四边形（解析版）-2023年中考数学一轮复习专练

专题20四边形

一、多边形内角与外角

【高频考点精讲】

1、多边形内角和等于("-2)780°,其中"23且”为整数。

(1)推导方法：从“边形的一个顶点出发，引出(«-3)条对角线，将“边形分割为(w-2)个三角形，

则(»-2)个三角形的所有内角之和就是〃边形的内角和。

(2)思想方法：将多边形转化为三角形。

2、多边形外角和等于360°。

(1)多边形的外角：每个顶点处取一个外角，则"边形取〃个外角。

(2)推导方法：多边形外角和=180°n-("-2)780°=360°。

(3)思想方法：邻补角概念以及多边形内角和定理。

【热点题型精练】

1.(2022•大连中考)六边形内角和的度数是()

A.180°B.360°C.540°D.720°

解：六边形的内角和的度数是(6-2)X18O0=720°.

答案:D

2.(2022•烟台中考)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1,则这个正多边形是()

A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十边形

解：•.•一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1,

设这个外角是x°,则内角是3一,

根据题意得：x+3x=18O,

解得：尤=45,

360°+45°=8(边)，

答案:C.

3.(2022•河北中考)如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为a,

0,则正确的是()

A.a-p=0B.a-p<0

C.a-p>0D.无法比较a与0的大小

解：•・,任意多边形的外角和为360。，

••・a=0=36O°.

.*.a-0=0.

答案:A.

4.（2022•南充中考）如图，在正五边形A3CDE中，以A3为边向内作正△A8R则下列结论错误的是（）

A.AE=AFB.ZEAF=ZCBFC.ZF=ZEAFD.ZC=ZE

解：在正五边形A3C0E中内角和：180°X3=540°,

ZC=ZD=ZE=ZEAB=ZABC=540°4-5=108°,

••D不符合题意；

以AB为边向内作正△A3R

AZFAB=ZABF=ZF=60°,AF=AB=FB,

*：AE=ABf

：.AE=AFfZEAF=ZFBC=48°,

・・・A、3不符合题意；

；./F7/EAF,

・,・C符合题意；

答案:C

5.（2022•眉山中考）一个多边形外角和是内角和的彳，则这个多边形的边数为11.

解：设这个多边形的边数为“

2

根据题意可得：-x（n-2）x180°=360°,

解得：n=\\,

答案:n.

6.（2022•株洲中考）如图所示，已知NMON=60°,正五边形A8COE的顶点A、8在射线OM上，顶点E在射线

ON上，则乙4月上=48度.

瓦

OABM

解：：五边形ABCDE是正五边形,

.•./胡2=（5-2）180。=108。,

是△AE。的外角，

ZAEO^ZEAB-ZMON^108°-60°=48°,

答案：48.

7.（2022•遂宁中考）如图，正六边形ABCDEF的顶点4尸分别在正方形的边即/、GH上.若正方形BMG8

的边长为6,则正六边形ABCDEF的边长为4.

六边形ABCDEF是正六边形，

AZBAF=120°,

：.ZHAF=60°,

VZAHF=90°,

：.ZAFH=3Q°,

：.AF^2.AH,

.♦x=2（6-%），

解得x=4,

：.AB=4,

即正六边形ABCDEF的边长为4,

答案：4.

8.（2022•攀枝花中考）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”.请你在不直接运用结论

“〃边形的内角和为（"-2）780°”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：

五边形A8CDE的内角和为540°.

解：连接AD,AC,

二五边形4BCDE的内角和等于△AED,AADC,△ABC的内角和,

，五边形ABCOE的内角和=180°X3=540°.

二、平行四边形的性质与判定

【高频考点精讲】

1、平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边相等。

(2)平行四边形的对角相等。

(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)平行四边形的面积

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的乘积。

②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等。

2、平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

【热点题型精练】

9.(2022•朝阳中考)将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，NEFG=90°ZEGF

60°,50°,则NEGC的度数为()

A.100°B.80°C.70°D.60°

解：•.•四边形A8CO是平行四边形，

C.AB//DC,

：.ZAEG=ZEGC,

NEFG=90°,NEGF=60°,

：.ZGEF=30°,

：.ZGEA=80°,

：.ZEGC=8Q°.

答案:B.

