安徽省合肥市2024届高三第一次教学质量检查数学试题

安徽省合肥市2024届高三第一次教学质量检查数学试题

一、单选题

1.已知复数z满足（1+i）z=Z,贝Ijz在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.记S"为等差数列｛%｝的前〃项和，若％=3,5=3,贝!］几=（）

A.144B.120C.100D.80

3.已知随机变量X服从正态分布N（2,〃），且尸（2<X42.5）=0.36,则尸（X>1.5）等

于(

A.0.14B.0.62C.0.72D.0.86

2

4.双曲线C:/-a=1的焦距为4,则C的渐近线方程为（）

A.y=±415XB.y=土也x

C.尸土姮工D.y=±^-x

153

5.在AABC中，内角4瓦。的对边分别为。，4c,若2bcosC=a（2-c）,且5=则。=

(

A.1B.V2C.V3D.2

6.已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD=26,

平面48。_L平面BCD,则该球的表面积是（）

A.100兀B.40兀C.20兀D.16K

7.已知直线/：x-ay-l=0与OC：x2+/-2x+4y-4=0交于4台两点，设弦N8的中

点为为坐标原点，则的取值范围为()

A.[3-V5,3+V5]B.[V3-1,V3+1]

C.[2一瓶2+6]D.[V2-1,V2+1]

8.已知函数/(x)的定义域为(0,+8),且(x+y)/(x+y)=W(x)/3，/(l)=e,记

a=„,b=/(2),c=〃3),则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表

（满分100分）.设事件加表示从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事

件N表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是

（）

机构名称甲乙

分值90989092959395929194

A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分

B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差

C.乙机构测评分数的第一四分位数为91.5

D.事件互为对立事件

10.函数〃必=/-三（加€用的图象可能是（）

22

11.已知椭圆C:二+匕=1的左、右顶点分别为42,左焦点为尸，〃为C上异于43的

42

一点，过点"且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,交x轴于点7,则（）

A.存在点使乙（Affi=120。

B.TA-TB=2TM-TN

___4

C.FA/.FN的最小值为一§

D.ARWN周长的最大值为8

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知集合/={x|x?44},8={x|a-14x4a+l},若AcB=0,则4的取值范围

.

13.已知函数/(x)=2sin(3x+9)(-7i<e<0)的一条对称轴为》=:,当xe[Oj]时，

/(x)的最小值为-a，则t的最大值为.

14.已知点/(玉,乂)](%/2)，定义dAB=J(x「%)2+(%-%)2为48的，镜像距离”.若

点42在曲线V=ln(x-q)+2上，且的最小值为2,则实数。的值为.

四、解答题

15.已知函数/(x)=W^,当x=l时，/(X)有极大值！

⑴求实数6的值；

(2)当x>0时，证明：〃x)<—L.

16.如图，三棱柱NBC-48G中，四边形/CG4,8CG4均为正方形，分别是棱

/民44的中点，N为eg上一点.

(1)证明：^"//平面4口^;

⑵若AB=AC,QE=3QN,求直线DN与平面AtDC所成角的正弦值.

17.2023年9月26日，第十四届中国(合肥)国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本

届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园、26个省外展园和7个

国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车、骑自行车和步行三种方式

游园.

(1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省

内展园的数量为X,求X的分布列及数学期望E(X)；

试卷第3页，共4页

⑵为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客,

其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：

游园方式

观光车自行车步行

游园结果

参观完所有展园808040

未参观完所有展园20120160

用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙

能参观完所有展园的概率.

18.已知抛物线C:/=2加（0>0）的焦点为尸（0』），过点尸的直线/与C交于48两点,

过43作C的切线4,4,交于点〃，且4,与X轴分别交于点。，瓦

⑴求证：|。囿=必刊；

⑵设点p是C上异于43的一点，P到直线4,4,/的距离分别为4W，"，求竽的最小

值.

