442解三角形的实际应用（针对训练）-2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

第四章三角函数与解三角形4.4.2解三角形的实际应用（针对练习）针对练习针对练习一角、边的最值1．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，然后用余弦定理可求出角C；（2），然后利用两角差的正弦公式、辅助角公式化成正弦型即可.【详解】（1）由正弦定理得：∴由余弦定理∵C为三角形的内角∴（2）由（1）得，即，则∵，∴，∴【点睛】本题考查的是利用正余弦定理解三角形和三角恒等变换，考查了学生的计算能力，属于基础题.2．在锐角中，内角的对边分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据平面向量数量积的定义和余弦定理可得，即可求出；(2)根据题意和锐角三角形的性质可得，利用三角恒等变换化简可得，根据三角函数的性质即可得出结果.(1)整理得，故又，所以；(2)由锐角知，得，故，因为，得，所以.3．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，____________，求的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】【解析】【分析】若选①，由已知条件三角恒等变换可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值；若选②，由已知条件三角恒等变换可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值；若选③，由已知条件、正弦定理、余弦定理可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值.【详解】若选①，∵A＋B＋C＝π，∴由已知条件得，由，得，由，得，∵，∴，，由正弦定理，有，∴，，∴，(其中，)∵，∴存在A，使得，此时取得最大值为.若选②：，∵A＋B＋C＝π，∴，，化简得，由，得，∵，∴.下同①；若选③：，，由正弦定理得，∴由余弦定理得，∵，∴.下同①.4．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由正弦定理可得，然后由余弦定理可得答案；（Ⅱ）由正弦定理可得，然后由三角函数的知识可得答案.【详解】（Ⅰ）由已知，结合正弦定理，得．再由余弦定理，得，又，则．（Ⅱ）由正弦定理可得．因为为锐角三角形，则，有，则．所以的取值范围为．5．请在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并求解该问题.已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且___________.(1)求角A的大小；(2)求边b的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边角关系、三角形内角性质，以及三角恒等变换求三角函数值，根据A的范围确定其大小；（2）由（1）有，应用正弦定理得，根据的范围求b的取值范围.(1)若选①：由正弦定理得，，即，故，因为A为锐角，所以；若选②：由正弦定理得，，即，因为，所以，则，因为A为锐角，所以；若选③：由题知，，，即，因为，所以，则，即，，则，所以；(2)由（1）知，，即，在锐角中，，由正弦定理得：，由，得：.针对练习二周长的最值6．在中，角A，B，C的对边分别是.(1)求角C的大小；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)(2)最大值为6【解析】【分析】（1）由题设结合正弦定理得，再由和角公式及诱导公式化简得，即可求出角C的大小；（2）先由余弦定理结合基本不等式求得，即可求出周长的最大值.(1)由及正弦定理得，即，因为，所以，所以，即，又，则，又，所以，所以，又，所以；(2)由余弦定理得，所以，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为6.7．在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，求三角形周长的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由题意边化角，再由正弦和角公式，即可求解.(2)根据正弦定理，边化角，有三角函数求最值.(1)因为所以所以因为、、为的内角，所以所以，所以(2)由题意周长所以，所以，所以因为，所以，所以所以周长的取值范围为.8．在中，内角A，，所对的边分别是，，，记的面积为S.已知_________.从①，②，③三个条件中选择一个填在上面的横线上，并解答下列问题.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）(1)求角A的大小；(2)若边长，求的周长的取值范围.【答案】(1)无论选择①②③，；(2)【解析】【分析】（1）若选①，由正弦定理边化角可得，整理可得，根据A的范围，可求得角A；若选②，正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，可得整理可得，根据A的范围，可求得角A；若选③，根据余弦定理、面积公式，代入化简可得根据A的范围，可求得角A；（2）根据（1）及正弦定理可得，根据两角和的正弦公式、辅助角公式，整理可得，根据角B的范围及正弦函数的性质，即可得答案.(1)若选①，由正弦定理边化角可得，因为，所以，所以，解得；若选②，由正弦定理边化角可得，所以，所以，因为，，所以，解得；若选③，由余弦定理可得，所以，所以，所以因为，所以(2)由（1）得，由正弦定理得，所以，因为，所以，当时，有最大值为4，所以，所以的周长的取值范围为9．在条件①，②(其中为的面积)中任选一个，补充在下面的横线上，然后解答补充完整的题目．已知的内角所对的边分别是，且__________．(1)求角；(2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）对于条件①运用正弦定理，对于条件②运用余弦定理即可求出B；（2）先求出b，在运用余弦定理和基本不等式即可.(1)选择①因为，由正弦定理得，因为，所以，因为．所以；选择②因为，且，所以，则，因为，所以；(2)因为外接圆的周长为，所以外接圆的直径为，由正弦定理得，则，由余弦定理得，因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，又因为，所以，则．故周长的取值范围为；综上，，周长的取值范围为.10．已知函数（）的最小正周期为．(1)求函数的最大值；(2)已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足且，求周长的取值范围．【答案】(1)1(2)【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简的解析式，根据的最小正周期求得，进而求得的最大值.（2）由求得，将三角形的周长用三角函数来表示，结合三角函数值域的求法求得三角形的周长的取值范围.(1)因为的最小正周期为，所以．所以．所以．所以的最大值为1．(2)．因为，，所以，．由正弦定理可得，所以，．因为，所以，．所以．因为，所以．所以．所以．所以周长的取值范围为．针对练习三面积的最值11．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，．(1)求A和a的大小；(2)若为锐角三角形，求的面积S的取值范围．【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A和a的大小；（2）由锐角三角形得，根据正弦定理有，，最后利用三角形面积公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围.(1)因为，由正弦定理得：所以，所以，因为中，所以，因为，所以，因为，由余弦定理得：，解得，综上，，．(2)由（1）知：，，由正弦定理得：，．因为为锐角三角形，故，得．从而的面积，又，，所以，从而的面积的取值范围为．12．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____________．(1)求A；(2)若，求面积的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)(2)【解析】【分析】对于条件①：两边边的条件为齐次，化边为角结合三角恒等变换可解得；对于条件②：边的条件为齐二次，整理条件到余弦定理的结构可解得；对于条件③：由正弦定理化角为边，整理条件到余弦定理的结构可解得.(1)（1）若选①：因为，根据正弦定理得，所以，所以．则，因为，所以，又，所以．若选②化简得：，则，又，所以．