解：A、80°+110°#180°,故A选项不符合条件；

8、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；

C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；

。、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故。选项符合题意；

答案:D

11.（2022•益阳中考）如图，在13ABe。中，AB=8,点E是AB上一点，AE=3,连接。E,过点C作B〃1）E,

交的延长线于点尸，则的长为（）

解：在团ABC。中，AB=8,

：.CD=AB=8,AB//CD,

'：AE=3,

：.BE^AB-AE^5,

'JCF//DE,

四边形DEFC是平行四边形,

：.DC^EF=S,

:.BF=EF-BE=8-5=3.

答案:C.

12.（2022•无锡中考）如图，在回ABC。中，AD=BD,ZA£）C=105°,点£在A。上，ZEBA^60°,则一的值

是（）

GB

解：如图，过点3作于H,

HA

设

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.BC//AD,ZADC=ZABC=105°,

：.ZCBD=ZADB=x,

*：AD=BDf

"IOAO_y.

・・./DBA=ZDAB=',

/.x=30°,

・・・NAO3=30°,ZDAB=75°,

'：BH.LAD,

:.BD=2BH,DH=V3BH,

u：ZEBA=60°,ZDAB=75°,

ZAEB=45°,

AZAEB=ZEBH=45°,

：・EH=BH,

：.DE=43BH-BH=（V3-1）BH,

\'AB=VBH2+AH2=\BH2+QBH-WBH）2=（V6-V2）BH^CD,

DEV2

CD2

答案:D

13.（2022•广州中考）如图，在团ABC。中，AD=10,对角线AC与5。相交于点O,AC+BD=22,则△BOC的周

长为21.

AD

//

----------

解：:四边形ABC。是平行四边形，

・・・AO=OC=%C,BO=OD=^BD,AD=BC=10,

•・・AC+3£>=22,

0C+80=ll,

/\BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21.

答案：21.

14.（2022•常德中考）如图，已知尸是△ABC内的一点，FD//BC,FE//AB,若回2以£的面积为2,BD=

1_

BE=jBC,则△ABC的面积是12.

解：连接QE,CD,

:四边形BEE。为平行四边形，团8OFE的面积为2,

.1_

••SABDE=2s用3。尸£"=1,

1

•：BE=：BC,

S&BDC=4SABDE=4,

1

•；BD=件，

・・S/\ABC=3SNDC=12,

答案：12.

1

15.（2022•苏州中考）如图，在平行四边形ABC。中，ABLAC,45=3,AC=4,分别以A,。为圆心，大于一AC

2

的长为半径画弧，两弧相交于点N,过M,N两点作直线，与8C交于点E,与交于点R连接AE,CF,

则四边形AEC尸的周长为10.

：.BC=VAB2+AC2=5,

由作图可知，是线段AC的垂直平分线，

:・EC=EA,AF=CF,

：.ZEAC=ZACEf

VZB+ZACB=ZBAE+ZCAE=90°,

；・NB=NBAE,

：.AE=BE,

1

:.AE=CE=^BC=2.5,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AD^BC=5,CD=AB=3,ZACD=ZBAC=90°,

同理证得AP=CF=2.5,

四边形AECF的周长uEC+EA+AF+CpulO,

答案:10.

16.(2022•无锡中考)如图，在团48。中，点。为对角线8。的中点，斯过点。且分别交A3、DC于点E、F,

连接。E、BF.

求证：(1)ADOF沿ABOE；

：.OD=OB,

•；四边形ABCD是平行四边形,

：.DF//EB,

・•・ZDFE=NBEF,

在△QO尸和△80E中，

Z.DFO=乙BEO

乙DOF=乙BOE,

DO=BO

:•△DOF咨ABOE(AAS).

(2)〈△DOF之ABOE,

：・DF=EB,

■:DF//EB,

：.四边形DFBE是平行四边形，

：.DE=BF.

17.(2022•毕节中考)如图1,在四边形ABC0中，AC和5。相交于点O,AO=CO,ZBCA=ZCAD.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)如图2,E,F,G分别是50,CO,AO的中点，连接跖，GE,GF,若BD=2AB,BC=15,AC=16,求

△EFG的周长.