19.“4-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设乡是非零实数，对任意“eN*,定义

"一数”（矶=1+4+…+qi利用“0-数”可定义“4一阶乘”

（矶=⑴式2%…（矶，且（0）!?=1.和“q-组合数”，即对任意ke^,n^,k<n,

（2）证明：对于任意上,“eN*,左+1W〃，=L_J+«［卜j

n+m+1nn+i

（3）证明：对于任意左，冽GN,HGN*,A:+1<n

k+\k+\k

qq1=0q

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【解析】由题z=3,利用除法法则整理为。+历的形式，即可得到复数的坐标形式，进而求解

即可

2z2z(l-z)2+2z/、

【详解】由题,2=币=(]+；)(/1=(一=1+，,所以z在复平面内对应的点为(1,1),

故选:A

【点睛】本题考查复数的坐标表示，考查复数在复平面的位置，考查复数的除法法则的应用

2.B

【分析】根据等差数列的定义及性质求得数列的首项和公差，利用等差数列前，项和公式计

算即可.

【详解】因为尺=34=3,所以出=1，

又。3=3,

所以=2，

贝jj—a?-d=_1f

所以S]2=12x(—l)+^|^x2=120,

故选：B.

3.D

【分析】根据正态分布的性质进行计算即可.

【详解】随机变量X服从正态分布N(2,/),

且尸(2<XV2.5)=0.36,

所以尸(1.5VX<2)=0.36,

P(^<1.5)=1(l-0.36x2)=0.14,

所以尸(X>1.5)=1-0.14=0.86,

故选:D.

4.B

【分析】根据双曲线方程以及焦距可得6=百，可得渐近线方程.

答案第1页，共15页

【详解】由焦距为4可得2c=4,即c=2,又。=1,

所以《2=1+〃=4,可得〃=3,即6=百；

则C的渐近线方程为y=+-x=土瓜.

a

故选：B

5.A

【分析】给26cosc=a（2-c）两边同时乘以。，结合余弦定理求解即可.

【详解】因为26cosc=。（2-c）,两边同时乘以。得：

2a6cosc=/（2-c）,由余弦定理可得/+〃-c?=2。6cosC,

贝Ua2+b2-c2^a2（2-c）,所以有/一从=，

5La2+c2-b2=2accosB,所以42c=2accosB,又因为8=

所以a=1.

故选：A

6.C

【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可.

【详解】过三角形/BD的中心E作平面NBD的垂线，

过三角形BCD的中心尸作平面BCD的垂线，

两垂线交于点。，连接。。，

依据题中条件可知，。为四面体ABCD的外接球球心，

因为AB=BC=CD=DA=BD=20

所以。尸=2,。尸=1,

贝IOD=y]OF2+FD2=V5,

答案第2页，共15页

即外接球半径为右,

则该球的表面积为4兀（6）=2071,

故选：C.

7.D

【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设/（占,%），见马,％）,

M（x。，％），联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到（々-1）2+（为+1）2=1,

从而求出动点M的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出10Ml的取值范围.

【详解】。。:/+/一2工+4>-4=0即（x-iy+（y+2『=9,则圆心为C（l,-2）,半径

[x-1=0\x=l

直线/:x-即-1=0,令，解得即直线恒过定点1,0,

㈠=°卜=°

X(l-l)2+(O+2)2=4<9,所以点(1,0)在圆内,

x-ay-\=0

设4（x"J，M（x,y）,由

00x2+y2-2x+4y-4=0

消去X整理得（*"+4-=。，显然AS则…2y

t-t.i/\C2Q—4Q+2

贝!J玉+/=Q(必+'2)+2=--------2-----------

所以土土生/-2a+1%十%=2

a2+l26Z2+1

贝|龙。=土土及a2-2a+l_必+为_2

a2+l'y°~2~~a2+\

又直线l-.x-ay-l=0的斜率不为0,所以〃不过点（1,0）,

所以动点初的轨迹方程为（x-l）2+（j+l）2=l（除点（1,0）外）,

圆@一1）2+（了+1）2=1的圆心为"（1,一1）,半径4=1,

又|CW|=^12+（-1）2=拒，所以|CW|-八W\OM\410M+6,

答案第3页，共15页

即0-14|。叫4&+1,即10M的取值范围为[72-1,72+1].

