第09讲二次函数的双参数问题与整体加绝对值问题

第09讲二次函数的双参数问题与整体加绝对值问题【典型例题】例1．（2022秋•湖州期末）设，，若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围是A． B． C． D．【解析】解：函数函数在区间上有两个不同的零点，即方程在区间上两个不相等的实根，，如图画出数对所表示的区域，目标函数的最小值为过点时，的最大值为：过点时，的取值范围为故选：．例2．（2022•上海）设、，若函数在区间上有两个不同的零点，则（1）的取值范围为．【解析】解：函数在区间上有两个不同的零点，即方程在区间上两个不相等的实根，，则有，（1），，，，1．（1）的取值范围为，故答案为：．例3．（2022春•下城区校级期中）设二次函数，，在，上至少有一个零点，则的最小值为．【解析】解：把等式看成关于，的直线方程：，由于直线上一点到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即，，因为在，是减函数，上述式子在，，时取等号，故的最小值为．故答案为：例4．（2022•浙江模拟）已知函数，对一切，，都有，则当，时，的最大值为7．【解析】解：由题意，有得所以（1）对一切，，都有所以当时，当时，综上所述，当，时，的最大值为7．例5．（2022•浙江）设函数．（Ⅰ）当时，求函数在，上的最小值（a）的表达式．（Ⅱ）已知函数在，上存在零点，，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）当时，，对称轴为，当时，函数在，上递减，则（a）（1）；当时，即有，则（a）；当时，函数在，上递增，则（a）．综上可得，（a）；（Ⅱ）设，是方程的解，且，则，由于，由此，当时，，由，由，得，所以；当时，，由于和，所以，故的取值范围是，．例6．（2022•衢州模拟）已知二次函数，，，（Ⅰ）当时，的解集与不等式的解集相同，求函数的解析式；（Ⅱ）若，恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下若，求证：当时，．【解析】解：的解集是，的两根为2，3，，解得：，，；，（1），，（1），又，，（1），，，（1）（1），；，（1），，由得，（1）（1）（1）（1），（1）（1）（1），，（1），，，（1）（1）（1）是关于的一次函数，由一次函数的单调性得：当时，．例7．已知二次函数（1）若不等式的解集为，，，求不等式的解集；（2）若函数的图象与的图象没有公共点，求证：，都有；（3）若当时，都有，求证：当时，都有．【解析】解：（1）根据条件知，，，3为方程的两实根；根据韦达定理，；，；代入得：，，整理得：；解得，或；原不等式的解集为：；（2）证明：根据条件知，，且当的对称轴为轴，即，且和相切时取到最大值；对称轴，，设，将代入得，，该方程有二重根；△；；和没有公共点；此时，函数；；即；（3）证明：由已知条件知，且，（1），，定义域为，；，，；（2）；（2）；时，有．【同步练习】一．选择题1．（2022春•宁波期末）已知关于的二次方程，，在区间内有两个实根，若，则实数的最小值为A．1 B． C． D．【解析】解：设，，，，，，，，，当且仅当时取等号，，，实数的最小值为，故选：．2．（2022春•濉溪县期末）用反证法证明命题“在函数中，（1），（2），（3）至少有一个不小于”时，假设正确的是A．假设（1），（2），（3）至多有一个小于 B．假设（1），（2），（3）至多有两个小于 C．假设（1），（2），（3）都不小于 D．假设（1），（2），（3）都小于【解析】解：用反证法证明数学命题时，应先假设要证的结论的反面成立，而“（1），（2），（3）至少有一个不小于”的否定为：（1），（2），（3）都小于，故选：．二．填空题3．（2022•镇海区校级模拟）若函数在，上有零点，则的最小值为．【解析】解：函数在，上有零点，可得△，即，且（1），即；或，（1），，即，，．即有，当且仅当时，取得最小值，故答案为：．4．（2022秋•金山区期末）关于的方程在，上有实根，则的最小值为2．【解析】解：由，知，所以，因为，，所以，当，，时，等号成立，所以的最小值为2．故答案为：2．5．（2022春•湖州期末）若关于的方程在区间，有实根，则最小值是【解析】解：由题意，将，看作关于，的直线方程，则表示点到的距离的平方，因为点到直线的距离，又函数在，上递增，所以当时，，所以最小值为．故答案为：．6．（2022秋•沭阳县校级月考）已知函数，当，时，恒成立，则最小值为．【解析】解：方法一：由题意，成立，所以．①时，则问题等价于（1）或（2）或（3）（1），对应的区域如图所示，由图知，直线经过点时，取得最小值0；（2）对应的区域如图所示，由图知，直线经过点，时，取得最小值；（3），对应的区域如图所示，由图知，直线经过点，时，取得最小值；②时，问题等价于，，对应的区域如图所示，由图知，直线经过点时，取得最小值，综上，，时，取得最小值．方法二：由，，，得，令，则或，因为当，时，恒成立，所以当时，；当时，，所以，所以最小值为．故答案为：．7．（2022•温州模拟）已知函数、在区间，上有零点，则的最大值是．【解析】解：函数、在区间，上有零点，△，（1）若△，即时，的零点为，，即，，当时，取得最大值0；（2）若△，即，①若函数、在区间，上有一个零点，则（1），，即，，的最大值是；②若函数、在区间，上有两个零点，，即显然，综上，的最大值为．8．