B

(1)证明：*：ZBCA=ZCAD,

：.AD//BC,

在△AO。与△COB中，

\LBCA=乙CAD

AO=CO,

Z-AOD=乙COB

：./\AOD^/\COB(ASA),

：.AD=BC,

J四边形ABCD是平行四边形；

(2)解：连接DR

A-G

BJC

・・・四边形ABCD是平行四边形，

1

：.AD=BC=15,AB=CD,AD//BC,BD=2OD,OA=OC=赵C=8,

t：BD=2AB,

：.AB=OD,

：.DO^DC,

・・•点尸是。。的中点，

1

：.OF=^OC=4,DF±OC,

：.AF=OA+OF=12f

在RtZkAH)中，DF=y/AD2-AF2=V152-122=9,

・••点G是A。的中点，ZAF£>=90°,

1

：.DG=FG=^AD=7.5f

・・,点E,点尸分别是05,0。的中点，

・・・EF是△03。的中位线，

1

:.EF=^BC=75,EF//BC,

C.EF^DG,EF//AD,

四边形GEFD是平行四边形，

:.GE=DF=9,

：.A£FG的周长=GE+GF+EF=9+7.5+7.5=24,

...△EPG的周长为24.

三、菱形的性质与判定

【高频考点精讲】

1、菱形的性质

(1)菱形具有平行四边形的一切性质。

(2)菱形的四条边都相等。

(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

(4)菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式。

②菱形面积(a、b是两条对角线的长度)

2

2、菱形的判定

(1)四条边都相等的四边形是菱形。

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（4）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

【热点题型精练】

18.（2022•自贡中考）如图，菱形ABC。对角线交点与坐标原点。重合，点A（-2,5）,则点C的坐标是（）

C

A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

解：•••四边形ABC。是菱形，

.\OA=OC,即点A与点C关于原点对称,

:点A（-2,5）,

...点C的坐标是（2,-5）.

答案:B.

19.（2022•襄阳中考）如图，团ABC。的对角线AC和8。相交于点。，下列说法正确的是（）

B.若AC=BD,贝帆A8CZ）是菱形

C.若。4=。。，贝！］EL48C£）是菱形

D.若4C_LB。，贝!lEIABCD是菱形

解：A、：四边形ABC。是平行四边形,

'.OB=OD,故选项A不符合题意；

8、：四边形ABC。是平行四边形，AC=BD,

：.0ABCD是矩形，故选项B不符合题意;

C、：四边形ABC。是平行四边形，

OA=OC=%C,OB=OD=^BD,

'：OA=OD,

：.AC=BD,

・•・^\ABCD是矩形，故选项C不符合题意；

D、•・•四边形A3CD是平行四边形，AC±BDf

・••团ABC。是菱形，故选项。符合题意；

答案:D

20.（2022•淄博中考）如图，在边长为4的菱形A8C0中，E为AO边的中点，连接CE交对角线3。于点?若/

DEF=NDFE,则这个菱形的面积为（）

A.16B.6V7C.12V7D.30

解：连接AC交3。于O,如图，

：.AD//BCfCB=CD=AD=4fACLBD,BO=OD,OC=AO,

・・・E为AO边的中点，

:・DE=2,

ZDEF=/DFE,

:.DF=DE=2,

・：DE〃BC,

：.NDEF=ZBCF,

•/ZDFE=/BFC,

：.ZBCF=ZBFC,

：.BF=BC=4,

：.BD=BF+DF=4+2=6,

・•・OB=OD=3,

在RtABOC中,OC=V42-32=V7,

：.AC=2OC=2y[7,

[i

菱形ABC。的面积=^AUBD=X2V7X6=6V7.

答案:B.

21.（2022•湘西州中考）如图，菱形ABC。的对角线AC、8。相交于点。，过点。作。A3于点"连接08,

0/7=4,若菱形ABCD的面积为32必，则CD的长为（）

A.4B.4V3C.8D.8百

解：'JDHLAB,

：.ZBHD=90°,

•.•四边形A8C。是菱形，

1

：・0B=0D,OC^OA=^AC,AC±BDf

：.OH=OB=OD=^BD(直角三角形斜边上中线等于斜边的一半)，

・・・0。=4,BD=8,

由34c.BD=32«得，

1L

-x8-XC=32g，

2

/.AC=8V3,

1

：.OC=^AC=4V3,

/.CD=yJOC2+0D2=8,

答案：C.