【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点M的轨迹，再求出圆心到原点的距离|0N|,最

后根据圆的几何性质计算可得.

8.A

【分析】根据函数〃x)满足的表达式以及/6=e,利用赋值法即可计算出a/,c的大小.

【详解】由(x+y)/(x+y)=Aj/(x)/(y),"l)=e可得,

令x=y=g,代入可得〃l)=gxg/2H=e,即。=/g)=±2五，

2

令X=y=l,代入可得"⑵=/2(i)=e2,即6="2)=三，

23

令x=l/=2,代入可得3〃3)=2〃l)〃2)=2e*/=e3,即c=〃3)=,；

23

由e^2.71828…可得±2五＜:

23

显然可得。＜6＜c.

故选：A

【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量

的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.

9.BD

【分析】直接由平均数、方差、百分位数及对立事件的概念，逐一对各个选项分析判断，即

可得出结果.

【详解】对于选项A,甲机构测评分数的平均分x甲=——；=93,

-93+95+92+91+94

乙机构测评分数的平均分牝==93,所以选项A错误，

答案第4页，共15页

对于选项B,甲机构测评分数的方差

D,=|［(90-93)2+(98-93)2+(90-93)2+(92-93)2+(95-93)2］=9.6,

2=g［(93-93)2+(95-93)2+(92-93>+(91-93>+(94-93力=2,所以选项B正确，

对于选项C,乙机构测评分数从小排到大为：91,92,93,94,95,

又：牝=5x0.25=1.25,所以乙机构测评分数的第一四分位数为92,所以选项C错误，

对于选项D,因为甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，由对立事件的定义

知，事件互为对立事件，所以选项D正确，

故选：BD.

10.ABD

【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.

【详解】由题意可知，函数/(无)的定义域为(-8,0)口(0,+8),

当〃7>0时，f'(x)=2x2+^>0,函数在(-8,0),(0,+8)上单调递增，故B正确；

当7〃=0时，/(x)=x3,fr(x)=2x>0,所以在(-8,0),(0,+8)上单调递增，故D正确；

当时，当x>0时，f(x)=x3-—>0；当无<0时，f(x)=x3-—<0；

故A正确；C错误.

故选：ABD.

11.BCD

【分析】对于A,判断//C2与g的大小即tanNOE8=£=^=V^<6即可；对于B,设

r(m,0),N(m「n),利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C,求出

FM-FN，利用二次函数求最值即可；对于D,利用椭圆的定义，转化求

8-(|吹［+］九田［-］龙明)的最大值，即可.

答案第5页，共15页

2

对于A,设椭圆的上顶点为E,则直角三角形BOE中，tan/O班=1=V2<V3,则

271

ZAEB<y,故A错误；

22

对于B,设M（”z）,则T（私0）,N（m,-n）,且（+今=1,即4"=2n2,又

/（-2,0）,8（2,0）,

贝1|方・奇=（_2—加,0）-（2_加,0）=_（2+加）（2—机）=-（4-w2）=-2n2,

X2TM-TN=-2n2,^.TA-TB=2TM-TN,则B正确；

对于C,F（-V2,0）,FM-FN=（m++

=（机+后）一〃2=（加+行）-41二+2血m,-2<m<2,

则当加=-3旦时，万万.丽取最小值为-金，故C正确；

33

对于D,设椭圆的右焦点为尸，，

△FMN的周长为：+|NF|+|ACV|=4+4-|NF[+\MN\

=%-{\MF'\+\MF'\-\MN\）<8,

当且仅当M,N,尸'三点共线时，等号成立，故D正确，

故选：BCD.

