2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1命题课时跟踪训练含解析北师大版选修2-1

PAGE第一章常用逻辑用语[A组基础巩固]1．下列语句是命题的是()A．x－1＝0 B．2＋3＝8C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树解析：A中x不确定，无法推断x－1＝0的真假．B中2＋3＝8是命题，且是假命题．C不是陈述句，故不是命题．D大树的标准不确定，无法推断其真假．答案：B2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是若一个数的平方是正数，则它是负数．答案：B3．下列命题是真命题的为()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则eq\r(x)＝eq\r(y) D．若x<y，则x2<y2解析：若x2＝1，则x＝±1，解除B；若x＝y，eq\r(x)与eq\r(y)不肯定存在，解除C；若x<y，且x＝－3，y＝－2，则x2>y2，解除D.答案：A4．下列命题为真命题的是()A．命题“若x>1，则x2>1”B．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”C．命题“若x2>0，则x>－1”D．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题解析：命题“若x>1，则x2>1”的逆命题是“若x2>1，则x>1”，为假命题；命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题是“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，为假命题；命题“若x2>0，则x>－1”的逆否命题是“若x≤－1，则x2≤0”，为假命题；命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，为真命题，选D.答案：D5．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”A．真命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0B．真命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0C．假命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0D．假命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0解析：逆否命题“若a>0且b>0，则ab>0”，明显为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab>0，则a>0且b>0”，故选 B.答案：B6．命题“若c>0，则函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点”的逆否命题是________．解析：原命题的条件c>0的否定为c≤0，结论函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点的否定为“函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点”，因此逆否命题为：若函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点，则c≤0.答案：若函数f(x)＝x2＋x－c没有两个零点，则c≤07．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根”；②“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”解析：①∵k>0，∴Δ＝4＋4k>0，是真命题．②否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题．③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．④否命题为“若xy≠0，则x、y都不为零”，是真命题．答案：①②④8．下列命题是真命题的是__________(填序号)．①空集是任何一个集合的真子集；②函数y＝2x(x∈N)的图像是一条直线；③若f(x)>M(M为常数)，则函数y＝f(x)的最小值为M；④若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定义域为[0,1)．解析：空集是任何一个非空集合的真子集，故①是假命题；函数y＝2x(x∈N)的图像是一群孤立的点，故②是假命题；若f(x)>M(M为常数)，则函数y＝f(x)的最小值肯定不为M，故③是假命题；若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝eq\f(f2x,x－1)中的x应满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤2,x－1≠0))，解得0≤x<1，则g(x)的定义域为[0,1)，故④是真命题．答案：④9．推断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时推断这些命题的真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该二次函数图像与x解析：(1)该命题为假．当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2>bc2，则a>b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．当b2－4ac<0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数的图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10．函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定义域为A，若x1，x2∈A且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))时总有x1＝x2，则称feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))为单函数．例如，函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2x＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R))是单函数．下列命题：①函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R))是单函数；②若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))≠feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))；③若f：A→B为单函数，则对于随意b∈B，它至多有一个原象；④函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在某区间上具有单调性，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))肯定是单函数．试推断各命题的真假．解析：当feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2时，不妨设feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))＝4，有x1＝2，x2＝－2，此时x1≠x2，故①不正确；由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝f(x2)时总有x1＝x2可知，当x1≠x2时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))≠f(x2)，故②正确；若b∈B，b有两个原象时，不妨设为a1，a2，可知a1≠a2，但feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2))，与题中条件冲突，故③正确；函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在某区间上具有单调性时在整个定义域上不肯定单调，因而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))不肯定是单函数，故④不正确．综上可得命题②③为真命题，①④为假命题．[B组实力提升]1．给出下列四个命题：①在△ABC中，若sinA>eq\f(\r(2),2)，则A>eq\f(π,4)；②若1≤x<2，则(x－1)(x－2)≤0；③若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1；④已知a，b，c为向量，若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.则以下推断正确的为()A．①的逆否命题为真 B．②的否命题为真C．③的否命题为真 D．④为真解析：对于①，在△ABC中，0<A<π，由sinA>eq\f(\r(2),2)，得eq\f(π,4)<A<eq\f(3π,4)，所以原命题为真命题，故其逆否命题为真命题．对于②，命题的否命题：若x≥2或x<1，则(x－1)(x－2)>0.当x＝2时，(x－1)(x－2)＝0，故否命题为假命题．对于③，命题的否命题：若α≠eq\f(π,4)，则tanα≠1.当x＝eq\f(5π,4)时，tanα＝1，故否命题为假命题．对于④，向量是有方向的，若b，c方向相反，a垂直于b，c，则b＝c不成立，所以为假命题．故选A.答案：A2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：命题的否命题既否定条件又否定结论，且“是”的否定是“不是”，故选 B.答案：B3．下列语句中是命题的为____________，其中是真命题的为________．(写出序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；⑤求证x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①是疑问句不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑在同一个三角形中；④是真命题；⑤是祈使句不是命题．答案：②③④④4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{y|y＝x2－2x＋a}，C＝{x|x2－ax－4≤0}．命题p：A∩B≠∅，命题q：A⊆C.(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p，q都为真命题，求实数a的取值范围．解析：(1)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{y|y＝(x－1)2＋a－1}＝{y|y≥a－1}．由p为假命题，知A∩B＝∅，∴a－1>3，∴a>4，故实数a的取值范围是(4，＋∞)．(2)∵p，q都为真命题，∴A∩B≠∅且A⊆C，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤3,1－a－4≤0,9－3a－4≤0))，解得eq\f(5,3)≤a≤4，即实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，4)).5．a，b，c为三个人，命题A：“假如b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和