若选③：因为，根据正弦定理得，所以．即，因为，所以．(2)（2）因为，由，则，

，

又，所以，则的取值范围为．13．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.(1)求角A的大小；(2)若a=4，求△ABC面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用向量的数量积公式和正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可得到答案.（2）由为锐角三角形，可得角B的范围，由正弦定理表示出面积，利用二倍角公式和辅助角公式化简面积，由正弦函数的性质可得范围.(1)，因为，化简得，因为，所以(2)由于为锐角三角形，则由正弦定理，所以因为，所以，故.14．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求B；(2)若，求△ABC面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式得到，根据三角形为锐角三角形，即可得到，再根据内角和定理计算可得；（2）根据是锐角三角形，求出的取值范围，再由正弦定理与三角形面积公式得到，再根据正切函数的性质及不等式的性质计算可得；(1)解：根据题意，由正弦定理得，因为根据题意，所以，所以，故，由，，故，，消去，，得.，，故，而根据题意，所以.(2)解：因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又由正弦定理，，由三角形面积公式有：又因，，故，故.故的取值范围是.15．从①；②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）在中，，，分别是角，，的对边，若______．(1)求角的大小；(2)若为中点，，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理和三角公式得到，再求出，即可得到；选②：利用正弦定理和余弦定理得到，再由，求出；选③：利用正弦定理和三角公式得到，再由，求出.（2）利用向量中线公式得到，两边平方得到，再利用基本不等式求出，即可求出的面积的最大值．(1)选①：由正弦定理，可化为：.又∵，∴，∴∴即.∵，∴，∴，即.∵，∴，故，选②∵及，∴，所以.由余弦定理得：.∵，∴选③∵及∴又∵∴∴∴，即.∵，∴.所以.∵，∴.(2)为中线，，，两边平方，有，∴（当且仅当时取等号），∴.∴针对练习四组合图形问题16．如图，在平面四边形中，，，的面积为．⑴求的长；⑵若，，求的长．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长；（2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的长．【详解】⑴∵，，的面积为∴∴∴由余弦定理得∴⑵由（1）知中，，∴∵,∴

