2024-2025学年河南省部分名校高二（上）段考数学试卷（10月份）（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省部分名校高二（上）段考数学试卷（10月份）（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.图中4条直线中斜率最小的是(

)

A.l1 B.l2 C.l32.已知向量a=(1,3,−2)与b=(3,x,y)平行，则x−y=(

)A.−15 B.−3 C.3 D.153.已知直线l的一个方向向量为m=(1,2,−4)，平面α的一个法向量为n=(2,3,t)，若l//α，则t=(

)A.1 B.2 C.3 D.44.将直线y=2x+1绕点(1,3)逆时针旋转π2rad后所得直线的方程为(

)A.x−2y+5=0 B.x−2y+1=0 C.x+2y−7=0 D.x+2y+1=05.已知平面α，β均以n=(−2,1,2)为法向量，平面α经过坐标原点O，平面β经过点P(3,2,−1)，则平面α与β的距离为(

)A.2 B.22 C.3 6.已知直线l与m：3x−y+c=0(c<0)平行，且l、m之间的距离与点A(0,2)到l的距离均为1，则l在y轴上的截距为A.−1 B.0 C.1 D.47.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，M为棱A.A1P⋅A1B B.A8.如图，在正四面体O−ABC中，M为棱OC的中点，N为棱AB上靠近点A的三等分点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(

)A.216

B.219

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若直线l：(2a−1)x+(a−3)y+1=0不经过第四象限，则实数a的可能取值为(

)A.13 B.43 C.3 10.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(3,2,−1)，B(m,1,n)，C(2,p,q)，其中m，n，p，q∈R，若四边形OABC为菱形，则(

)A.m=5 B.p=−1 C.n=±2 D.q=±311.已知点A(3,3)和B(4,−2)，P是直线l：x+y+2=0上的动点，则(

)A.存在P(1,−3)，使|PA|+|PB|最小

B.存在P(−1,−1)，使||PA|−|PB||最小

C.存在P(5,−7)，使||PA|−|PB||最大

D.存在P(12,−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量AB=(2,3,23)，BC=(x,0,23)13.已知a>0，平面内三点A(0,−a)，B(1,a2)，C(3,2a3)14.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为4，侧面积为8，动点P，Q分别在线段四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知空间中三点A(−2,−3,3)，B(1,0,2)，C(2,−1,5)，设向量a=AB，b=BC．

(1)若(a+kb)⊥a，求实数k的值；

(2)若向量c16.(本小题15分)

已知直线l1的方程为(a+3)x−ay+2=0，直线l2经过点A(2,0)和B(0,1a)．

(1)若l1⊥l2，求a的值；

(2)若当17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAD为等边三角形，且PB=AC，E为棱PD的中点．

(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．18.(本小题17分)

如图，将一块三角形的玉石ABO置于平面直角坐标系中，已知|AO|=|AB|=5，|OB|=2，点P(1,1)，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点P的直线MN进行切割．

(1)求直线MN的倾斜角α的取值范围．

(2)是否存在直线MN，使得点A关于直线MN的对称点在线段AB上？

(3)设玉石经切割后剩余部分的面积为S，求S19.(本小题17分)

在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0,y0,z0)且以u=(a,b,c)为方向向量的直线方程可表示为x−x0a=y−y0b=z−z0c(abc≠0)，过点P(x0,y0,z0)且以u=(a,b,c)为法向量的平面方程可表示为ax+by+cz=ax0+by0+cz0．

(1)若直线参考答案1.C

2.D

3.B

4.C

5.A

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.2

13.2

14.615.解：(1)∵空间中三点A(−2,−3,3)，B(1,0,2)，C(2,−1,5)，向量a=AB，b=BC，

∴a=AB=(3,3,−1)，b=BC=(1,−1,3)，

则a+kb=(3+k,3−k,−1+3k)，

由(a+kb)⊥a，

故(a+kb)⋅a=3(3+k)+3(3−k)−(−1+3k)=0，

16.解：直线l1的方程为(a+3)x−ay+2=0，直线l2经过点A(2,0)和B(0,1a)．

(1)由题意得，a≠0，l1的斜率为a+3a，l2的斜率为−12a．

∵l1⊥l2，

∴a+3a⋅(−12a)=−1，即2a2−a−3=0，

解得17.解：(1)证明：如图，取AD中点O，连接PO，BO，设AB=a，

因为△PAD为等边三角形，

则PO⊥AD，

则AC=PB=2a，PO=32a，BO=52a，

所以PB2=PO2+BO2，

即PO⊥BO，又AD∩BO=O，AD，BO⊂平面ABCD，

所以PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，

所以平面PAD⊥平面ABCD；

(2)取BC中点F，连接OF，由(1)可知OP，OA，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=a，则A(a2,0,0)，B(a2,a,0)，C(−a2,a,0)，D(−a2,0,0)，E(−a4,0,3a4)，P(0,0,3a2)，

所以AB=(0,a,0)，PA=(a2,0,−18.解：(1)由图可知，点A在第一象限，设点A(m,n)，

因为|AO|=|AB|=5，|OB|=2，则B(2,0)，

所以，|AO|=m2+n2=5|AB|=(m−2)2+n2=5m>0,n>0，解得m=1n=2，即点A(1,2)，

由题图可知，当点M从原点O沿着x轴的正方向移动时，直线MN的倾斜角在逐渐增大，

当直线MN与直线PA重合时，设直线MN交x轴的交点为E，如下图所示：

当点M在线段OE上运动时，直线MN与线段OA(不包括端点)没有公共点，

当点M在线段EB(不包括点E)上运动时，直线MN与线段OA(不包括端点)有公共点，

且直线OP的斜率为kOP=1，直线OP的倾斜角为π4，

综上所述，直线MN倾斜角α的取值范围是[π4,π2]．

(2)由(1)可知，A(1,2)、B(2,0)，则直线AB的斜率为kAB=2−01−2=−2，

假设存在直线MN，使得点A关于直线MN的对称点在线段AB上，

此时，MN⊥AB，则kMN=−1kAB=12，

此时，直线MN的倾斜角α满足α<π4，不合乎题意，

因此，不存在直线MN，使得点A关于直线MN的对称点在线段AB上．

(3)当MN⊥x轴时，此时，MN为线段OB的垂直平分线，

此时，S=12S△AOB=14×2×2=1；

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y−1=k(x−1)，即y=kx+1−k，其中k≥1，19.解：(1)由题意可知，直线l1的一个方向向量为u1=(2,1,−1)，

直线l2的一个方向向量为u2=(−1,4,2)，

设平面α的法向量为n=(x1,y1,z1)，

则n⊥u1n⊥u2，则n⋅u1=0n⋅u2=0，即2x1+y1−z1=0−x1+4y1+2z1=0，

解得x1=−2y1z1=−3y1，

取y1=−1，则m=(2,−1,3)，

易知直线l1过点P(1,0,1)，

所以平面α的方程为2x−y+3z=2−0+3=5，

即2x−y+3z=5．

(2)根据题