2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式课时素养评价含解析新人教A版必修4

PAGE两角差的余弦公式(15分钟30分)1.下列式子中,正确的个数为 ()①cos(α-β)=cosα-cosβ;②cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ;③sin(α+45°)sinα+cos(α+45°)cosα=cos45°.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.由两角差的余弦公式可知:①②均不正确,③正确.2.已知sinα-sinβ=1-QUOTE,cosα-cosβ=QUOTE,则cos(α-β)= ()A.-QUOTEB.-QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.因为sinα-sinβ=1-QUOTE,所以sin2α-2sinαsinβ+sin2β=QUOTE,①因为cosα-cosβ=QUOTE,所以cos2α-2cosαcosβ+cos2β=QUOTE,②由①②两式相加得1-2cos(α-β)+1=1-QUOTE+QUOTE+QUOTE,所以-2cos(α-β)=-QUOTE,所以cos(α-β)=QUOTE.3.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cosA,sinA),b=(cosB,sinB),且a·b=1,则△ABC肯定是 ()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】选B.因为a·b=cosAcosB+sinAsinB=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,所以A=B,即△ABC肯定是等腰三角形.4.若x∈QUOTE,且sinx=QUOTE,则2cosQUOTE+2cosx=.

【解析】因为x∈[QUOTE,π],sinx=QUOTE,所以cosx=-QUOTE.所以2cosQUOTE+2cosx=2QUOTE+2cosx=2QUOTE+2cosx=QUOTEsinx+cosx=QUOTE-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.(2024·葫芦岛高一检测)已知α,β∈QUOTE,且sinα=QUOTE,cos(α+β)=-QUOTE,求cosβ的值.【解析】因为α,β∈QUOTE,所以0<α+β<π,由cos(α+β)=-QUOTE,得sin(α+β)=QUOTE,又sinα=QUOTE,所以cosα=QUOTE,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2024·海淀高一检测)已知cosQUOTE=QUOTE,0<θ<QUOTE,则cosθ等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为θ∈QUOTE,所以θ+QUOTE∈QUOTE.所以sinQUOTE=QUOTE.所以cosθ=cosQUOTE=QUOTE.2.已知锐角α,β满意cosα=QUOTE,cos(α+β)=-QUOTE,则cos(2π-β)的值为 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.因为α,β为锐角,cosα=QUOTE,cos(α+β)=-QUOTE,所以sinα=QUOTE,sin(α+β)=QUOTE,所以cos(2π-β)=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.若sinα=QUOTE,α∈QUOTE,则cosQUOTE的值为 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.因为sinα=QUOTE,α∈QUOTE,所以cosα=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以cosQUOTE=cosQUOTEcosα+sinQUOTEsinα,=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=-QUOTE.4.(2024·青岛高一检测)若cos(α-β)=QUOTE,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.原式=2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=2+2cos(α-β)=2+2×QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若a=(cosα,sinβ),b=(cosβ,sinα),0<β<α<QUOTE,且a·b=QUOTE,则α-β=.

【解析】a·b=cosαcosβ+sinβsinα=cos(α-β)=QUOTE.因为0<β<α<QUOTE,所以0<α-β<QUOTE,所以α-β=QUOTE.答案:QUOTE6.(2024·南阳高一检测)已知cosQUOTE+sinα=QUOTE,则cosQUOTE的值是.

【解析】cosQUOTE+sinα=QUOTEcosα+QUOTEsinα=QUOTE,QUOTEcosα+QUOTEsinα=QUOTE,所以cosQUOTE=QUOTEcosα+QUOTEsinα=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题7.(10分)已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)相互垂直,其中θ∈QUOTE.(1)求sinθ和cosθ的值.(2)若5cos(θ-φ)=3QUOTEcosφ,0<φ<QUOTE,求角φ的值.【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=sinθ-2cosθ=0,即sinθ=2cosθ.又因为sin2θ+cos2θ=1,所以4cos2θ+cos2θ=1,则cos2θ=QUOTE,sin2θ=QUOTE.又因为θ∈QUOTE,所以sinθ=QU