12.（-oo,-3）U（3,+oo）

【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.

【详解】由X2«4,得（x-2）（x+2）W0,解得-2WxW2,

所以/={x|-2W2}.

因为4cB=0,

所以。+1<—2或。一1>2,解得。<一3或。>3,

答案第6页，共15页

所以。的取值范围是(-s,-3)U(3,+⑹.

故答案为：(-co,-3)U(3,+co).

71

13.

2

［分析］根据条件得到9==，从而得到=2sin0无.J,令3x-,再利用昨2sinf

的图象与性质，即可求出结果.

【详解】因为函数/("=2sin(3x+夕)(-兀＜夕＜0)的一条对称轴为x=2,

JIJI

所以3x_+e=_+®（左wZ）,得至（Je=---Fkji（kGZ）,又_兀＜。＜0,所以0=——,

4244

所以/（x）=2sin（3x-又当xe［0,f］时，〃x）的最小值为一血，

JTTTJT

令—=tE.—,3t—,则y=2sin/,

444J

由了=2sinf的图象与性质知，得到店三，

442

14.1+V2/V2+1

【分析】依题意求出V=ln(x-a)+2的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点

之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.

【详解】由函数＞=ln(x-a)+2可得y-2=ln(x”)，即*二甘^+^;

所以y=ln(x_q)+2的反函数为y=e，-2+q；

由点8(/，%)在曲线〉=111(工-0)+2上可知点用(%62)在其反函数『=/2+4上，

所以%=+(无2『相当于y=e*2+4上的点耳(%/2)到曲线尸ln(x-a)+2

上点/(%,耳)的距离，

答案第7页，共15页

即％=%=，(占-%)2+52-%)2，

利用反函数性质可得y=广2+。与了=111()('-4)+2关于＞=》对称,

所以可得当力用与＞=x垂直时，=d”取得最小值为2,

因此4Bx两点到＞=x的距离都为1,

过点44的切线平行于直线＞=x,斜率为1,即y=_i—=i,

x-a

可得x=a+l,y=ln(〃+l-Q)+2=2,即/(Q+1,2)；

一人-kz+1-2

A点到＞='的距离d=J一尸」=1,解得a-1±^2;

V2

当a=l-血时，了=111@一。)+2=111卜-1+亚)+2与＞=苫相交，不合题意;

因止匕0=1+也.

故答案为：1+四

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上

两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.

15.(l)a=l,6=0

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题中条件列出方程组，解出验证即可；

(2)变形不等式，构造函数利用函数单调性证明即可.

【详解】(1)函数〃x)的定义域为(-e,+8),且洋(x)="；s

因为尤=1时，/(x)有极大值工，

e

所以Ie,解得a=l,6=0,

/⑴=0

经检验，当a=l/=0时，/(x)在x=l时有极大值L

e

所以a=l,6=0；

(2)由⑴知，/(x)=j,

当x＞0时，要证〃》)＜乙，即证三〈白，即证：e，＞x+L

1+xe1+x

答案第8页，共15页

设g(x)=e'-x-l,则g[x)=e*-l,

因为x>0,所以g'(x)=e*-l>0,

所以g(x)在(0,+e)上单调递增，

所以g(x)>g(O)=O,BPex-x-l>0,即e，>x+l,

故当x>0时，

16.(1)证明见解析

(2)—

10

【分析】(1)连接3£,3。,。马则有平面2EC"/平面可得8N//平面4。。;

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量进行计算即可.

【详解】(1)^BE,BCX,DE.

因为48//44，且48=4用，

又2E分别是棱/及44的中点，

所以BD//&E,且8。=4£,

所以四边形8"也为平行四边形，所以&D//EB,

又AXDu平面AXDC,EBU平面AQC,

所以EB〃平面&DC,

因为DEIIBB、11CC、,且DE=BBt-C£,

所以四边形。CQE为平行四边形，所以。E〃CD,

又CDu平面AXDC,QEU平面A.DC,

所以GE〃平面4DC,

因为C[EcEB=E,GE,EBu平面BECX,

所以平面BEC"/平面4。。,

答案第9页，共15页

因为BNu平面BEG，所以3N//平面4DC.