22.(2022•德州中考)如图，线段A8,C£)端点的坐标分别为A(-1,2),B(3,-1),C(3,2),D(-1,5),

且4B〃CZ),将CO平移至第一象限内，得到C'D'(C,。'均在格点上).若四边形ABC'D'是菱形,

解：如图,

yM

i-----18-------1--r--11—「--i--

VA(-1,2),B(3,-1),C(3,2),D(-1,5),

：.AB//CD.AB=CD=5,

•.•四边形ABC'D'是菱形，

：.AD'=AB=5,

当点。向右平移4个单位，即。'(3,5)时，A。'=5,

当点。向右平移3个单位，向上平移1个单位，即£>'(2,6)时，AD'=5,

答案：(3,5)或(2,6).

23.(2022•辽宁中考)如图，C£>是△ABC的角平分线，过点D分别作AC,BC的平行线，交BC于点E,交AC

于点尸.若/ACB=60°,C£)=4V3,则四边形CE/加的周长是16.

解：连接EP交CD于。，如图:

,JDE//AC,DF//BC,

/.四边形CEDF是平行四边形,

VCD是AABC的角平分线，

：.NFCD=NECD,

•:DE//AC,

.\ZFCD=ZCDE,

：・/ECD=NCDE,

；・CE=DE,

・・・四边形CEO/是菱形，

：.CD.LEF,NECO=*AC8=30°,OC=^CD=2V3,

在RtaCOE中，

...四边形CE/m的周长是4cE=4X4=16,

答案：16.

24.（2022•哈尔滨中考）如图，菱形ABC。的对角线AC,8。相交于点。，点E在OB上，连接AE,点E为CD

的中点，连接若AE=BE,OE=3,。4=4,则线段OF的长为2乘.

解：：四边形ABC。是菱形，

：.AC±BD,AO=CO=4,BO=DO,

：.AE=7Ao2+E。2=-9+16=5,

：.BE=AE=5,

：.BO=S,

:.BC=7B02+C。2=764+16=4限

:点尸为CO的中点，BO=DO,

：.OF=1BC=2V5,

答案：2限

25.（2022•温州中考）如图，在菱形ABCD中，AB=\,ZBAD=60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH

和菱形CGMR使点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,ZM上，点M,N在对角线AC上.若AE=3BE,则

MN的长为—.

—2~

D

EF

B

解：连接。5交AC于点0,作于点/，作交A3的延长线于点如图1所示,

•・•四边形A3CD是菱形，ZBAD=60°,45=1,

：.AB=BC=CD=DA=lfZBAC=30°,ACLBD,

・・・△A3。是等边三角形，

1

：・OD=W，

.\AO=y/AD2—DO2=卜2_(}2=监，

：.AC=2AO=V3,

'：AE=3BE,

：.AE=I，BE=1,

,/菱形AENH和菱形CGMF大小相同，

i

：.BE=BF=4，/FBJ=60°,

：.FJ=BF-sin6Q°=Jx'=噂，

4Zo

:.MI=FJ=

维o,

....MI_V3

•»AM=―si―n30=~Y1~=~4A~f

2

同理可得，CN=字，

:.MN=AC-AM-CN=遮-卓-卓=卓，

答案:三•

26.(2022•广元中考)如图，在四边形A8CZ)中，AB//CD,AC平分NZMB,AB^ICD,E为AB中点，连结CE.

(1)求证：四边形AECO为菱形；

(2)若/。=120°,DC=2,求△ABC的面积.

D

(1)证明：•・・£为AB中点,

：.AB=2AE=2BE,

9：AB=2CD,

：.CD=AE,

^：AE//CD,

・・・四边形AECD是平行四边形，

〈AC平分NZM3,

・•・ZDAC=ZEAC9

*：AB//CD,

：.ZDCA=ZCAB,

：.ZDCA=ZDAC,

：.AD=CDf

，平行四边形是菱形；

(2):四边形AECD是菱形，ZZ)=120°,

：.AD=CD=CE=AE=2,Z£)=120°=NAEC,

:・AE=CE=BE,ZCEB=60°,

：.ZCAE=30°=ZACEfZkCEB是等边三角形，

；・BE=BC=EC=2,ZB=60°,

AZACB=90°,

：.AC=V3BC=2V3,

-1[

.,.S^ABC=xACXBC=X2X2V3=2后

27.(2022•聊城中考)如图，△ABC中，点。是AB上一点，点E是AC的中点，过点(7作。/〃A8,交。E的延

长线于点F.

