高等数学教程　上册　第4版 习题及答案 P073 第3章 导数与微分

第三章导数与微分习题3.1用导数定义求下列函数的导数。(1)(2)解:（1）（2）2.设下列各题中的均存在,求下列各式的极限值。(1)(2)(3)（4）解：(1)(2)(3)（4）3.讨论下列函数在的连续性与可导性：（1）（2）解：（1）因为所以在是连续的。又所以在是可导的，且。（2）因为故，即在即右连续也左连续，所以在是连续的。又因为，所以，在不可导。4.讨论函数在点，及处的连续性和可导性。解：当时，故在不是右连续，所以在不连续的，因而不可导。当时，故，即在右连续且左连续，所以，在是连续的。又所以有，即在是可导的。当时，故，即在右连续且也左连续，所以，在是连续的。又因为，故在不可导。5.一物体的运动方程为，求该物体在时的瞬时速度。解：物体在时的瞬时速度为。6．求曲线在点处的切线方程和法线方程。解：曲线在点处的切线的斜率为曲线在点处的切线方程为曲线在点处的法线方程为7．试确定常数的值，使得函数在处可导。解：因为该函数在处可导，所以该函数在处连续。因此有即由得8．证明：在曲线上任意一点处的切线与两个坐标轴所构成的面积都等于2。证明：设点是曲线的点，则，且在该点的切线方程为而，所以切线方程为，该切线方程在轴和为轴的截距长分别为，切线与两个坐标轴所构成的面积为9．证明函数在处连续，但不可导。证明：因为所以，故该函数在处连续。又不存在故该函数在处不可导。10.设某商品的需求函数，求边际需求函数。解这一结果表示该商品的价格每增加一个单位，需求量就会减小5个单位。习题3.21.利用导数的四则运算法则，求下列函数的导数:(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(9)解：(10)解：(11)解：(12)解：（13）解：（14）解：（15）解：（16）解：求下列函数的导数:（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：(7)解：（8)解：(9)解：(10)解：==(=（11）解：（12）解：3.设是可导的函数,求下列函数的导数:(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：4.求下列分段函数的导数:(1)解：当时，当时，(2)解：当时，当时，因为，，，，，，所以当时，函数不连续，故不可导。5.求下列函数的二阶导数:(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：6.验证函数满足关系式。解：，将带入方程左端有即满足关系式。8．求下列方程所确定的隐函数的导数:(1)解：方程两边对求导，有从上式中解出，得(2)解：方程两边对求导，有从上式中解出，得(3)解：方程两边对求导，有从上式中解出，得(4)解：方程两边对求导，有从上式中解出，得（5）解：方程两边对求导，有从上式中解出，得（6）解：方程两边对求导，有从上式中解出，得8.若是由方程所确定的隐函数，求解：方程两边对求导，有（1）由原方程当时，，将，代入（1）得（1）式两边再求导有将，及代入上式得9.求曲线在点处的切线方程和法线方程。解：对方程两边求导得解得，曲线在点处的切线斜率是所以，所求切线方程是即所求法线方程是即10．利用对数求导法，求下列函数的导数:(1)解,(2)解,（3）解：上式两边求导得所以（4）解：上式两边求导得所以11.求下列函数的阶导数。(1)(2)解（1），则，反复求导有。（2），则一般地，，。即，。习题3.3已知计算当时的及。解：求下列函数的微分(1)解：因为所以(2)解：因为所以(3)解：因为所以(4)解：因为所以(5)解：因为所以(6)解：因为所以(7)解：因为所以(8)解：因为所以(9)解：因为所以(10)解：因为所以3.求由方程所确定的函数的微分。解：方程两边对求导，有从上式中解出，得所以4.一个直径为20厘米的球，球壳厚度为0.2厘米，求该球壳体积的近似值。解：半径为的求体积为，当，球壳体积为5.计算下列各题的近似值(1)(2)解：（1）令，则解：（2）令，则习题3.4弹性分析1．给定需求函数，求(1)当下降到时的平均弹性;（2）当时的点弹性。解：(1)当，时，有，，的平均值为的平均值为平均弹性为（2），，当时的点弹性为2.给定需求函数，求价格时的需求弹性？并说明在此价格上需求是缺乏弹性、单位弹性还是富有弹性？解：由，得，所以。当时，需求为，此时需求弹性为该产品的需求弹性的绝对值，说明该产品的需求函数是缺乏弹性的。3．设某产品总成本C万元是产量kg的函数为产品销售价格为万元，需求函数为试求：（1）产量为100kg（2）销售价格为4万元水平上的需求弹性值，并说明其经济意义；（3）当时，如果价格上涨1%，总收益增加还是减少？变化多少？解：（1）边际成本函数为，所以在产量为水平上边际成本值（万元）（2）计算边际需求函数需求弹性函数为所以在销售价格为4万元水平上的需求弹性值为该产品的需求弹性的绝对值，说明该产品的需求函数是富于弹性的，需求量随价格变化会呈现较大波动，同时，弹性说明需求量随价格变化会呈现反向波动，即涨价则需求量减小，降价则需求量增加。（3）总收益函数，所以即总收益量将减少0.177%。综合习题3一、填空选择题：1.设函数在处可导，则下列极限值等于的是（C）ABCD2.已知，若极限，则等于（A）ABCD3.函数在点处连续是其在该点可导的（D）A充分而必要条件B必要而非充分条件C充分条件D必要条件二、计算或证明题1.设函数满足，且其中均为常数，证明在处可导，且。证明：由，得，即2.讨论下列函数在的连续性与可导性：（1）（2）解：（1）因为所以该函数在处右连续且左连续，故连续。该函数在左导数不等于右导数，故在函数不可导。（2）因为所以该函数在处左连续且右连续，故连续。该函数在左导数等于右导数，故在函数可导，且。3.函数在是否连续，是否可导？解：因为所以该函数在函数可导，故在函数连续。4.设为可导的偶函数，证明。证明：因为为偶函数，所以。又所以有。5．当为何值时，抛物线与相切（在某点处有相同的切线）？并求切点和切线方程。解：设抛物线与在点处相切，则两条曲线在该点的导数相等，有，又，，解得，，切点，切线方程为6．设函数在处连续，，证明函数在处可导。若，函数在处可导吗？解：由函数在处连续有。所以，函数在处可导。当时，有，则函数在处可导。当时，有，则函数在处不可导。7．设在处连续，且，证明：。证明：由函数在处连续有，又，所以8