（2）四边形/CC/],2CC14均为正方形，所以CCJ/C,"15C.

所以CCj，平面48c.

因为。E//CC,,

所以。平面48c.

从而DELDB,DE1.DC.

又4B=AC,

所以。8C为等边三角形.

因为。是棱48的中点，

所以CDJ_DB.

即。8,OC,OE两两垂直.

以。为原点，所在直线为x/,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系。-平.

则。（0,0,0）,£（0,0,26）,40,3,0）6（。,3,26），4卜6，。，26）,

所以反=（0,3,0）,西=卜括,0,26）.

答案第10页，共15页

设力=（无j,z）为平面4DC的法向量,

n-DC=O3y=0

则＜可取元=（2,0,1）.

鼠两=0「-也x+2A/3Z=0

因为印=3于，所以N（0,2,2⑹，丽=（0,2,2❷,

设直线DN与平面A.DC所成角为0,

—-In•DNI273_V15

则sin6=|cos〈用DN）土J―=!-

\n\-\DN\V5x4-10

即直线DN与平面AXDC所成角正弦值为卫.

10

17.⑴分布列见解析，E（X）=3

O

（2）0.4

【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望；

（2）根据题意结合全概率公式运算求解.

【详解】（1）由题意知：X所有可能取值为0,1,2,则有:

2「2co、

P（x=o）=*r°C=，7P（X=2）=坐=2

7P（X=I）=警-三7

\C：222^1266，'C：233

可知X的分布列为:

X012

7355

P

226633

73555

所以X的数学期望为：E（X）=0x^-+lx-1+2x^=1.

22oo336

（2）记事件/为“游客乙乘坐观光车游园”，事件B为“游客乙骑自行车游园”，事件C为“游

客乙步行游园”，事件M为“游园结束时，乙能参观完所有展园”，

由题意可知:尸（⑷=0.2,尸⑻=0.4,尸⑹=0.4,

P（M\/）=0.8,尸（必8）=0.4,尸（MC）=0.2,

由全概率公式可得尸（"）=尸（⑷尸（M/）+尸（8）尸（MB）+P（C）P（M\C）=0.4,

答案第11页，共15页

所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4.

18.（1）证明见解析

⑵！

【分析】（1）利用导函数的几何意义求得直线4人的表达式，得出三点的坐标，联

立直线/与抛物线方程根据韦达定理得出\DE\=\MF\.

（2）利用点到直线距离公式可求得蜂=虫上UL可求出嵯的最小值.

/22d-

【详解】（1）因为抛物线C的焦点为尸（0,1）,

所以。=2,即C的方程为：/=外，如下图所示：

设点4（国,乂）8（工2，%），

由题意可知直线/的斜率一定存在，设/：»=履+1,

[x2=4y

联立,:得--4&-4=0,

[y=kx+l

所以石+凡=4左,二-4.

由—=4歹,得y=—X2,y1，

所以4：y-必=T（xf）,即尸土x-卫.

224

令y=o,得x='，即。鼻。）

同理/2：y=£x-。，且（半,0）,

2

所以\DE\=—|XJ—x21=-J（X]+x?）—―4XJX2=2A/A;+1.

答案第12页，共15页

X]而

y=-x——-

24得x=2k/、

由＜「即〃2人,-1.

X?XkT

y=-x——2-

24

所以=，4吹+4=2”?+i.

故。同=|〃4

(2)设点尸(后,%),结合(1)知4：歹-必=_X]）,即:2X]X-4y-Xj=0

因为x；=4弘,x；=4y0,

12否%0—4%—||2X|XQ—XQ—x；

所以4=

14x：+16[4x；+162&+4

同理可得2名普

所以dxd2=