(1)求证：AD=CF；

(2)连接ARCD.如果点。是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形AOCP是菱形，证明你

的结论.

A

(1)证明：VCF//AB,

：.ZADF=ZCFD,ZDAC=ZFCA,

:点E是AC的中点，

：.AE^CE,

：.AADE^ACFE(A4S),

：.AD=CF；

(2)解：当ACLBC时，四边形AOCF是菱形，证明如下：

由(1)知，AD^CF,

'JAD//CF,

四边形ADCF是平行四边形，

VAC±BC,

.,.△ABC是直角三角形，

:点。是A8的中点，

1

：.CD=^AB=AD,

四边形ADCB是菱形.

28.(2022•滨州中考)如图，菱形ABCD的边长为10,ZABC=60°,对角线AC、8。相交于点O,点E在对角

线上，连接AE,作/AEB=120°且边所与直线。。相交于点?

(1)求菱形A8CD的面积；

(2)求证：AE=EF.

(1)解：作AGLBC交8c于点G,如图所示,

•.•四边形ABC。是菱形，边长为10,ZABC=60°,

.\BC=10,AG=AB,sin60。=10x苧=5后

二菱形ABCD的面积是：BC*AG=10X5V3=50>/3,

即菱形ABCD的面积是50V3；

(2)证明：连接EC,

.四边形ABC。是菱形，ZABC=60°,

垂直平分AC,ZBC£>=120°,

：.EA=EC,ZDCA=60°,

：.ZEAC=ZECA,ZACF=12Q°,

VZAEF=120°,

：.ZEAC+ZEFC^360°-ZAEF-ZACF^360°-120°-120°=120°

,：ZECA+ZECF=nO°,

：.ZEFC=ZECF,

；.EC=EF,

C.AE^EF.

四、矩形的性质与判定

【高频考点精讲】

1、矩形的性质

(1)矩形具有平行四边形的所有性质。

(2)矩形的四个角都是直角。

(3)矩形的邻边垂直。

(4)矩形的对角线相等。

2、矩形的判定

(1)有三个角是直角的四边形是矩形；

(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形；

(3)有一个角为直角的平行四边形是矩形；

（4）对角线相等的平行四边形是矩形。

【热点题型精练】

29.（2022•日照中考）如图，矩形ABC。为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为E,当水杯底

面与水平面的夹角为27°时，/AED的大小为（）

A.27°B.53°C.57°D.63°

解：如图，

,:AE〃BF,

：.ZEAB=ZABF,

:四边形ABC。是矩形，

J.AB//CD,ZABC=90°,

：.ZABF+210=90°,

ZABF=er,

/.ZEAB=63°,

'：AB//CD,

:./AED=NEAB=63°.

答案:D

30.（2022•恩施州中考）如图，在四边形ABCQ中，ZA=ZB=90°,AD=l0cm,8c=8c机，点P从点。出发,

以lcm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时,

两个动点同时停止运动.设点尸的运动时间为f（单位：s）,下列结论正确的是（）

A.当t=4s时，四边形A2MP为矩形

B.当t=5s时，四边形CDPM为平行四边形

C.当CD=PM时，t=4s

D.当CO=PM时，r=4s或6s

解：根据题意，KTWDP=tcm,BM—tcm,

AD=\Ocm,BC=Scm,

,'.AP=(10-Z)cm,CM=(8-r)cm,

当四边形A8MP为矩形时，AP=BM,

即10-t—t,

解得t=5,

故A选项不符合题意；

当四边形CDPM为平行四边形，DP=CM,

即f=8-f,

解得f=4,

故8选项不符合题意；

当CO=PM时，分两种情况：

①四边形CDRW是平行四边形，

此时CM=PD,

BP8-t—t,

解得t=4,

②四边形CDPM是等腰梯形，

过点/作MGLAO于点G,过点C作CHLAD于点”，如图所示:

:PM=CD,GM=HC,

:.丛MGPmACHD(HL),

:.GP=HD,

"：AG=AP+GP=10-t+—尸)

又,：BM=t,

...10-什匕9=3

解得t=6,

综上，当CD=PM时，t=4s或6s,

故C选项不符合题意，。选项符合题意，

答案:D

31.（2022•泰安中考）如图，四边形ABC。为矩形，AB=3,8C=4,点尸是线段BC上一动点，点M为线段AP

上一点，/ADM=NBAP,则的最小值为（）

512—

A.—B.—C.V13—D.713-2

25

解：如图，取AD的中点。，连接02,OM.