（2022•绍兴一模）已知，且，函数在，上至少存在一个零点，则的取值范围为，．【解析】解：由题意，要使函数在区间，有零点，只要，或，其对应的平面区域如下图所示：则当，时，取最大值1，当，时，取最小值0，所以的取值范围为，；故答案为：，．9．（2022春•宁波期末）已知函数在区间，上有零点，则的最大值是．【解析】解：由得，．（当且仅当即时取等号），令，则，在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，又，（1），的最大值为．的最大值为．故答案为：．10．（2022秋•台州期末）关于的方程有实根，则的最小值为．【解析】解：设有实根即有实根，即方程至少有一根大于等于2或小于等于，令，设，则有：△，，①由①可得或且，，有两根，分别为、，分析可得有或，化简得其中，若则可化为相等情况为则可设其中则，分析可得时，的最小值为，故答案为：．11．（2022春•沛县校级月考）若函数、在区间上有两个零点，则的取值范围是．【解析】解：的两个零点为，，不妨设为：，则．又，（1）（1），而（1），即，故答案为：．12．已知关于的方程在，上有实根，且，则的最大值为2．【解析】解：设方程的根为，则，，，，，设，则，则，，，，，，，即的最大值为2．故答案为：2．13．（2022•杭州模拟）已知对任意实数，二次函数恒非负，且，则的最小值是3．【解析】解：二次函数恒非负所以且所以所以即时，取等号故答案为3三．解答题14．（2022秋•绍兴期末）设函数．（Ⅰ）若在区间，上的最大值为，求的取值范围；（Ⅱ）若在区间，上有零点，求的最小值．【解析】解：（Ⅰ）因为的图象是开口向上的抛物线，所以在区间，上的最大值必是和（1）中较大者，而，所以只要（1），即，得．（Ⅱ）设方程的两根是，，且，则，所以，当且仅当时取等号，设，则，由，得，因此，所以，此时，由知，所以当且时，取得最小值．15．（2022秋•天山区校级期中）已知函数．（1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；（2）若，，函数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有两个零点，求（1）的取值范围．【解析】解：（1）因为不等式的解集是，所以，为方程的两个根，所以由根与系数的关系可得，解得，．（2）若，，则，，，即，又由，，当时，符合题意；当时，原不等式等价于，必有，设，在，上单调递增，则（2），设，有，当且仅当时等号成立，即，必有，即的取值范围为，．（3）若函数在区间上有两个零点，则方程在区间上有两个不同的实根，所以，所以（1），所以，由（1），由（1）得（1），得（1），综上所述，（1）．所以（1）的取值范围是．（3）另解：由题意可设，则（1），因为，则，，所以，即（1）的取值范围是．16．已知函数．（1）若对任意的实数，都有，求的取值范围；（2）当，时，的最大值为，求的取值范围．（3）已知，对于任意的，，都有．请用表示的取值范围．【解析】解：（1）根据条件，恒成立；恒成立；①若，，显然对任意都成立；②若，；；；；③若，；；；；的取值范围为：，；（2）根据条件：；；，两式相加得；；的取值范围为：，；（3）；；；的最小值为，最大值为（1）；对任意的，，都有，即；；；的取值范围为：．17．已知函数．（1）（1）成立，求的取值范围；（2）若在区间上有两个零点，求证：．【解析】解：（1）（1），，即，满足约束条件的可行域如下图所示：又表示动点到原点距离的平方，由图可知：当，时，取最小值，当，时，取最大值，故的取值范围为，证明：（2）的两个零点为，，则．又，（1）（1），而（1），即．18．（2022秋•嘉兴期末）已知函数．（Ⅰ）若函数在区间，上的最大值记为，求；（Ⅱ）若函数在区间，上存在零点，求的最小值．【解析】解：（Ⅰ）当，即时，（2），当，即，（1），所以，（Ⅱ）因为函数在区间，上存在零点，设方程的两根为，，令，，则，，，令，则令，，在，上递增，时，取得最小值，此时，，所以的最小值为．19．（1996•全国）已知，，，函数，，当时，，求证：①．②当时，．【解析】证明：①当时，，令得，即．②当时，在，上是增函数，（1），又，，（1）（1）（1），，由此得；同理当时，在，上是减函数，（1），又，，，（1）（1）（1），由此得；当时，，．，（1）（1）．综上得．20．例4．已知，、、，当，时，（1）证明：．（2），时，证明．（3）设，当时，，求．【解析】证明：（1）由条件当时，，取得，即（2）证法一：（利用函数的单调性）由（1）得当时，在，上是增函数，于是（1），，，，（1）（1）（1），，因此得；当时，在，上是减函数，于是（1），，，（1）（1）综合以上结果，当时，都有证法二：（利用绝对值不等式的性质），（1），，，，，，因此，根据绝对值不等式性质得，，，，函数的图象是一条直线，因此在，上的最大值只能在区间的端点或处取得，于是由得，解：（3），在，上是增函数，当时取得最大值2，即（1）（1）①（1），因为当时，，即，根据二次函数的性质，直线为的图象的对称轴，由此得，即由①得，21．已知，，是实数，函数，．（1）证明：若无实根，则也无实根；（2）若当时，，证明：；（3）设，在（2）的条件下，若的最大值为2，求．【解析】解：（1）无实根，且，无实根，△，若，则函数的图象在轴上方，，即恒成立，即：对任意实数恒成立．对，有恒成立，无实根（2）设，而，，当时，在，上为单调增函数，所以（1），，，（1）（1）（1），，，当时，在，上为单调减函数，所以（1），，，（1）（