边分别为a,b,C,则下列结论正确的是()

A.若A>B,则sin/>sinfi

B.若4>B,则cos/>cosB

C.若/+〃<02,则为钝角三角形

D.若acosZ=bcosB,则445c为等腰三角形或者直角三角形

【答案】ACD

【解析】

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【分析】由正弦定理可判断A,结合y=cosx在（0,兀）上单调递减判断B,由余弦定理判断C,利用正弦

定理将边化角，再由二倍角公式判断D正确.

【详解】对于A,若/>B,则所以sin/>sin5,所以A正确；

对于B,由N>8且43e（0,无），

根据函数了=3$》在（0,兀）上单调递减，可得cos/<cos5,所以B错误；

对于C,由余弦定理cosC=勺土"二二<0,可知。为钝角，即"5。为钝角三角形，所以C正确；

lab

对于D,因为QCOS/=bcos3,所以sin/cos/=sinBcosB,即sin2Z=sin25,

又45e（0,兀），所以2425«0,2兀）,所以2/=23或2/+2B=兀,

JT

即/=5或Z+8=—，即。为等腰三角形或直角三角形，所以D正确.

2

故选：ACD

11.已知梯形AB=AD=1,BC=2,AD/IBC,AD1AB,尸是线段BC的中点.将

沿着所在的直线翻折成四面体/BCD,翻折的过程中下列选项正确的是（）

A.AD与4P始终垂直

B.当直线/尸与平面BCD所成角为工时，AP=~

62

C.四面体/-BCD体积的最大值为注

2

D.四面体48CD的外接球的表面积的最小值为4兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用线面垂直的判定定理可得8。上平面O4P,进而可判断A选项；由直线NP与平面BCD所

7TJT

成角为一得NZPO=—,取NP的中点£,由2尸=20£=2尸。（：05/2尸。可判断8选项；当。4,平面

66

BCD时，四面体/-BCD体积最大，进而可判断C选项；由题意确定球心，进而求半径的最小值，可判

断D选项.

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【详解】对于A：连接。尸,20，DPcAP=O,如图所示:

易知四边形ZAP。是正方形，所以

于是在四面体48CD中，

BD±OA,BD10P,

又。4cop=0且040Pu平面04P,

5£）工平面。4?，

又因为4Pu平面。4P,所以BDL4P,故A正确;

对于B：取/尸的中点E,连接。£,

A

因为。4=。P="，所以0EL4P.

2

7171

当直线NP与平面BCD所成角为一时，ZAP0=~,

66

巧/7

所以AP=2PE=2POcosZAPO=亚乂二=J，故B正确；

22

对于C：由题意可知，当。/，平面BCD时，四面体4-BCD体积最大,

于是七故错误；

=LSBCD-0A=-X-BC-DP-^-=^，C

33226

对于D：因为48LN。，所以△/BD外接圆的圆心为0,

又因为LCD,所以△5£>C外接圆的圆心为尸.

分别过点0,P作平面ABD和BDC的垂线，交于点。「

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则。是四面体ABCD的外接球的球心.

R=O.B=^BP2+O,P2>BP=1,当。।与尸重合时取等号，

所以四面体48CD的外接球的表面积的最小值为4成2=4兀，故D正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问

题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

三、填空题

12.设百，瓦是不共线的两个向量，通=耳+后2,屈=自+3瓦，①=20—瓦•若4瓦。三点共线，则左

的值为.

【答案】-4

【解析】

【分析】根据三点共线可得向量共线，由此利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案.

【详解】因为4瓦。三点共线，故而〃而，

则3AeR，使得J4B=A,BD,

又而=而_无=羽_5_（瓦+3弓）=瓦—每，

[2=1

故召+悠=2（百一4a）,贝必”,，解得比=一4,

-42=k

故答案为：-4

13.如图，正方体4SCD—，棱长为2,£是CQ的中点，则二面角E-DB-C的正弦值为.

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【解析】

【分析】根据二面角平面角的定义得到NEOC是二面角E-03-C的平面角，然后求正弦值即可.