：.ZBAD^90°,AD=2C=4,

ZBAP+ZDAM^9Q°,

•?ZADM=NBAP,

：.ZADM+ZDAM=90a,

：.ZAMD=90°,

；4。=。£)=2,

1

工OM=加)=2,

...点M的运动轨迹是以。为圆心，2为半径的OO.

OB=yjAB2+A02=V32+22=V13,

-OM=V13-2,

...BM的最小值为旧-2.

答案:D

32.（2022•十堰中考）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF,

AG分别架在墙体的点B,C处，且AB=AC,侧面四边形BDEC为矩形.若测得NEBO=55°，则乙4=110

解：：四边形BDEC为矩形，

：.ZDBC=9Q°,

■:/FBD=55°,

/.ZABC=180°-NDBC-NFBD=35°,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=35°,

—180°-AABC-ZACB=110°,

答案：U0.

33.（2022•吉林中考）如图，在矩形ABC。中，对角线AC,2。相交于点。，点E是边A。的中点，点厂在对角线

AC上，MAF=|AC,连接若AC=10,贝I

解：在矩形ABCD中，AO=OC=%C,AC=BD=1Q,

|AC,

：.AF^%。，

点尸为AO中点,

又：点E为边AD的中点，

:.EF为4AOD的中位线，

115

：.EF=^OD=^BD=|.

答案:j.

34.（2022•宜昌中考）如图，在矩形A2CD中，E是边A。上一点，F,G分别是BE,CE的中点，连接AF,DG,

FG,若AF=3,DG=4,FG=5,矩形A8CD的面积为48.

解：•..四边形ABC。是矩形，

：.NBAE=NCDE=90°,AD//BC,

"：F,G分别是BE,CE的中点，AF=3,0G=4,FG=5,

，BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2BG=10,

：.BE1+CE1=BC2,

...△BCE是直角三角形，NBEC=9Q°,

11

・"△BCE=2，BE-CE=2X6X8=24,

,:AD〃BC,

S矩形ABCD=2SABCE=2X24=48,

答案：48.

35.（2022•鄂州中考）如图，在矩形ABC。中，对角线AC、8。相交于点O,且/CD尸=N8OC、ZDCF=ZACD.

（1）求证：DF=CF；

(2)若NCD尸=60°,DF=6,求矩形ABC£)的面积.

(1)证明：•.•四边形ABCO是矩形,

/.oc=|AC,OD=^BD,AC=BD,

：.OC=OD,

：.ZACD=ZBDC,

'：ZCDF=ZBDC,ZDCF=ZACD,

：.ZCDF=ZDCF,

：.DF=CF；

(2)解：由(1)可知，DF=CF,

,：ZCDF=60°,

.•.△CO尸是等边三角形，

：.CD=DF=6,

"：ZCDF=ZBDC=60°,OC=OD,

...△0C£＞是等边三角形，

：.OC=OD=6,

：.BD=2OD=n,

•四边形ABC。是矩形，

：.ZBCD=9Q°,

：.BC=yjBD2-CD2=V122-62=673,

矩形ABCD=BC・CD=6V^X6=36V3.

36.(2022•云南中考)如图，在平行四边形4BCD中，连接80,£为线段的中点，延长BE与C。的延长线交

于点R连接ARNBDF=90；

(1)求证：四边形43。尸是矩形；

(2)若AZ)=5,DF=3,求四边形A8CF的面积S.

(1)证明：•.,四边形4BCD是平行四边形,

J.BA//CD,

：.NBAE=ZFDE,

:点E是的中点，

：.AE=DE,

在△BEA和△FED中，

\LBAE=乙FDE

AE^DE,

Z-BEA=乙FED

：.ABEA^/\FED(ASA),

：.EF=EB,

又〈AE=DE,

...四边形ABDF是平行四边形，

VZBDF=90°.