又∵，∴在中，由正弦定理得即,∴【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．17．如图，在中，是边的中点，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由余弦定理计算可得；（2）利用同角三角函数间的基本关系求出的值，再利用余弦定理表示出，最后利用正弦定理即可求出的值．【详解】解：（1）在中，，，；（2）由（1）知，，且，，是边的中点，，在中，，解得，由正弦定理，可得．18．在平面四边形中，为上一点，连接，已知，，，若.（1）求的面积；（2）求的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可得，在中由余弦定理可求得，结合三角形面积公式即可得的面积.（2）由可得，从而证明，可求得.再在中由余弦定理即可求得的长.【详解】（1）由题意可知，，则.在中由余弦定理可得，代入可得，解得，由三角形面积公式可得（2）因为，所以，则，因为，所以，则，所以，在中由余弦定理可得，代入可得，所以.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，由相似三角形求线段长，属于基础题.19．如图，在平面四边形ABCD中，若，，，．（1）求；（2）若，求BC．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理，结合已知，即可求得；（2）在中，应用余弦定理，即可求得.【详解】（1）中，由正弦定理可得：即，解得．因为，所以，所以．（2）由（1）知，所以，在中，由余弦定理可得：．因为BC的长度为正数，所以．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的直接应用，属基础题.20．贵阳市黔灵公园熊猫馆平面设计如图所示，其中区域为熊猫生活区，，，区域为熊猫娱乐区，.现为了游客的安全起见，将熊猫娱乐区周围筑起护栏.(1)若，求护栏的长度（的周长）；(2)设，当取何值时，熊猫娱乐区面积最小？最小面积是多少？【答案】(1)(2)，最小面积为.【解析】【分析】（1）首先由余弦定理求出，即可得到，利用锐角三角函数求出、，即可得解；（2）在中由正弦定理表示出，再在中，由正弦定理表示出，则，再根据三角恒等变换公式及三角函数的性质计算可得；(1)解：在中，，，，由余弦定理，∴.由知，又，，，所以，∴护栏的长度为.(2)解：在中，，，，∴，由正弦定理，∴，在中，由正弦定理，，∴，则熊猫娱乐区域的面积.又，则，∴当即时取最小值，最小值为，即熊猫娱乐区域的最小面积为.针对练习五中线、角分线、垂线21．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．(1)求B；(2)若，BM为AC边中线，求BM的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系及余弦定理可得，结合三角形内角的性质即可确定B的大小.（2）由（1）及题设可得外接圆的半径，根据圆的性质，应用数形结合思想判断BM最大时的位置关系，即可得BM的最大值．(1)由题设及正弦定理有，又，即，又，则.(2)由（1）及知：外接圆的半径，如下图示，由图知：要使最大，只需共线且在两侧，所以.22．在中，角、、所对的边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若，求边上的中线的长的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理角化边的思想得出，利用余弦定理可求得的值，再结合角的取值范围可得出角的值；（2）由（1）得出，由平面向量加法的平行四边形法则可得出，可得出，进而可得出，再利用正弦定理将转化为以角为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1），由正弦定理得，则，由余弦定理得，，因此，；（2）由（1）得，.由平面向量加法的平行四边形法则可得，所以，，即，由正弦定理，，，，由得，，，，则，所以，，则，因此，边上的中线的长的取值范围为.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形中线长的取值范围的求解，涉及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数.（1）求的对称轴和单调区间；（2）在中，角，，的对边为，，，若，，，求中线的长.【答案】（1）对称轴为，；减区间为：，；增区间为：，；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简为，即可根据正弦函数的性质求出对称轴和单调区间；（2）由可求出，再求出，即可根据正弦定理求出，再由余弦定理即可求出.【详解】（1），令，解得，，∴函数的对称轴为，，令，解得，令，解得，的递减区间为：，；递增区间为：，.（2）由（1）知，∵在中，∴，∴，∴，又，∴，∴，在中，由正弦定理，得，∴，∴，在中，由余弦定理得，∴.【点睛】本题考查由三角恒等变换化简求三角函数性质，考查正余弦定理的应用，属于基础题.24．已知三角形的内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，角的角平分线交于点，，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，即可得解；（2）在中，由正弦定理可得，再由余弦定理即可得解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，即，又，所以，，所以；（2）由（1）得，角的角平分线交于点，所以，又，所以，在中，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理可得，即，所以.【点睛】解决本题的关键是正弦定理与余弦定理解三角形，合理转化，细心计算即可得解.25．记的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求的大小；(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换整理；（2）根据等面积可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根据面积得，整理分析．(1)由正弦定理得，得，因为，所以，即.(2)因为，所以.由余弦定理得，得（当且仅当时，等号成立），即.因为，所以.因为，所以.因为函数在上单调递增，所以，所以，即.故的最小值为.针对练习六解三角形的实际应用问题26．康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为8米，在地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别为和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）【答案】37.86米【解析】【分析】在中，利用正弦定理求得，然后在中，由求解.【详解】解：由题意得，在中，，在中，，，所以，由正弦定理，得，又，在中，.答：滕龙阁的高度约为37.86米.27．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，求山的高度BC．【答案】．【解析】【分析】由，得到，又由，求得，在中，由正弦定理求得，根据，即可求解.【详解】由题意知，则，又由，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，则，即山的高度为．28．如图，河流上有一座桥，其长度，在桥的两端，处测得空中一气球的仰角分别为，，试求气球的高度.【