如图，取AD中点0,连接。E,。。，

因为43co—48CQ1为正方体，所以CD=CS,ED=EB,

因为。为8。中点，所以OELBD,0CLBD,

因为平面5£>£c平面。£<=平面BDE,OCu平面

所以ZEOC是二面角E-DB-C的平面角，

CE=1,0C-V2'OE—J2+1=,

sinD50C=—=-^=—,所以二面角E—08—C的正弦值为史.

0E633

故答案为：21.

3

14.粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食

物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不

同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若

粽子的棱长为6cm,则其内可包裹的蛋黄的最大体积为

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【答案】届

【解析】

【分析】蛋黄近似看成一个棱长为6cm的正四面体ABCD的内切球,设正面体ABCD的内切球的球心为0,

球的半径为「，正四面体的表面积为S,体积为厂，则由;=•力可求出厂，从而可求出蛋黄的体

积.

【详解】蛋黄近似看成一个棱长为6cm的正四面体A8CD的内切球，

设正面体/BCD的内切球的球心为0,球的半径为「，正四面体的表面积为S,体积为「，

因为正四面体48CD的棱长为6,

所以正四面体的高力=,62--X—X6=2痣，

V132J

正四面体的表面积为S=4xX3x62=364

一,

4

因为:S'='

所以工X36A/^T=6?义2痣，解得7瓜

“二---，

3342

4（/AY

所以蛋黄的体积为gux苧=V671（cm3），

故答案为：迎71

1D

B

四、解答题

15.复数z=（加之一3加一4）+（加2—5加一6）iGR

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（1）若Z是虚数，求实数加的取值范围：

（2）若z所对应的点在第四象限，求实数加的取值范围：

【答案】（1）加力一1且加彳6

⑵（4,6）

【解析】

【分析】（1）根据复数类型为虚数得到不等式，从而求解；

（2）根据复数对应的点在第四象限得到不等式组，求出实数加的取值范围.

【小问1详解】

由题意可知：z是虚数，贝！J加2_5加一6w0,解得：加工-1且加工6,

所以实数加的取值范围加w-1且加w6.

【小问2详解】

加2-3加一4〉0

因为Z所对应的点在第四象限，则1,解得：4〈加<6,

m~-5m-6<0

所以实数加的取值范围是（4,6）.

222

16.在中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,c+b-a=y[2bc-

（1）求A；

（2）若a=2,求乙48。面积的最大值.

【答案】（1）

4

⑵V2+1

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可；

（2）利用余弦定理及基本不等式得和44+2亚，利用三角形面积公式求解最值即可.

【小问1详解】

由题意得cosZ="+L—"-=也,又/6（0,兀），所以/=弓.

2bc2'’4

【小问2详解】

当。=2时，由余弦定理得4=/+02一夜儿，

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则4=b2+c2'C,所以beV——=4+2A/2,

当方=c时取等号，所以“8。的面积5=,^^^＜行+1,

2

即AZ8C面积的最大值行+l.

17.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为;和：，求：

（1）两个人都译出密码的概率；

（2）恰有1个人译出密码的概率.

【答案】（1）—；

3

⑵T

【解析】

【分析】（1）根题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；

（2）由题意，甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.

【小问1详解】

解：记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件8,

12

可得事件A,B为相互独立事件，且P（Z）=］,P（8）=］，

121

两个人都译出密码的概率为p（/nB）=p（/）xp（5）=5X3=3.

【小问2详解】

解：恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，

且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：

p［（^ns）u（^ns）］=p（^n5）+ppns）=p（^）p（s）+p（l）p（s）

18.如图，48是。。的直径，PZ垂直于。。所在的平面，。是圆周上不同于48的任意一点.求证:

平面上4C，平面必C.

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【答案】证明见解析

【解析】

【分析】先利用线面垂直的判定定理证明1平面P/C,再利用面面垂直的判定定理证明即可.

【详解】证明：因为R4,平面45C,

BCu平面ABC,

所以

又因为8。，/。,2。门尸2=2,/C,PZu平面上4C,

所以平面P/C,