...四边形/是矩形；

(2)解：由(1)得四边形A8DP是矩形，

/.ZAFD=90°,AB=DF=3,AF=BD,

'.AF=y/AD2—DF2=V52-32=4,

•,♦5矩形48。尸=。尸・4尸=3*4=12,BD—AF=4,

四边形ABCD是平行四边形，

：.CD=AB=3,

11

，S&BCD=]BD・CD=2x4X3=6,

/.四边形ABCF的面积S=S^ABDF+S^BCD=12+6=18,

答：四边形ABCF的面积S为18.

五、正方形的性质与判定

【高频考点精讲】

1、正方形的性质

(1)正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

(2)正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。

(3)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

2、正方形的判定

(1)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

(2)邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。

(3)有一组邻边相等的矩形是正方形。

(4)有一个内角是直角的菱形是正方形。

(5)对角线相等的菱形是正方形。

(6)对角线互相垂直的矩形是正方形。

【热点题型精练】

37.(2022•黄石中考)如图，正方形0A8C的边长为迎，将正方形OA8C绕原点。顺时针旋转45°，则点8的对

应点B1的坐标为()

B|---------------C

AO

A.(-V2,0)B.(V2,0)C.(0,V2)D.(0,2)

解：如图，连接。8,

Bp；—C

、、

—I---------

AOx

:正方形OABC的边长为迎，

：.OC^BC=V2,NBCO=90°,/3OC=45°,

OB=<OC2+BC2=J(V2)2+(V2)2=2,

..•将正方形0ABe绕原点。顺时针旋转45°后点8旋转到Bi的位置,

...Bi在y轴正半轴上，且。囱=。2=2,

...点81的坐标为(0,2),

答案:。.

38.(2022•泰州中考)如图，正方形的边长为2,E为与点。不重合的动点，以。E为一边作正方形DEFG.设

DE=di,点、F、G与点C的距离分别为d2、d3,则di+d2+曲的最小值为(

C.2V2D.4

二•四边形QEFG是正方形,

AZ££)G=90°,EF=DE=DG,

:四边形A2C。是正方形,

:.AD=CD,ZADC=90°,

ZADE=ZCDG,

:.AADE学ACDG(SAS),

：.AE=CG,

d\+di+d?)=EF+CF^AEf

・••点A,E,F,C在同一条线上时，EF+CF+AE最小,即力+山+出最小,

连接AC,

，力+小+由最小值为AC,

在RtZ\A3C中，AC=V2AB=2V2,

.•・di+d2+d3最小=AC=2或,

答案:C

39.（2022•重庆中考）如图，在正方形A3CQ中，AE平分NBAC交5。于点E,点方是边A3上一点，连接。咒

BE=AF,则NCD/的度数为（）

A

F

B

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

解：•・•四边形ABC。是正方形，

：.AD=BAfZDAF=ZABE=90°,

在△£>?!尸和△ABE中，

AD=BA

Z.DAF=Z.ABE,

AF=BE

△DAF^AABE（SAS）,

ZADF=NBAE,

平分/BAC,四边形A8C£）是正方形，

：.ZBAE=^ZBAC=22.5°,ZADC=90°,

ZADF=22.5°,

：.ZCDF^ZADC-ZADF=90°-22.5°=67.5°,

答案:C.

40.（2022•江西中考）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示）,

则长方形的对角线长为—花

解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2,

长方形的宽是正方形对角线的一半为1,

则长方形的对角线长="T斗=V5.

答案:遮.

41.（2022•海南中考）如图，正方形中，点£、P分别在边BC、C。上，AE^AF,/EA尸=30°,^\ZAEB

=60°；若的面积等于1,则48的值是_百_.

解：：四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=ZB=Z£>=90°.

在RtAABE和RtAADF中,

(AB=AD

iAE=AF'

.•.RtAABE^RtAADF(HL).

：.ZBAE=ZDAF.

1

ZBAE=J(ZBAD-/EAF)

=・(90°-30°)

=30°.

AZAEB=60°.

答案：60.

过点尸作尸GLAE,垂足为G.

VsinZEAF=丽，

：.FG=sinZEAFXAF.

11

SMEF=方XAEXFG=3xAEXAFXsinZEAF=1,

：-xAE2Xsin30°=1.

2

11

即一xAE?0x4=1.

22

：.AE=2.

在RtZsABE中，

•：cosZBAE=^,

；.AB=cos30°XAE

=枭2

=V3.

答案：V5.

42.（2022•益阳中考）如图，将边长为3的正方形A8CD沿